高考數(shù)學(xué)高考試題——數(shù)學(xué)(重慶卷)(理)

1、高考數(shù)學(xué)2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷）數(shù)學(xué)試題卷（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘第卷考生注意：1答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、填寫清楚 ，并貼好條形碼請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目2每小題選出答案后，用2鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號在試題卷上作答無效3本卷共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的4所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效5考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回參考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互獨(dú)立，那么如果事件在一次試驗(yàn)

2、中發(fā)生的概率是，那么次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率以為半徑的球體積：一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1直線與圓的位置關(guān)系為（ ）a相切 b相交但直線不過圓心 c直線過圓心d相離2已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為2，則=（ ）a b cd 3的展開式中的系數(shù)是（ ）a16b70c560d11204已知，則向量與向量的夾角是（ ）abcd 5不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）abcd6鍋中煮有芝麻餡湯圓6個，花生餡湯圓5個，豆沙餡湯圓4個，這三種湯圓的外部特征完全相同。從中任意舀取4個湯圓，則每種湯圓都至少取到1個的

3、概率為（ ）a b c d 7設(shè)的三個內(nèi)角，向量，若，則=（ ）abcd 8已知，其中，則的值為（ ）a6bcd9已知二面角的大小為，為空間中任意一點(diǎn)，則過點(diǎn)且與平面和平面所成的角都是的直線的條數(shù)為（ ） a2b3c4d5 10已知以為周期的函數(shù)，其中。若方程恰有5個實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（ ） abcd二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案寫在答題卡相應(yīng)位置上11若，則 12若是奇函數(shù)，則 13將4名大學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有 種（用數(shù)字作答）14設(shè)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式= 15已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線上存在一點(diǎn)使，則該雙曲線

4、的離心率的取值范圍是 三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16（本小題滿分13分，（）小問7分，（）小問6分）設(shè)函數(shù)（）求的最小正周期 （）若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對稱，求當(dāng)時(shí)的最大值17（本小題滿分13分，（）問7分，（）問6分）某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各株大樹是否成活互不影響求移栽的4株大樹中：（）兩種大樹各成活1株的概率；（）成活的株數(shù)的分布列與期望 18（本小題滿分13分，（）問5分，（）問8分）設(shè)函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線（）求的值；（）若函數(shù)，討論的單調(diào)性 19（本小

5、題滿分12分，（）問5分，（）問7分）如題（19）圖，在四棱錐中，且；平面平面，；為的中點(diǎn)，求：（）點(diǎn)到平面的距離；（）二面角的大小 20（本小題滿分12分，（）問5分，（）問7分）已知以原點(diǎn)為中心的橢圓的一條準(zhǔn)線方程為，離心率，是橢圓上的動點(diǎn)（）若的坐標(biāo)分別是，求的最大值；（）如題（20）圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，是點(diǎn)在軸上的射影，點(diǎn)滿足條件：，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；21（本小題滿分12分，（）問5分，（）問7分）設(shè)個不全相等的正數(shù)依次圍成一個圓圈（）若，且是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，求通項(xiàng)；（）若每個數(shù)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項(xiàng)，求證：； 絕密啟用

6、前2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷）數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）答案一、 選擇題：每小題5分，滿分50分 .(1) b (2) a (3) d (4) c (5) a (6) c(7) c (8) d (9) b (10) b.二填空題：每小題5分，滿分25分 .(11) (0,3) (12) (13) 36 (14) (15) (1, )三解答題：滿分75分 .(16)（本小題13分）解：（）= = = 故的最小正周期為t = =8 ()解法一： 在的圖象上任取一點(diǎn)，它關(guān)于的對稱點(diǎn) .由題設(shè)條件，點(diǎn)在的圖象上，從而 = = 當(dāng)時(shí)，因此在區(qū)間上的最大值為解法二： 因區(qū)間關(guān)于x = 1的

7、對稱區(qū)間為，且與的圖象關(guān)于x = 1對稱，故在上的最大值為在上的最大值由（）知 當(dāng)時(shí)，因此在上的最大值為 .(17)（本小題13分）解：設(shè)表示甲種大樹成活k株，k0，1，2表示乙種大樹成活l株，l0，1，2則，獨(dú)立. 由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式有 , . 據(jù)此算得 , , . , , . () 所求概率為. () 解法一：的所有可能值為0，1，2，3，4，且 , , = , . .綜上知有分布列01234p1/361/613/361/31/9從而，的期望為（株）解法二：分布列的求法同上令分別表示甲乙兩種樹成活的株數(shù)，則故有從而知18、（本小題13分）解（）因又在x=0處取得極限值，故從

8、而由曲線y=在（1，f（1）處的切線與直線相互垂直可知該切線斜率為2，即（）由（）知，令（1）當(dāng)（2）當(dāng)k=1時(shí)，g（x）在r上為增函數(shù)（3）方程有兩個不相等實(shí)根當(dāng)函數(shù)當(dāng)時(shí)，故上為減函數(shù)時(shí)，故上為增函數(shù)（19）（本小題12分）解法一：（）因?yàn)閍d/bc,且所以從而a點(diǎn)到平面的距離等于d點(diǎn)到平面的距離。因?yàn)槠矫婀?從而，由ad/bc，得,又由知，從而為點(diǎn)a到平面的距離，因此在中()如答（19）圖1，過e電作交于點(diǎn)g，又過g點(diǎn)作,交ab于h，故為二面角的平面角，記為，過e點(diǎn)作ef/bc,交于點(diǎn)f,連結(jié)gf,因平面,故.由于e為bs邊中點(diǎn)，故,在中，,因，又故由三垂線定理的逆定理得,從而又可得因此而

9、在中，在中，可得，故所求二面角的大小為解法二：（）如答（19）圖2，以s(o)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線od,oc分別為x軸，y軸正向，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，因平面即點(diǎn)a在xoz平面上，因此又因ad/bc，故bc平面csd，即bcs與平面yox重合，從而點(diǎn)a到平面bcs的距離為.()易知c(0,2,0)，d(,0,0). 因e為bs的中點(diǎn).bcs為直角三角形 ,知 設(shè)b(0,2, )，0，則2，故b（0，2，2），所以e（0，1，1） .在cd上取點(diǎn)g，設(shè)g（），使gecd .由故 又點(diǎn)g在直線cd上，即，由=（），則有聯(lián)立、，解得g,故=.又由adcd，所以二面角ecda的平面角為向量與向量所成的角，記

10、此角為 .因?yàn)?，,所以 故所求的二面角的大小為 .(20)（本小題12分）解：（）由題設(shè)條件知焦點(diǎn)在y軸上，故設(shè)橢圓方程為（a b 0 ）. 設(shè)，由準(zhǔn)線方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，從而 b = 1，橢圓方程為 . 又易知c，d兩點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以, 從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)m的坐標(biāo)為時(shí)上式取等號，的最大值為4.（ii）如圖（20）圖，設(shè) .因?yàn)?，?因?yàn)?所以 . 記p點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)閜是bq的中點(diǎn)所以 由因?yàn)?，結(jié)合，得 故動點(diǎn)p的估計(jì)方程為（21）（本小題12分） 解：（i）因是公比為d的等比數(shù)列，從而 由 ，故 解得或（舍去）。因此 又 。解得 從而當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，由是公比為d的等比數(shù)列得因此（ii）由題意得有得 由，得， 故. 又，故有.下面反證法證明：若不然，設(shè)若取即，