三角函數(shù)專題研究胡文安

1、三角函數(shù)專題研究一 課程簡(jiǎn)介：三角函數(shù)是歷年來高考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容。純粹的三角考查題目要占到 22 分27 分高考分?jǐn)?shù)，如果再加上在其他學(xué)科中的應(yīng)用分值就應(yīng)該在 40 分左右。可以說三角是高考中的一個(gè)絕對(duì)重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題。但由于這部分內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)多，公式多，題型多，尤其是近年來在其他學(xué)科中的應(yīng)用就更多。所以三角問題的解決是每位考生必須重視的問題?，F(xiàn)對(duì)該課程進(jìn)行簡(jiǎn)單的研究和整理，以便同學(xué)們能系統(tǒng)的對(duì)這部分知識(shí)學(xué)習(xí)和掌握，同時(shí)對(duì)該知識(shí)點(diǎn)在高考中的應(yīng)用題型及解法能較為系統(tǒng)的了解和掌握。二 課時(shí)安排:第一課時(shí)：三角函數(shù)基本定義學(xué)習(xí)第二課時(shí)：三角函數(shù)基本公式學(xué)習(xí)第三課時(shí)：三角函數(shù)圖像性質(zhì)學(xué)習(xí)第四課時(shí)：三角函數(shù)

2、基本題型學(xué)習(xí)第五課時(shí)：近年來高考試題研究第六課時(shí)：高考答題技巧及命題預(yù)測(cè)三 基本知識(shí)框架一、三角函數(shù)基本題型1、 角的概念推廣及角度制與弧度制的換算（文科：了解）第 1 頁2、 任意角三角函數(shù)的計(jì)算（文科：理解）3、 利用同角三角函數(shù)關(guān)系，誘導(dǎo)公式，兩角和公式的化簡(jiǎn)求值（熟練掌握）4、 簡(jiǎn)單的三角不等式解法 （熟練掌握）5、 已知角求三角函數(shù)值，已知三角函數(shù)值求角（熟練掌握）6、 三角函數(shù)的圖象及性質(zhì) (文科：理解 )(五點(diǎn)法作圖重點(diǎn) ) （熟練掌握）7、 三角函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，周期性（熟練掌握）8、 三角函數(shù)與其它學(xué)科 (解斜三角形， 方程，向量，數(shù)列，解幾，導(dǎo)數(shù))綜合性題目 (高考熱點(diǎn)

3、題型 )二、三角函數(shù)基本公式角的單位 關(guān)系 弧長(zhǎng)公式 扇形面積公式制角度制 10180弧度n rl 2n r180 S扇3600.01745弧度弧度制1 弧度0180l a r1S a r扇220 57 1812lr角 位置 角的集合的在 x 軸正半軸上 a a 2k , k Z第 2 頁終在 x 軸負(fù)半軸上 a a 2k , k Z在 x 軸上 a a k ,k Z 邊在 y 軸上a a k , k Z2在第一象限內(nèi)a 2k a 2k , k Z2在第二象限內(nèi) 2 2 ,a k a k k Z2在第三象限內(nèi) 3a 2k a 2k ,k Z2在第四象限內(nèi) 3a 2k a 2k 2 , k Z2

4、特 0函 數(shù) /6 4 3 2322殊 角角的 1sina 01222321 0 01三cosa 1 3 0 0 12222角 1函 tana 0 3 1 3 不 0 不 03 數(shù)存 存值在 在第 3 頁cota 不存在 3 1 3 0 不 0 不 存3存 在在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式同角關(guān)系倒數(shù)關(guān)系； 商的關(guān)系 平方關(guān)系tana cota=1 sina/cosa = tana sin2acos2a=1sina csca=1 cosa/sina = cota 1+tan2a=sec2acosaseca=1 1+cot2a=csc2a誘導(dǎo)公式Sin(-a)=-sina cos(-a)=cosa

5、tan(-a)=-tanacot(-a)=-cotasin (/2 ) = cos sin ( ) sin (3/2 sin (2 = sin )= cos ) = sincos (/2 ) = sin cos ( ) cos(3/2 cos (2 = - cos )= sin ) = costan (/2 ) = cot tan ( )= - tancot (/2 ) = tan cot ( )第 4 頁= - cotsin (/2 + ) = sin( + ) = tan(3 /2 tan(2 - )cos sin ) = cot = tancos (/2 + ) = - cos( +)

6、= - cot(3 /2 cot(2- )sin cos ) = tan = cottan (/2 + ) = - tan( +) = tancotcot (/2 + ) = - cot ( + ) =tan cotsin (3/2 + sin(2k +) = cos ) = sin cos(2k +cos(3 /2 + ) = cos) = sin tan(2k+)tan(3 /2 + = tan)= cot cot(2k+)cot(3 /2 + = cot)= tan (其中 KZ)兩角和與差的三角函數(shù)公式 萬能公式第 5 頁sin( )=sin cos cos sin sin sin c

7、os cos sinsin2 tan( / 2)21 tan ( / 2)文科：了解 cos cos cos sin sincos cos cos sin sintantan tan1 tan tancos21 tan / 221 tan / 2tantan tan1 tan tantan2tan / 221 tan / 2半角的正弦、余弦和正切公式 三角函數(shù)的降冪公式sin1 cos2 22 1 cos 2 2sincos1 cos2 22 1 cos 2 2costan1 cos 1 cos sin2 1 cos sin 1 cos二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、 余弦和正切公

8、式sin 2 2sin cossin33sin 4sin3第 6 頁cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin 2 cos334cos 3costan 22 tan21 2 tantan 333tan tan21 3tan文科：了解三角函數(shù)的和差化積公式 三角函數(shù)的積化和差公式sin sin 2sin cos2 2sin1cos sin sin 2sin sin 2cos sin2 21cos sin sin sin2cos cos cos cos2 21cos cos cos cos 2cos cos 2sin sin2 21sin sin cos cos2文、理科：了解化

9、a sin b cos 為一個(gè)三角函數(shù)的形式 (構(gòu)造輔助角公式 )2 2a sin x b cos x a b sin x（其中 角所在象限由 a、b 的符號(hào)確定， 角的值由 tan ba確定）（熟練掌握）三、近年高考試題對(duì)比研究：AI、06 年陜西：選擇題： 、 、 成等差數(shù)列。是等式 sin( ) sin 2成立的_ 條件(充分而非必要 )(5 分)06 年考查的知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列與簡(jiǎn)單的三角方程的結(jié)合問題第 7 頁大題：f x x x x R (12 分)( ) 3sin(2 ) 2sin ( )26 12I、求 f ( x) 的最小正周期。 (6 分)II、求使函數(shù) f (x) 取得最大

10、值的 x集合(6 分)解：(I) f ( x) 3 sin 2x 1 cos 2 x6 123 12 sin 2 x cos 2 x 12 12 2 122sin 2 x 1 12 62sin 2x 1. 3T22.(II) 當(dāng) f (x) 取最大值時(shí)， sin(2x ) 1, 有32x 2kx , 3 2即 5 ( ),x k k z12所求的集合為 5x R| x k ,k z 12考查的知識(shí)點(diǎn)： 求三角復(fù)合函數(shù)的最小正周期及最值， （共占 17 分）II、07 年陜西?。哼x擇題：sin55，數(shù)列sin cos _( 3)4 45(5分)考查知識(shí)點(diǎn)：已知某三角函數(shù)式，求三角函數(shù)式的值v v

11、 r v大題：設(shè)函數(shù) f (x) a b,a (m,cos2 x)b (1 sin 2x、1) x R 且y f (x) 圖象記過點(diǎn)( ,24)I、求 m 值,II 求函數(shù) f ( x) 的最小值及此時(shí) x 的集合。（12 分）第 8 頁r r解(I) f (x) a b m(1 sin 2 x) cos2 x由已知 ( ) (1 sin ) cos 2. 1f m 得m4 2 2II 由(I)得 ( ) 1 sin 2 cos2 1 2 sin(2 )f x x x x4當(dāng)sin(2x ) 1時(shí)， f (x) min 1 24由sin(2x ) 1,得 x 值的集合為：43x | x k ,

12、k Z8考查知識(shí)點(diǎn)：向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角函數(shù)求最值。 （共占 17分）B、III 、07 全國(guó) I 卷：選擇題：理： 是第四象限角，tan512求5sin _(-13)(5 分)文： 是第四象限角 cos 1213則sin _ 513(5 分)考查知識(shí)點(diǎn)：知一個(gè)三角函數(shù)值，求另一個(gè)三角函數(shù)值。大題 17：設(shè)銳角三角形 ABC 內(nèi)角 A、B、C 的對(duì)邊分別為 a、b、c，a = 2bsinA (10分)I、 求 B 的大??； II、理 ：求 cosA + sinC的范圍 文：若 a = 3 3，c = 5，求 b解：（I）由 a = 2bsinA，由正弦定理得： sinA = 2sinB

13、sinAsinB =12又0 B 2 A - B2 2又 B =6A3 22 5A3 3 612 sin(A + ) 33232 A +3 0，C 0 得，0 B 323由正弦定理，知： AC =BCsin A sinB = 2 3sin3 sinx = 4sinxAB =BCsin A sinC = 4sin(23 x) + 2 32y x x (0 x 4sin 4sin( ) 2 3323)II y = 4（sinx +32cosx +12sinx) + 2 3= 4 3 sin(x + ) + 2 3 ( x + 0， 0，| 0， 0，| | ， 2若該函數(shù)圖像一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為 (

14、，3)，與其相鄰的對(duì)稱中心坐6標(biāo)是 ( - ，0) （07 年合肥質(zhì)檢）12第 12 頁 求函數(shù) y = Asin(x + )的解析式； 3 s i n ( 2 )y x6 理：求函數(shù)圖像在 x = -處的切線方程43 3 33x y 02 4文：求函數(shù)最小值， 并寫出自變量取得最小值時(shí)x 的集合。ymin 3x| x k ,k Z 33、(理) 已知角 A、B、C為 ABC 的三個(gè)內(nèi)角，其對(duì)邊分別為a、uvb、c，若 m= ( - cosA ，sin2A )，vn2= ( cosA ，sin2A )，a = 2 3 ，且2uv vm n=12（07 年師大附中二聯(lián)） 若ABC 面積為3，求

15、b + c 的值； 4 求 b + c 的取值范圍。 ( 2 3 , 4 4、(文) 已知向量 m uv = (cosuv = (cosx ，cos2x )， nv = (cos2x ，sin2x )，且 x2uv v0， 令 f(x) = 2a m n+ b 當(dāng) a = 1時(shí)，求 f(x) 的遞增區(qū)間； 0,4 當(dāng) a 0時(shí)，f(x)值域是 3，4求 a、b a 1 2,b 4v5、若 av= (sin， 1 cos ) ，b32= ( 1 ， 1 cos ) (，)，則av 與bv 的關(guān)系？ ( av bv )6、(理)設(shè)函數(shù) f(x) = 2cosx ( cosx + 3sinx ) 1

16、，x R ，又點(diǎn)P1 (x1，y1)，P2 ( x2，y2) Pn (xn，yn ) ( nN*) ，在函數(shù) y = f(x)圖像上，且滿足條件： x1 = ，xn + 1 xn = ，求 Nn = y1 + y2 + 6 2第 13 頁+ yn值)（07 年杭州質(zhì)檢二）n為奇數(shù)時(shí)， Nn = 2 n為偶數(shù)時(shí)， Nn = 0。7、已知 a、b、c 分別是 ABC 的對(duì)邊，且 a2 + c2 b2 = ac（07 年廣州檢測(cè)2） 求角 B 的大?。? 若 c = 3 a，求 tanA 的值。358、(理) 已知 A(3，0)，B(0，3)， C ( cos，sin)(2，32)（07 年西安八校聯(lián)考）uuvu 若 | ACu uuv| = | BC|，求角 的弧度數(shù)。54uuvu u uuv若 AC BC= - 1，求22sin sin 21 tan的值。599、(文) 已知 sin( - ) =47 210，cos2 =725，求 sin及 tan (+ )。3sin=35tan (+3) =48 25 311v vuuuu10、(理) 已知