《線性代數(shù)》作業(yè)

1、線性代數(shù)作業(yè) 第一章 1 求排列(2n)(2n-1)(n+1)1 2 -Qnn的逆序數(shù)。 解：后面是正常順序，逆序出現(xiàn)在前n個(gè)數(shù)與后n個(gè)數(shù)之間，2n的逆序數(shù)是2n-1,2n-1的逆序數(shù)是2n-2, n+1的逆序數(shù)是n,所以整個(gè)排列的逆序數(shù)是(2n-1) + (2n-2) +n=n(3n-1)/2 2、求排列246(2n)135(2n-1)的逆序數(shù)。 解析：后一項(xiàng)比前一項(xiàng)的算逆序一次，246(2n)無逆序，所以從 1開始，有246(2n)共N個(gè)，3開始有46(2n)有N-1 個(gè)，.，.2n-1有一個(gè)，所以，加一起得，逆序數(shù)為1+2+N=N ( N+1 ) /2 N=n+(n-1)+ +2+1=

2、n(n+1)/2 3、 試判斷 a14a23 a31 a42 a56a65， _a32a43a14a51a25a66_ a32 a43a14 a52 a25a66 是否都是六階仃列式中的項(xiàng)。 解 a14S23a31a42a56a65 下標(biāo)的逆序數(shù)為 t (431265) =o+1+2+2+o+1=6 所以a14a23a31a42a56a65是六階行列式中的項(xiàng)。 -a32a43a14a51a25a66下標(biāo)的逆序數(shù)為t (452316) =8所以-a32a43a14a51a25a66不是六階行列式中的項(xiàng)。 -a32a43az52a25a66 下標(biāo)的逆序數(shù)為 t(452316)=8 以8328438

3是六階行列式中的項(xiàng)。 4、 已知4階行列式D中的第3列上的元素分別是 3, -4，4，2,第1列上元素的余子式依次為8，2, -10， X，求 X。 解：X=20 5、 設(shè)ai2a31aj4a23a15是5階行列式的一項(xiàng)，若該項(xiàng)的符號為負(fù)，則i= 5,i=4 6、 要使3972i15j4成為偶排列，則i=6,j=8。 7、設(shè)D為一個(gè)三階行列式，并且 D=4，現(xiàn)對D進(jìn)行下列變換：先交換第 1和第2行，然后用2乘以行列 式的每個(gè)元素，再用-3乘以第2列加到第3列，則行列式最后結(jié)果為32。 8、 設(shè)對五階行列式(其值為m)依次進(jìn)行下面變換，求其結(jié)果：交換一行與第五行，再轉(zhuǎn)置，

4、用2乘所 有元素，現(xiàn)用-3乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。 解析：交換一行與第五行行列式的值變號 轉(zhuǎn)置行列式的值不變 用2乘所有元素行列式的值乘以2A5 現(xiàn)用-3乘以第二列加到第四列行列式的值不變 最后用4除以第二行各元素(應(yīng)該是用4除”第二行各元素吧？)行列式的值乘以1/4 最終行列式的值是：mK(-1)羽5X1/4 = - 8m 9、計(jì)算下列行列式 2 1 1-3 0 2 14 5-2 10、設(shè)方程X 0 1 3x -51 0 -6 -1 2 -76 2x 7x =0。求x3的系數(shù)。 4 3 1 11、設(shè) D = -1 2 -521 10-5 313, D中元素的余子式和代數(shù)

5、余子式依次記作 -4-1-3 及 M 仆 M 21 M 31 M 41 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 12、 n階行列式 Dn = 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 1 0 k 13、 當(dāng)k= 時(shí), 行列式 1 k 2 =0。 1 -2 k Mj 和 A，求 A -人2A13 - A4 14、已知行列式D4 =60 ,貝V 2 (A21+A23) 其中A21和A23分別為兀素a?1 14 和a23的代數(shù)余子式。 15、計(jì)算下面 n+1 階行列式的值。 其中bi0 1a1a2 -1b10 -10b2 bn -10 0 1.已知 f (x) = x2 -

6、 x -1, 第二章 311 312 ,求 f(A) J 一1 0 2 2 . .2 2 2 0 2 . .2 2 16、計(jì)算n階行列式：D = 2 2 0 . .2 2 2 2 2 . .0 2 2 2 2 . .2 0 o 1 0 “ 1993 5 3 r 1 0 0 2.求 1 0 0 1 3 7 0 0 1 e 0 b -1 2 2 4. A = 2 1 -4 J 3 -2 3 -1 ,r(A)=2,求 X。 x j 5、如果A為n階方陣，求(A*) I、 求矩陣 6、設(shè)矩陣A,B滿足A*BA=2BA-8E,其中A=-2, A*為A的的伴隨矩陣，E為單位矩陣, 1丿 B. 7、A為n階

7、可逆矩陣，則下列()恒正確 TT-1-1 (a).(2A) =2A ,(b). (2A) 1=2A 1, -1 -1 T T -1 -1T T -1-1 -1 T (c). (A ) =(A ) ,(d). (A ) =(A ) *2 0 0、 8、如果A，B滿足關(guān)系式(A-1-I)B=6I，其中I為三階單位矩陣，A = 0 2 0，則B= l003 卩 2、 p-r 9、設(shè)矩陣方程 X = 則矩陣X= 0 1丿 丿 11 10、A = 001 ，則A的秩為 11、 0、 -2 4? -1 -3 7 3 1 0 0 *3 fO A) 12、已知矩陣 A和B均可逆。求分塊矩陣 B O丿 13、設(shè)

8、A、 B均為三階方陣，設(shè) 1 A =3，|B =3,則-2B-1At = 14、矩陣A的逆矩陣為A = 2 1 3 1 ，且 A =6，則 A= 3 (1 15、設(shè)矩陣A = 求X.。 18、設(shè)A,B,C均為n階矩陣，且滿足ABC二E,則下式中哪些一定成立 ？ BCA=E; (2) BAC=E; ACB=E; (4) CBA=E; (5) CAB=E; 第三章 |ax! x2 x3 二 1 1、問線性方程組 X! ax2 X3 = 1 在a取什么值有無解、無窮解？并在無窮解時(shí)求出全部解。 捲 x2 ax3 - -2 2、設(shè) 3 1=2 a 1- a 2,3 2= a 什 a 2,3 3= -

9、a 什3 a 2,證明 3 1,3 2,3 3 線性相關(guān)。 3、已知向量組a 1=(k,2,1), a 2=(2,k,0), a 3=(1,-1,1),試求k為何值時(shí)，向量組 a 1, a 2, a 3線性相關(guān)？線 性無關(guān)？ 4、已知向量組 0 r 6、 0( 2 = k ， 3 = 12 線性相關(guān)。并且 I k k豐6,貝U k= 5、如果向量組：1,：2,-：沁線性無關(guān)，證明向量組二1亠：2, 2亠：3,二3亠：1線性無關(guān)。 7、已知向量組：1 ：3 1、 3 ，則當(dāng) k取什么值時(shí), -1/-2/-3線性相關(guān)? 1、 8 求 a 1 = 1 2 = 3 I2 組線性表示。 的一個(gè)極大無關(guān)組

10、，并把其余向量用該極大無關(guān) 向量組a 1, a 2,- ,a s線性無關(guān)的充分條件是( (a). a 1, a 2, ，a s者E不是零向量。 (b). a 1, a 2, ，a s中任意兩個(gè)向量都不成比例。 (c ). a 1, a 2, ，a s中任意一個(gè)向量均不能由其它 (d). a 1, a 2, ，a s中任一部分組線性無關(guān)。 6、 s-1個(gè)向量線性表示。 9、問當(dāng)a為何值時(shí)，方程組 | -4x2 x3 = 1 xi +3x2 +(a -1)x3 = 0 ax2 9x3 =3 無解；有唯一解；無窮多解？當(dāng)有無窮解時(shí)求出其全部解，當(dāng)有唯一解時(shí)不用求出其解。 10、已知向量組： ：1=(

11、1,0,1,2)t,： 2 = (0,1,1,2)T, ：3 =(一1,1,0,0)丁，： 4 = (1,2,3,6)T (1 )、求向量組的秩； (2 )、求向量組的一個(gè)極大無關(guān)組； (3)、將其余向量用這個(gè)極大無關(guān)組來線性表示。 11、設(shè)有如下線性方程組: 2Xi X2 - X3 X4 = 1 Vxr +2x2 _2x3 +x4 =2 、2x1 + X2 - X3 - X4 = a (1 )、a取何值時(shí)方程組有無窮解？ (2)、在有無窮解的條件下求出方程組的全部解。 12、求下列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，并將其它向量用此極大無關(guān)組線性表示。 a i=(1,0,1,1)T, a 2=(0,1,0,-1)丁， a 3=(0,0,1,-3) 丁，a 4=(2,-1,3,0)T 13、求向量組 -： = (1,2,-1,1)T , 一：2 = (2,0,t,0)T , 一：3 = (0,-4,5,-2)T , 一：4 = (3,-2,t4,-1)T 的秩和一個(gè)極大無關(guān)組。 證明題 2 11 1、已知n階方陣A滿足A2A-3l=0，試證A 2I