黎曼積分和勒貝格積分定義的比較

1、目目 錄錄 1 1 引言引言.1 2 2 積分理論的發(fā)展積分理論的發(fā)展.1 3 3 黎曼積分和勒貝格積分定義的比較黎曼積分和勒貝格積分定義的比較.2 3.1 黎曼黎曼積分積分.2 3.2 勒貝格勒貝格積分積分.3 4 4 黎曼積分與勒貝格積分的關(guān)系黎曼積分與勒貝格積分的關(guān)系.4 5 5 黎曼積分和勒貝格積分性質(zhì)的比較黎曼積分和勒貝格積分性質(zhì)的比較.5 5.1 被積函數(shù)絕對(duì)可積性的比較被積函數(shù)絕對(duì)可積性的比較.5 5.2 被積函數(shù)的有界性的比較被積函數(shù)的有界性的比較.5 5.3 中值定理中值定理.6 5.4 被積函數(shù)連續(xù)性的比較被積函數(shù)連續(xù)性的比較.7 5.5 收斂條件收斂條件.7 6 6 黎曼

2、積分（廣義）與勒貝格積分區(qū)別及聯(lián)系黎曼積分（廣義）與勒貝格積分區(qū)別及聯(lián)系.9 7 7 勒貝格積分的某些推廣勒貝格積分的某些推廣.10 8 8 結(jié)束語結(jié)束語.11 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn).12 致謝致謝.13 黎曼積分和勒貝格積分的比較 數(shù)學(xué)系本數(shù)學(xué)系本 10011001 班班 王海榮王海榮 指導(dǎo)老師：張炎彪指導(dǎo)老師：張炎彪 摘 要：本文章我們將從學(xué)習(xí)過的黎曼積分和勒貝格積分的知識(shí)出發(fā)，探討 和歸納出黎曼積分和勒貝格積分兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系，通過兩者的定義、被 積函數(shù)的連續(xù)性，有界性、收斂條件、中值定理、絕對(duì)可積性以及廣義黎曼積 分和勒貝格積分的比較上，從而說明了勒貝格積分在處理一些黎曼積分難以解 決

3、的問題上時(shí)比較的具有優(yōu)勢(shì)，同時(shí)還指出了勒貝格積分是黎曼積分的重要推 廣，但是卻不是黎曼反常積分的推廣。 關(guān)鍵詞：黎曼積分，勒貝格積分，連續(xù)性，有界性。 Riemann integral and the Lebesgue integral Wang Hairong Class1001，Mathematics Department Tutor:Zhang Yanbiao Abstract : In my thesis, based on the knowledge of the Riemann integral and the Lebesgue integral, we want to explo

4、re and summarize the difference and connection between the Riemann integral and the Lebesgue integral. Through the definition of both items, the continuity and boundedness of the integrand, the convergence condition, the intermediate value theorem, absolute Integrability and the comparison of the br

5、oad sense of Riemann integral and the Lebesgue integral, It shows Lebesgue integral has some advantages in the treatment of some difficult problems on Riemann integral, and also pointes out that the Lebesgue integral is an important generalization of Riemann integral, and it is not the promotion of

6、Riemann anomalous integral. Keywords: Riemann integral, Lebesgue integral, continuity, boundedness. 1 引言 黎曼積分和勒貝格積分分別是數(shù)學(xué)分析和實(shí)變函數(shù)的主要核心內(nèi)容。雖然 萊布尼茨和牛頓兩人發(fā)現(xiàn)了微積分，而且還給出了定積分的相關(guān)論述，但是現(xiàn) 在我們所學(xué)習(xí)的教科書中有關(guān)定積分的現(xiàn)代化定義是黎曼積分給出來的。勒貝 格積分是黎曼積分非常重要的推廣，勒貝格積分與黎曼積分的最主要不同在于 前者是對(duì)函數(shù)的函數(shù)值的區(qū)域進(jìn)行定義區(qū)分，而后者是對(duì)函數(shù)定義域進(jìn)行定義 劃分。這兩種積分既有聯(lián)系又有區(qū)別，通過對(duì)這兩

7、種積分的對(duì)比研究，可以讓 我們加深對(duì)積分理論及應(yīng)用的更多理解。 研究清楚這些問題對(duì)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)非常重要，所以以下我們將對(duì)這些問題 進(jìn)行一一深入探討與研究。 2 積分理論的發(fā)展 在很早的時(shí)候柯西對(duì)連續(xù)函數(shù)做出了積分的定義。黎曼在柯西的基礎(chǔ)上對(duì) “基本上”連續(xù)的函數(shù)積分進(jìn)一步給出了相關(guān)定義。很早之前人們運(yùn)用黎曼積 分來進(jìn)行計(jì)算曲邊形的面積、物體的重心以及物理學(xué)上的功和能等方面都是很 方便的。但是隨著深入的認(rèn)識(shí)，人們便開始經(jīng)常地去處理解決一些復(fù)雜的函數(shù)。 例如由一列性質(zhì)優(yōu)良的函數(shù)組成的級(jí)數(shù)所定義出來的函數(shù)，和兩個(gè)變?cè)暮瘮?shù) 對(duì)一個(gè)變?cè)e分后所得到的一元函數(shù)等。在談?wù)撍鼈兊目煞e性、可微性、連續(xù) 性時(shí)，

8、經(jīng)常遇到極限與積分能否交換順序的相似問題，通常只有在很強(qiáng)的假定 下（一致收斂）才能對(duì)這種問題作出確定性的回答。所以，人們?cè)诶碚摵褪褂?上都急切的想要建立一種新的積分，它既能夠維持黎曼積分在計(jì)算和幾何直觀 上具有有效性，又能夠確保極限與積分交換順序等條件上有很大的改良與突破。 這就需要對(duì)黎曼積分概念進(jìn)行改良。把積分學(xué)推向進(jìn)步的是勒貝格，他在 1902 年成功引進(jìn)一種新的積分勒貝格積分，同時(shí)還引入了一門新的數(shù)學(xué)分支學(xué) 科實(shí)變函數(shù)論。 勒貝格理論主要包括勒貝格積分概念、點(diǎn)集的測(cè)度和可測(cè)函數(shù)，1872 年， 康托提出集合論，引進(jìn)了點(diǎn)集的概念，間斷點(diǎn)可以看做一個(gè)整體進(jìn)行考察，這 樣子就為間斷點(diǎn)與可積性關(guān)

9、系的探究提供了辦法，勒貝格在原來的基礎(chǔ)上推廣 了長(zhǎng)度，建立點(diǎn)集測(cè)度的概念，與此同時(shí)，定義了內(nèi)測(cè)度和外測(cè)度)(Em ，如果時(shí)，我們稱為可測(cè)集，并稱內(nèi)測(cè)度和外測(cè)度的公)(Em)()(EmEm E 共值為點(diǎn)集的測(cè)度。勒貝格的測(cè)度概念把黎曼可積函數(shù)類變得非常的了然。IE 勒貝格又把可測(cè)集上的函數(shù)定義為可測(cè)函數(shù)，那么是一有界可測(cè)集，是E)(xf 定義在上的實(shí)函數(shù)，如果對(duì)任一實(shí)數(shù)，點(diǎn)集還是勒貝格可Ea)(:axfxE 測(cè)集，則)(xf 是上的可測(cè)函數(shù)。容易知道，可測(cè)函數(shù)不是連續(xù)函數(shù)的簡(jiǎn)單推廣，它是在測(cè)E 度論基礎(chǔ)上構(gòu)造出來的，但它能把連續(xù)函數(shù)、可導(dǎo)函數(shù)、單調(diào)函數(shù)作為特例加 以概括。能夠證明，區(qū)間上的任意連

10、續(xù)函數(shù)都是可測(cè)函數(shù)，狄利克雷函數(shù)則是 不連續(xù)的可測(cè)函數(shù)。利用可測(cè)函數(shù)，在研究黎曼積分的定義方式后，考慮到由 于間斷點(diǎn)所造成的振幅過大的困難，勒貝格大膽地改變了對(duì)黎曼積分作函數(shù)定 義域分割的方法，而采用對(duì)函數(shù)值域分割的方法，從而尋求到“縮小”振幅， 消除間斷點(diǎn)困難的簡(jiǎn)單、巧妙而富有哲理性的逆向思維方式。并在點(diǎn)集論、測(cè) 度論、可測(cè)函數(shù)等已有基本概念上創(chuàng)建一種新的積分類型勒貝格積分。徹 底解決了黎曼積分自身局限性所造成的各種困難問題，定義了他自己的積分概 念。這兩種積分既有區(qū)別又有聯(lián)系，通過對(duì)這兩種積分的對(duì)比研究，能讓我們 加深對(duì)積分理論及應(yīng)用的理解。 3 黎曼積分和勒貝格積分定義的比較 3.13.

11、1 黎曼積分黎曼積分 黎曼積分是為了處理計(jì)算平面上封閉曲線圍成圖形的面積問題而產(chǎn)生的,它 是從劃分閉區(qū)間上著手,利用極限想法來進(jìn)行定義的。ba, 定義 1 設(shè)函數(shù)在上有以下定義。隨意給一個(gè)劃分：)(xfba,ba,T =，然后在所有小區(qū)間上任意取一點(diǎn)，a n xxx 10 b kk xx, 1k 。nk, 2 , 1 記區(qū)間的長(zhǎng)為=，令。作積分和 kk xx, 1k 1 kk xx)(Tlmax, 2 , 1:nk k 為。假設(shè)當(dāng)時(shí)，那么積分和的極限是，即 kk n k f )( 1 n 0)(Tl n I ，且數(shù)與劃分無關(guān)，也與的取值無關(guān)，則稱If k k k Tl n Tl )(limli

12、m 1 0)(0)( IT k 函數(shù)在黎曼可積，是在上的黎曼積分，表示為)(xfba,Iba, 。假設(shè)當(dāng)時(shí)，積分和極限不存在，稱函數(shù)在 b )()( a dxxfRI0)(Tl n )(xf ba, 上是不可積。黎曼積分的定義知道：若函數(shù)在上黎曼可積，那么)(xfba, 在上必定有界。換句話說，若函數(shù)在上無界，則在)(xfba,)(xfba,)(xf 上必定不是黎曼可積。ba, 3.23.2 勒貝格勒貝格積分積分 利用與黎曼積分類似的思想，從劃分函數(shù)值域著手利用極限思想來定義勒 貝格積分。 定義 2 設(shè)函數(shù)是上的有界可測(cè)函數(shù)，。任意給)(xfba,Mxfm)( Mm, 一個(gè)劃分。然后考慮集合，

13、MyyymT n 10 ：)(: 1kkk yxfyxE 當(dāng)，給勒貝格定義小和 及大和，nk,2 , 1 sS k n k k mEys 1 1 n k kkmE yS 1 則會(huì)有和，其中。所sSsupinf)(s-0abtS, 2 , 1:max 1 nkyyt kk 以定義函數(shù)在上的勒貝格積分為。)(xfba, b a dxxfLsS)()(supinf 由定義可以知道在有界區(qū)間上的有界可測(cè)函數(shù)勒貝格積分總是存在的。比 較黎曼積分的定義 1 和勒貝格積分的定義 2，會(huì)使人們覺得，黎曼積分是對(duì)區(qū) 間進(jìn)行劃分來思索的，然而勒貝格積分是從對(duì)函數(shù)值域進(jìn)行劃分來思索的。ba, 但這并不是它們真正區(qū)分

14、的實(shí)質(zhì)。因?yàn)槲覀円部梢圆恍枰獎(jiǎng)澐趾瘮?shù)值域的方法 去定義 L 黎曼積分，以下稱為 3 定義。 定義 3 設(shè)是上的非負(fù)可測(cè)的簡(jiǎn)易函數(shù)，它在點(diǎn)集上)(xf n R), 2 , 1(piAi 取值。假如是可測(cè)集，那么定)(,)(: 11 jiAARAxAcxfc ji n p i i p i iii E 義 非負(fù)可測(cè)簡(jiǎn)易函數(shù)在上的勒貝格積分為。設(shè))(xfE)()( 1 i E p i i AExcdxxfL ）（ 是上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，我們定義是上的勒貝格積分，為)(xf n RE )(xfE 是上的非負(fù)可測(cè)簡(jiǎn)易函數(shù) 。若 E Exxfxh E xhdxxhdxxfL)(:)(sup)( )()( ）（

15、 n R ，則稱在上是勒貝格可積的。 dxxfL E )(）（)(xfE 設(shè)是上的可測(cè)函數(shù)，)(xf n RE 0),(max)(xfxf ，如果積分中最起碼有一個(gè)是有限的，則稱0),(max)(xfxf dxxfL E )()( 為在上的勒貝格積分；如果dxxfLdxxfLdxxfL EEE )()()()()( ）（)(xfE 上面式子右邊兩個(gè)積分都有限時(shí)，則稱在上是勒貝格可積的。)(xfE 從勒貝格積分的定義 3 可以知道，在這沒有對(duì)函數(shù)值域作出任何的劃分， 而是從非負(fù)可測(cè)簡(jiǎn)單函數(shù)角度來定義可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分，固然勒貝格積分 的這兩個(gè)定義是相等的。雖然在上黎曼可積的函數(shù)是勒貝格可積的，

16、但反ba, 過來說明就不一定是成立的。所以對(duì)區(qū)間作劃分上的區(qū)別只是表面現(xiàn)象，并不 是勒貝格積分定義的本義性質(zhì)。 4 黎曼積分與勒貝格積分的關(guān)系 我們已經(jīng)差不多建立好了勒貝格積分理論，在進(jìn)一步說明這一理論的其他 內(nèi)容之前，我們可以先揭示它與黎曼積分的關(guān)系。它們的關(guān)系能用一個(gè)公式來 表示，它不但闡明勒貝格積分是黎曼積分的一種推廣，而且為一般有界函數(shù)的 黎曼可積性提供了一個(gè)簡(jiǎn)單的判別準(zhǔn)則。本文將從一維的情形進(jìn)行探討，在這 里要用到黎曼積分理論的下述結(jié)果： 設(shè)是定義在上的有界函數(shù)，是對(duì)所做的分劃序列：)(xfbaI, n ba, ， bxxxa n k nn n n 10 :, 2 , 1n 1:ma

17、x 1n n i n i n kixx ， ，若令（對(duì)每個(gè) 以及）， 0lim n n in : )(sup 1 n i n i n i xxxxfM ，則關(guān)于的 Darboux 上，下積分下述等式 : )(inf 1 n i n i n i xxxxfm )(xf 成 立： ，。 1 1 - lim)( i n n i k i n i n b a xxMdxxf n n k i i n n i n i n b a xxmdxxf 1 1 - lim 引理 1 設(shè)是定義在上的有界函數(shù)，記是在上)(xfbaI,)(x)(xfba, 的 振幅（函數(shù)） ，我們有。左端是在上的勒 dxxfdxxfdx

18、x b a a b I )()( - )(xI 貝 格積分。 證明 因?yàn)樵谏鲜怯薪绲?，所以是上的有界函?shù)，所以)(xfba,)(xba, 。對(duì)于之前所述說的分劃序列，作下列函數(shù)列有baL, n ， 的分點(diǎn)，是 n n i i n n i x xxxM x n , 0 ,1 , 2 , 1, 2 , 1nki n ， , 2 , 1:,的分點(diǎn)是nxbaxE n 顯然且有。我們記各是上 0Em E baxxx n n ,),()(lim BA,baxf,)(在 的上確界、下確界，存在一切，有，所以根據(jù)控制收斂定理x BAx n )( （控 制函數(shù)是常數(shù)函數(shù)）可以得到。從另一方面看，因?yàn)?dx xd

19、xx IIn n )(lim 1 1 i n n i k i n i n i I xxmMdxx n n 1 1 1 1 i n n i k i n i i n n i k i n i xxmxxM nn 得到。 dxxdxx InI n lim dxxfdxxf b a b a - 定理 1 函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)的一切要成一零測(cè)集。 5 黎曼積分和勒貝格積分性質(zhì)的比較 5.15.1 被積函數(shù)絕對(duì)可積性的比較被積函數(shù)絕對(duì)可積性的比較 我們都知道如果在上是可積的，那么在上也是可積的，這fba,fba, 就 說明了對(duì)于勒貝格積分來說，在上可積與在上可積是相互等的，fba,fba

20、, 但是對(duì)于黎曼積分來說，這個(gè)性質(zhì)反而不成立。 例 1 ，顯然，在上不是黎曼可積；但是 是無理數(shù)， 是有理數(shù)；， x x xf 1- 1 )(xf 1 , 0 ，在上黎曼可積。1)(xf)(xf 1 , 0 5.25.2 被積函數(shù)的有界性的比較被積函數(shù)的有界性的比較 由定理 1 我們知道函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)的全體要 成一零測(cè)集，函數(shù)連續(xù)點(diǎn)的全體所構(gòu)成的集合也一定是稠密集，簡(jiǎn)略說明，黎 曼積分理論是針對(duì)連續(xù)函數(shù)或“基本上”連續(xù)的函數(shù)而建立，同時(shí)說明可積函 數(shù)必定是有界的。 定理 2 如果函數(shù)黎曼可積，那么必定有界。 ff 設(shè)在可測(cè)集上是可測(cè)的，這時(shí)我們可定義0)(xf q R

21、E ，稱在上的勒貝格積分。其中dxxfdxxf EnEn )(lim)()(xfE 。: ),(, 21 nxxxxxKEnKE qnnn 令，則，容易得0),(max)(,0),(max)(xfxfxfxf )()()(xfxfxf 出，如果在上是可測(cè)的，那么與在上也是可測(cè)，反之亦然。)(xfE)(xf )(xf 而且對(duì)于測(cè)度有限的可測(cè)集上的可積函數(shù)來說，總是有)(xf 。dxxfdxxfdxxf EEE )()()( 定義 4 設(shè)在可測(cè)集上是可測(cè)的，假如在上述定義下的)(xf q RE 和不同時(shí)為時(shí)，那么我們稱在上積分是確定的，dxxf E )( dxxf E )( )(xfE 并且定義是

22、在上的勒貝格積分，要是dxxfdxxfdxxf EEE )()()( )(xfE 此 積分有限，我們稱在上勒貝格可積。)(xfE 定理 3 設(shè)為可測(cè)集上的有界函數(shù)，那么在上)(xf q RE )(mE)(xfE 勒貝格可積的充分必要條件是在上是可測(cè)的。)(xfE 由此我們知道勒貝格積分與黎曼積分相比較下有著明顯的優(yōu)點(diǎn)，它將可積 函數(shù)類擴(kuò)大成一般可測(cè)函數(shù)，而不僅僅是限于有界函數(shù)。 5.35.3 中值定理中值定理 在黎曼積分中，有以下中值定理： 定理 4（第一中值定理）設(shè)在上連續(xù)，則存在，使得fba,ba, 。 b a abfdxxf)()( 定理 5（第二中值定理）設(shè)在上可積，fba, （i)如

23、果函數(shù)在上遞減，且，則存在，使得gba,0)(xgba, 。 b aa dxxfagdxxgxf )()()()( （ii）如果函數(shù)在上遞增，且，則存在，使得gba,0)(xgba, 。 b a b dxxfbgdxxgxf )()()()( 推論 2 設(shè)函數(shù)在上可積，如果為單調(diào)函數(shù)，則存在，使fba,gba, 得 。 b aa b dxxfbgdxxfagdxxgxf )()()()()()( 在勒貝格積分中，我們知道了從非負(fù)可測(cè)函數(shù)積分的幾何意義到一般可測(cè) 函數(shù)積分的幾何意義。 定理 6 （非負(fù)可測(cè)函數(shù)積分的幾何意義）設(shè)是可測(cè)集上的非)(xf n RE 負(fù) 函數(shù)，那么當(dāng)在上可測(cè)時(shí)，有。)(

24、xfE E fEmGdxxf),()( 推論 3 設(shè)是上可積函數(shù)，則。)(xf n RE ),(),()( fEmGfEmGdxxf E 5.45.4 被積函數(shù)連續(xù)性的比較被積函數(shù)連續(xù)性的比較 如果是定義在上的有界函數(shù)，那么在上是黎曼可積的)(xfba,)(xfba, 充分條件是在上的不連續(xù)點(diǎn)集是零測(cè)度集。)(xfba, 定理 7 定義在有限區(qū)間上的函數(shù)若是黎曼可積，那么勒貝格可積，并ba, 且積分值是相等的，即。 b a b a dxxfLdxxfR)()()()( 這表明了在上黎曼可積與勒貝格積分是相等的，反過來證明勒貝格可)(xfba, 積的函數(shù)未必黎曼可積。 例 2在上的函數(shù)，不是黎曼

25、可積的，卻是勒貝格 IQx IQxx xf 101 10 3 ， ；， 1 , 0 可積的。那是因?yàn)槌它c(diǎn)外，閉區(qū)間上的其余點(diǎn)都是屬于間斷點(diǎn)，那1x 1 , 0 么它在一正測(cè)度集上是間斷的，所以它不是黎曼可積的，但是因?yàn)槭怯薪?(xf 可測(cè)，所以說這個(gè)函數(shù)是勒貝格可積的。 5.5 收斂條件收斂條件 在黎曼積分的意義下，函數(shù)列只有滿足一致收斂的條件，才能夠保證極限 與積分的交換順序，但是這一條件過分強(qiáng)了。如，) 10()(xxxf n n ，, 2 , 1n 當(dāng)時(shí)，收斂但是非一致收斂于，然而此時(shí)仍然有n)(xfn ；10, 0 1, 1 )( x x xf 。dxxfRdxxfR n n n n

26、 )(lim)(0)()(lim 1 0 1 0 這就說明，黎曼積分收斂定理中的一致收斂只是積分運(yùn)算與極限運(yùn)算交換 的充分條件，而不是必要條件。 在勒貝格意義下，不是一致收斂也能保證積分與極限運(yùn)算的交換的。 定理 8 （勒貝格控制收斂定理）設(shè) （1）是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)列；)(xfnE （2），并且在上可積；eaxFxfn)()(xE, 2 , 1n)(xFEL （3）（依測(cè)度收斂）)()(xfxfn 則在上可積，并且。)(xFEL EE n n dxxfdxxf)()(lim 通過定理 6，7，8 能對(duì)黎曼積分收斂定理作出了一些適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)，改進(jìn)后 的定理是： 定理 9 設(shè)和在上可積且)(),

27、 2 , 1)(xfnxfn、)(xFba,R （1）處處收斂于；)(xfn)(xf （2）)()(xFxfn 那么有。 b a b a n n dxxfRdxxfR)()()()(lim 下面我們重新來考察前面所提到的函數(shù)列，和, 2 , 1),10()(nxxxf n n 極限函數(shù)，顯然和滿足定理 9 的條件，因此，雖然 ；10, 0 1, 1 )( x x xf)(xfn)(xf 不一致收斂于，但是由定理 9 可知必定有)(xfn)(xf 。 1 0 1 0 1 0 )()()(lim)()()(limdxxfRdxxfRdxxfR n n n n 由此得知，定理 9 的確比原來的黎曼積

28、分收斂定理要優(yōu)越，但是還要注意， 定理 9 要求在上必定要一致有界的（因可積必有界） ，這顯然使)(xfnba,)(xF 得積分號(hào)下取極限這一重要運(yùn)算手段受到了非常大的限制與影響，不僅僅如此， 定理 9 中關(guān)于極限函數(shù)可積性的假設(shè)也是不能丟掉的。)(xf 例 3 將中全體有理數(shù)列出：作函數(shù)列 1 , 0 21,r r 。 ，其他 ；， 0 2 , 11 21 nrrrx xf n n 顯然對(duì)每個(gè)自然數(shù)是上黎曼可積的函數(shù)，并且積分值都是零，)(,xfn n 1 , 0 所以。 中的無理數(shù)為， 中的有理數(shù)；為， 1 , 00 1 , 01 lim x x xfxfn n 容易知道極限函數(shù)是狄利克雷

29、函數(shù)，它不是黎曼可積的，那就沒有辦)(xF 法去討論積分號(hào)下取極限的問題。 另一方面，從定理 8 得出，在勒貝格積分理論中，沒有要求函數(shù)列一定要 一致有界，只要有一個(gè)控制函數(shù)就行；也沒有要求必須處處收斂于，)(xfn)(xF 只 要能夠依測(cè)度收斂就行，也不用假設(shè)極限函數(shù)的可積性，這是因?yàn)?(xfn)(xF 定理 8 本身就可以保證極限函數(shù)一定是可積的。例如，對(duì)定理 9 中的和)(xfn ，)(xf 必定有。 1 , 01 , 0 )()()()(limdxxfLdxxfL n n 通過以上幾點(diǎn)可以知道，黎曼積分相對(duì)于勒貝格積分有著明顯的局限性。 6 黎曼積分（廣義）與勒貝格積分區(qū)別及聯(lián)系 勒貝

30、格可積函數(shù)的范圍要比黎曼積分廣，這主要體現(xiàn)在勒貝格積分包含了 黎曼積分，勒貝格積分與極限的交換容易達(dá)成主要表現(xiàn)在：積分與極限的交換 問題在勒貝格積分范圍內(nèi)比黎曼積分范圍內(nèi)更為完美的解決，主要體現(xiàn)在控制 收斂的定理上。對(duì)于正常的黎曼積分和勒貝格積分有如下的關(guān)系：定義在有限 區(qū)間上的函數(shù)，如果黎曼積分可積，那么勒貝格積分可積，并且積分值是相等 的，但是相對(duì)于廣義積分來說，卻不一定是這樣。 定理 10 設(shè)是上幾乎處處連續(xù)的函數(shù)，并且對(duì)任意的，)(xfba,0 )(xf 在上是有界的，且在上是不變號(hào)的，則ba,)(xfba, 。 ba b a AdxxfLAdxxfR , )()( 注：上述定理說明了

31、不變號(hào)的函數(shù)廣義黎曼積分和勒貝格積分的關(guān)系，那 么對(duì)上變號(hào)的函數(shù)結(jié)論是不成立的。由此我們知道廣義黎曼積分是推ba,)(xf 不出勒貝格積分的，反之若存在，那么也存在。 ba dxxfL , )( b a dxxfR)( 上面我們考慮的是有界區(qū)域上的無界函數(shù)，下面我們將考慮無限區(qū)域情形。 定理 11 若在上連續(xù)并且是黎曼可積的，則有)(xf，- 。 dxxfLdxxfR)()( - 證明： 因?yàn)樵谏线B續(xù)并且黎曼可積，由定義可知，對(duì)任意)(xf，- 的 閉區(qū)間，在上是黎曼可積的，且有ba,)(xfba, dxxfLdxxfL b a b a )()(lim 并有限，所以，對(duì)每個(gè)，令，1n xXxf

32、xf nnn,- )()(,nnx 則是可測(cè)函數(shù)列，且，根據(jù)單調(diào)收1: )(nxfn xfxfn n )(lim,x 斂 定理可知。所以，在上勒貝格可 - )(limdxxfLdxxfL n nn )(xf，- 積，并且，再由勒貝格控制收斂定理知 )( , xfxXxf nn ,x dxxfRdxxfRdxxfLdxxXxfLdxxfL n n n nn nn n n n )()(lim)(lim)(lim)( , - 則。 dxxfLdxxfR)()( - 定理 12 設(shè)是上的非負(fù)函數(shù)，并且是廣義黎曼可積，那么)(xf, aE 在上勒貝格可積，且。)(xf, a aa dxxfRdxxfL)

33、()( 證明 因?yàn)樵谏鲜菑V義黎曼可積，且是非負(fù)連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意自)(xfE 然數(shù)，在上黎曼可積，則由閉區(qū)間上兩個(gè)積分的關(guān)系可得n)(xfnaEn, ，所以，因此 n a n a dxxfRdxxfL)()( n a n ann dxxfRdxxfL)(lim)(lim 。 aa dxxfRdxxfL)()( 7 勒貝格積分的某些推廣 我們知道，勒貝格的積分運(yùn)算不能夠完全的解決由函數(shù)的有限導(dǎo)數(shù)去求其 原函數(shù)的問題，下面我們一起看看勒貝格積分的一些推廣，它們能夠完全的去 解決這個(gè)問題。 首先 Henstock 把積分的定義稍微的修改，將變成，就能得 R)(x 到 Henstock 積分，對(duì)于的精細(xì)分法定義如下：)(x 定義 5 在上給出正值函數(shù)，要求在上的分法是精ba,0)(xba,T)(x 細(xì)的，是指的有序分點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)，對(duì)每一個(gè)Tbxxxa n 10n , 21 ，都有。), 2 , 1(nii iiiiiii xx , 1 定義 6 設(shè)定義于，若存在常數(shù)，則具有下列關(guān)系：對(duì)，)(xfba,I0 有，對(duì)任何精細(xì)分法，其分點(diǎn)為,結(jié)點(diǎn)為 0 x xbxxxa n 10 ，都有。 n , 21 i iii Ixxf 1 那么稱在上是 Henstock 意義下可積的，并且稱在上的)(xfba,)(xfba, 積分，記作。 H IdxxfH