5.2任意角的三角比教案1（滬教版高一下）

1、任意角三角比一、任意角三角比教學(xué)內(nèi)容分析 任意角的三角比分為4個(gè)課時(shí)。第一課時(shí)學(xué)習(xí)與角有關(guān)的概念，如正角、負(fù)角、零角、象限角、終邊相同的角，并且能按要求正確表示。第二課時(shí)通過比較角度制與弧度制，體會(huì)弧度制在解決問題中的優(yōu)點(diǎn)；能正確進(jìn)行弧度與角度的換算；會(huì)利用弧長公式和扇形面積公式解決實(shí)際問題。第三課時(shí)通過任意三角比的學(xué)習(xí)進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)和證明。第四課時(shí)領(lǐng)會(huì)象限角的三角比的符號(hào)及坐標(biāo)角的三角比值，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算、判斷和求值等。二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)1、知識(shí)與技能領(lǐng)會(huì)與角有關(guān)的概念，如正角、負(fù)角、零角、象限角、終邊相同的角，并且能按要求正確表示；通過比較角度制與弧度制，體會(huì)弧度制在解決問題中的優(yōu)點(diǎn)；

2、能正確進(jìn)行弧度與角度的換算；會(huì)利用弧長公式和扇形面積公式解決實(shí)際問題；學(xué)會(huì)使用單位圓中的有向線段表示三角比；通過任意三角比的學(xué)習(xí)進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)和證明；領(lǐng)會(huì)象限角的三角比的符號(hào)，及坐標(biāo)角的三角比值。2、過程與方法通過生活中的實(shí)例感悟角度概念推廣的必要性，體會(huì)“旋轉(zhuǎn)成角”的概念；通過回憶銳角三角比，感悟任意三角比的定義及相關(guān)要點(diǎn)；通過三角比的建立，是學(xué)生初步領(lǐng)會(huì)用代數(shù)方法解決幾何問題的數(shù)形結(jié)合思想。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀在整個(gè)教學(xué)過程中用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)審視事物，用對(duì)立統(tǒng)一的規(guī)律揭示生活中的空間形式和數(shù)量關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)。三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：理解任意角的相關(guān)概念，掌握弧度制與角度制

3、的關(guān)系和運(yùn)用，掌握任意角三角比的值與符號(hào)，并能進(jìn)行應(yīng)用。難點(diǎn)：弧度制的應(yīng)用，任意角三角比的值與符號(hào)形成與認(rèn)識(shí)。四、教學(xué)流程設(shè)計(jì)任意角三角比的具體應(yīng)用任意角三角比的值與符號(hào)的闡述任意角概念的形成與度量制的發(fā)展五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)第一課時(shí)：任意角及其度量（1）華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué) 楊雪教學(xué)目標(biāo)：1、 通過生活中的實(shí)例感悟角度概念推廣的必要性，體會(huì)“旋轉(zhuǎn)成角”的概念。2、 領(lǐng)會(huì)與角有關(guān)的概念，如正角、負(fù)角、零角、象限角、終邊相同的角，并且能按要求正確表示。3、 樹立辯證唯物主義的世界觀。教學(xué)用具： 多媒體。教學(xué)方法： 講授法。教學(xué)過程：一、 引入課題：在初中時(shí)，我們學(xué)過銳角、直角、鈍角等，在現(xiàn)實(shí)生活

4、和工程實(shí)踐中也常常遇到，但我們也會(huì)遇到如體操中“轉(zhuǎn)體720o”，這樣的角超出了我們熟知的范圍，那么它是如何定義的呢？在這一章中我們要把角度擴(kuò)充到一切實(shí)數(shù)，我們要來研究任意角的三角比之間的聯(lián)系，并為我們學(xué)習(xí)下一章的三角函數(shù)打好基礎(chǔ)。二、 講解新課：（一） 角的概念的推廣：?jiǎn)枺菏裁词墙?？答：從同一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所構(gòu)成的幾何圖形稱為角。問：角還可以怎樣生成？答：一條射線由原來的位置，繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置所形成的幾何圖形。問：比較一下這兩個(gè)關(guān)于角的定義，你認(rèn)為哪一個(gè)更好?答：各有千秋。形象、直觀、易理解，但是“狹隘”，“旋轉(zhuǎn)”形成角，描述了角生成的動(dòng)態(tài)過程。我們把射線初始位置叫做角的始邊，射線

5、的最終位置叫做角的終邊，端點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。其次，擴(kuò)大了角的范圍。定義的角只在0o360o，則定義了任意角。問：既然角可由“旋轉(zhuǎn)”得到，那么平面中有幾種“旋轉(zhuǎn)”的方式?答：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。問：那么根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方式，角可以分成幾類呢？請(qǐng)你給這幾類角取個(gè)名字。答：三類：正角、負(fù)角和零角。一條射線繞端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角為正角，其度量值是正的；按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，其度量值是負(fù)的；當(dāng)一條射線沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)為形成了一個(gè)角，叫零角，它的大小是0o。我們常用希臘字母、來表示角。例：書p5圖5-1中，主動(dòng)輪與被動(dòng)輪的齒數(shù)之比為3:5，當(dāng)主動(dòng)輪按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)5周時(shí)，oa繞o旋轉(zhuǎn)所形

6、成的角是1800o，被動(dòng)輪會(huì)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)3周，ob繞o旋轉(zhuǎn)所形成的角是-1080o。（二） 象限角：角的頂點(diǎn)置于坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊置于軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限，而是坐標(biāo)角。）例：書p6例1。練一練：判斷下列各角分別屬于哪個(gè)象限：30 390 -330 300 -60 585 1180 -2000（三）終邊相同的角：1觀察：390，-330角，它們的終邊都與30角的終邊相同2終邊相同的角都可以表示成一個(gè)0到360的角與個(gè)周角的和。390=30+360 -330=30-360 30=30+0360

7、1470=30+4360 -1770=30-5360 3所有與a終邊相同的角連同a在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)集合 即：任何一個(gè)與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和。練一練：書p7練習(xí)5.1（1）三、 鞏固練習(xí)：1、 如圖所示，寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合。2、 在直角坐標(biāo)系中，若角與的終邊互為反向延長線，則角與之間的關(guān)系一定是（ ）a、 b、c、 d、3、 如果是第二象限的角，那么是第幾象限的角？四、反思與提高： 1、 什么是角？角可以分為幾類?什么是象限角？2、 如何表示終邊相同的角？如何表示某一象限角？如何表示某一坐標(biāo)軸上角？3、 查資料了解關(guān)于三角學(xué)的簡(jiǎn)史。教學(xué)設(shè)計(jì)說

8、明：從體操例子出發(fā)，說明實(shí)際生活中存在對(duì)角進(jìn)行拓展的需要，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展與延伸與生活的需要相關(guān)的，并要求學(xué)生課后對(duì)三角學(xué)的簡(jiǎn)史做一定的了解，提高對(duì)知識(shí)背景的認(rèn)識(shí)與了解，更有學(xué)習(xí)的動(dòng)力。在與學(xué)生的交流、引導(dǎo)中引出正角、負(fù)角、零角的概念，進(jìn)而定義象限角、終邊相同角，通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)鞏固概念，加強(qiáng)認(rèn)識(shí)。第二課時(shí)：任意角及其度量（2）華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué) 顧冬磊一、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)：（1）建立弧度制 （2）能正確進(jìn)行弧度與角度的換算。（3）引入象限角（4）會(huì)利用弧長公式和扇形面積公式解決實(shí)際問題過程與方法目標(biāo)：（1|）通過比較角度制與弧度制，體會(huì)弧度制在解決問題中的優(yōu)點(diǎn)（2）在弧度制下的扇

9、形面積公式和圓的弧長公式情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：（1） 樹立辯證唯物主義的世界觀。（2） 了解數(shù)學(xué)史料，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，提高審美情趣。二、教學(xué)過程：一、講解新課：（一）知識(shí)點(diǎn)的介紹a、介紹弧度制：?jiǎn)枺撼踔袝r(shí)我們們學(xué)習(xí)的角度制是如何度量角的？答：將一個(gè)周角的規(guī)定為1o。述：今天我們介紹另一種度量角的單位制弧度制。它的單位是rad 讀作弧度。orc2rad1radrl=2roaab 定義：長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角。 如圖：aob=1rad aoc=2rad 周角=2prad 1 正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0。2 角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值 （為弧長，為半

10、徑）。3 用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0）。 用角度制和弧度制來度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同。b、角度制與弧度制的換算：抓?。?60=2prad 180=p rad 例：書p33例2、例3和表2。注意幾點(diǎn)：1今后在具體運(yùn)算時(shí)，“弧度”二字和單位符號(hào)“rad”可以省略 如：3表示3rad sinp表示prad角的正弦；2一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)值應(yīng)該記??； 3應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實(shí)數(shù)的集合之間建立一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。正角零角負(fù)角正實(shí)數(shù)零負(fù)實(shí)數(shù) 任意角的集合 實(shí)數(shù)集r 練一練：書p35練習(xí)5.1（2）/1

11、、2、3c、弧長公式與扇形面積公式：例：書p33例4。比較和弧度制下兩組公式的區(qū)別（二）典型例題：例：用弧度制表示：1終邊在軸上的角的集合；2終邊在軸上的角的集合；3終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合。4第一象限角的集合；5第二象限角的集合。例：書p34例6。注意：在同一個(gè)表達(dá)式或同一個(gè)問題中不要將角度制和弧度制混用。介紹分區(qū)域的方法。（三）鞏固練習(xí)：4、 如圖所示，寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合。5、 在直角坐標(biāo)系中，若角與的終邊互為反向延長線，則角與之間的關(guān)系一定是（ ）a、 b、c、 d、6、 如果是第二象限的角，那么是第幾象限的角？7、 將下列按從小到大的順序排列8、 計(jì)算：。9、

12、地球赤道的半徑約為6370km，求赤道上的弧長（取3.14，結(jié)果精確到0.01km）。10、 將鐵片剪成一個(gè)半徑為9厘米，弧長為15厘米的扇形零件。求這扇形的面積。三、課后反思與提高： 4、 什么是角？角可以分為幾類?什么是象限角？5、 如何表示終邊相同的角？如何表示某一象限角？如何表示某一坐標(biāo)軸上角？6、 什么是角度制？什么是弧度制？角、弧度制之間如何換算？7、 弧度制在解決問題過程中有哪些優(yōu)點(diǎn)？8、 什么是弧長公式與扇形面積公式？6、寫出終邊在第一、三象限角平分線上和終邊在第二、四象限角平分線上的角的集合（合并成一種形式）7、查資料了解關(guān)于三角學(xué)的簡(jiǎn)史。四、教學(xué)設(shè)計(jì)說明本節(jié)課是三角比的第二

13、節(jié)課，在了解高中階段角的新的定義方法的基礎(chǔ)上，引入新的角的度量方式弧度值。本節(jié)課的重點(diǎn)就是介紹弧度值：他的定義，和已經(jīng)學(xué)過的角度制之間的聯(lián)系，以及弧度值相對(duì)于角度制的好處，難點(diǎn)在于角度弧度之間的熟練的轉(zhuǎn)換，因此訓(xùn)練就要集中的打破舊的角度思維思路，改為弧度考慮。整堂課因此分為三大部分，第一部分是新的知識(shí)的介紹，第二部分主要是角度弧度的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練，最后一部分是反思和提高，把整堂課以及上一堂課的內(nèi)容作一個(gè)總結(jié)。第三課時(shí)：任意角的三角比（1）趙向杰教學(xué)目標(biāo)：1、 通過回憶銳角三角比，感悟任意三角比的定義及相關(guān)要點(diǎn)。2、 通過任意三角比的學(xué)習(xí)進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)和證明。領(lǐng)會(huì)象限角的三角比的符號(hào)，及坐標(biāo)角的三角比

14、值。3、 通過三角比的建立，是學(xué)生初步領(lǐng)會(huì)用代數(shù)方法解決幾何問題的數(shù)形結(jié)合思想。教學(xué)用具： 多媒體。教學(xué)方法： 講練法。教學(xué)過程：一、 引入課題：在初中時(shí)，我們學(xué)習(xí)了銳角三角比。如圖所示，直角三角形oqp中，點(diǎn)o在原點(diǎn)處。設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為，則角的對(duì)邊qp的長為y，鄰邊oq的長為x，斜邊op的長為r，。有銳角三角比的定義，得：。銳角的三角比可以用其終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來定義。 二、講解新課：1、設(shè)a是一個(gè)任意角，在a的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)p（x,y）則p與原點(diǎn)的距離（圖示見書p12略）2、比值叫做a的正弦 記作： ；比值叫做a的余弦 記作： ；比值叫做a的正切 記作： ；比值叫做a的余切 記作：

15、 ；比值叫做a的正割 記作： ；比值叫做a的余割 記作： 注意:角是“任意角”，當(dāng)b=2kp+a(kz)時(shí)，b與a的同名三角比值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。第一組誘導(dǎo)公式：實(shí)際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上述定義同樣適用。（下面有例子說明），而x,y的正負(fù)是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號(hào)應(yīng)由象限確定（后面將專題研究）定義域： 3、典型例題：例：書p13例1、例2。介紹單位元。練一練：書p14練習(xí)5.2（1）/1、2例：書p14表3練一練：書p14練習(xí)5.2（1）/3計(jì)算5sin270+2cos90+3cos360+tan180sin0+sin245cos60。例：書p1

16、4例3練一練：書p16練習(xí)5.2（2）/1例： 已知角a的終邊經(jīng)過p(4,-3),求2sina+cosa的值； 已知角a的終邊經(jīng)過p(4a,-3a),(a0)求2sina+cosa的值。三、 鞏固練習(xí)：1、 已知角的終邊上一點(diǎn)，求。2、 已知角的終邊上一點(diǎn)為p，op=25（o為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，求點(diǎn)p的坐標(biāo)。3、 已知，且是第四象限的角，求的其他三角比。4、 求證：。5、 化簡(jiǎn)：。6、8、設(shè)，則等于（ ）a、 b、 c、 d、四、反思與提高： 1、任意角的三角比是如何定義的？，分別與tan ，cos ，sin 有何聯(lián)系？2、什么是第一組誘導(dǎo)公式？如何求坐標(biāo)角的三角比？是否所有的角都存在六個(gè)三角比

17、？3、試研究六個(gè)三角比值的取值范圍。4、如何確定任意角的三角比在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)?第四課時(shí)：任意角的三角比（2）朱 新一 教學(xué)目標(biāo)：1 知識(shí)與技能掌握任意角的三角比的定義，會(huì)根據(jù)角的終邊上的一點(diǎn)的坐標(biāo)求出六個(gè)三角比，并能確定六個(gè)三角比在各象限內(nèi)的符號(hào)。會(huì)利用任意角的三角比的定義進(jìn)行三角比的求值、化簡(jiǎn)和證明。2 過程與方法在體會(huì)的過程中感悟和歸納出各象限內(nèi)三角比的符號(hào)，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。3 情感態(tài)度與價(jià)值觀 用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)審視事物，用對(duì)立統(tǒng)一的規(guī)律揭示生活中的空間形式和數(shù)量關(guān)系。4、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：根據(jù)角的終邊上的一點(diǎn)的坐標(biāo)求出六個(gè)三角比，并能確定六個(gè)三角比在各象限內(nèi)的符號(hào)。利用任意

18、角的三角比的定義進(jìn)行三角比的求值、化簡(jiǎn)和證明。難點(diǎn)： 六個(gè)三角比在各象限內(nèi)的符號(hào)的理解和記憶。教學(xué)方法： 二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)：（一）復(fù)習(xí)引入（二）新課：1、角是“任意角”，當(dāng)b=2kp+a(kz)時(shí)，b與a的同名三角比值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。第一組誘導(dǎo)公式：實(shí)際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上述定義同樣適用。，而x,y的正負(fù)是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號(hào)應(yīng)由象限確定定義域： 2、任意角的三角比在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)：因?yàn)榻堑娜潜扔善浣K邊上的點(diǎn)確定，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)符號(hào)決定了角的三角比的符號(hào)。請(qǐng)同學(xué)完成表4。由此，總結(jié)出正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)規(guī)律還可以結(jié)合正弦線、余弦線、正切線進(jìn)行印證。為了便以記憶，我們也可以歸納為一個(gè)圖： 為正 全正為正 為正 3、例題（1）求下列各三角比的值：sin1470 cos tan（2）判斷下列角的正弦、余弦、正切、余切的符號(hào)： （3）根據(jù)下列條件確定角屬于哪個(gè)象限：且（4）求函數(shù) 的值域。（5）求證：角為第三象限角的充分必要條件是 （6）求的定義域。4、鞏固練習(xí)：（1）已知角的終邊上一點(diǎn)，求。（2）已知角的終邊上一點(diǎn)為p，op=25（o為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，求點(diǎn)p的坐標(biāo)。（3）已知，且是第四象限的角，求的其他三角比。（4）確定下列三角比的符號(hào)：