三角函數(shù)專題研究胡文安

1、三角函數(shù)專題研究一 課程簡介：三角函數(shù)是歷年來高考的一個重點內容。純粹的三角考查題目要占到 22 分27 分高考分數(shù)，如果再加上在其他學科中的應用分值就應該在 40 分左右?？梢哉f三角是高考中的一個絕對重點和熱點問題。但由于這部分內容知識點多，公式多，題型多，尤其是近年來在其他學科中的應用就更多。所以三角問題的解決是每位考生必須重視的問題?，F(xiàn)對該課程進行簡單的研究和整理，以便同學們能系統(tǒng)的對這部分知識學習和掌握，同時對該知識點在高考中的應用題型及解法能較為系統(tǒng)的了解和掌握。二 課時安排:第一課時：三角函數(shù)基本定義學習第二課時：三角函數(shù)基本公式學習第三課時：三角函數(shù)圖像性質學習第四課時：三角函數(shù)

2、基本題型學習第五課時：近年來高考試題研究第六課時：高考答題技巧及命題預測三 基本知識框架一、三角函數(shù)基本題型1、 角的概念推廣及角度制與弧度制的換算（文科：了解）第 1 頁2、 任意角三角函數(shù)的計算（文科：理解）3、 利用同角三角函數(shù)關系，誘導公式，兩角和公式的化簡求值（熟練掌握）4、 簡單的三角不等式解法 （熟練掌握）5、 已知角求三角函數(shù)值，已知三角函數(shù)值求角（熟練掌握）6、 三角函數(shù)的圖象及性質 (文科：理解 )(五點法作圖重點 ) （熟練掌握）7、 三角函數(shù)的奇偶性，單調性，周期性（熟練掌握）8、 三角函數(shù)與其它學科 (解斜三角形， 方程，向量，數(shù)列，解幾，導數(shù))綜合性題目 (高考熱點

3、題型 )二、三角函數(shù)基本公式角的單位 關系 弧長公式 扇形面積公式制角度制 10180弧度n rl 2n r180 S扇3600.01745弧度弧度制1 弧度0180l a r1S a r扇220 57 1812lr角 位置 角的集合的在 x 軸正半軸上 a a 2k , k Z第 2 頁終在 x 軸負半軸上 a a 2k , k Z在 x 軸上 a a k ,k Z 邊在 y 軸上a a k , k Z2在第一象限內a 2k a 2k , k Z2在第二象限內 2 2 ,a k a k k Z2在第三象限內 3a 2k a 2k ,k Z2在第四象限內 3a 2k a 2k 2 , k Z2

4、特 0函 數(shù) /6 4 3 2322殊 角角的 1sina 01222321 0 01三cosa 1 3 0 0 12222角 1函 tana 0 3 1 3 不 0 不 03 數(shù)存 存值在 在第 3 頁cota 不存在 3 1 3 0 不 0 不 存3存 在在同角三角函數(shù)的基本關系式同角關系倒數(shù)關系； 商的關系 平方關系tana cota=1 sina/cosa = tana sin2acos2a=1sina csca=1 cosa/sina = cota 1+tan2a=sec2acosaseca=1 1+cot2a=csc2a誘導公式Sin(-a)=-sina cos(-a)=cosa

5、tan(-a)=-tanacot(-a)=-cotasin (/2 ) = cos sin ( ) sin (3/2 sin (2 = sin )= cos ) = sincos (/2 ) = sin cos ( ) cos(3/2 cos (2 = - cos )= sin ) = costan (/2 ) = cot tan ( )= - tancot (/2 ) = tan cot ( )第 4 頁= - cotsin (/2 + ) = sin( + ) = tan(3 /2 tan(2 - )cos sin ) = cot = tancos (/2 + ) = - cos( +)

6、= - cot(3 /2 cot(2- )sin cos ) = tan = cottan (/2 + ) = - tan( +) = tancotcot (/2 + ) = - cot ( + ) =tan cotsin (3/2 + sin(2k +) = cos ) = sin cos(2k +cos(3 /2 + ) = cos) = sin tan(2k+)tan(3 /2 + = tan)= cot cot(2k+)cot(3 /2 + = cot)= tan (其中 KZ)兩角和與差的三角函數(shù)公式 萬能公式第 5 頁sin( )=sin cos cos sin sin sin c

7、os cos sinsin2 tan( / 2)21 tan ( / 2)文科：了解 cos cos cos sin sincos cos cos sin sintantan tan1 tan tancos21 tan / 221 tan / 2tantan tan1 tan tantan2tan / 221 tan / 2半角的正弦、余弦和正切公式 三角函數(shù)的降冪公式sin1 cos2 22 1 cos 2 2sincos1 cos2 22 1 cos 2 2costan1 cos 1 cos sin2 1 cos sin 1 cos二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、 余弦和正切公

8、式sin 2 2sin cossin33sin 4sin3第 6 頁cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin 2 cos334cos 3costan 22 tan21 2 tantan 333tan tan21 3tan文科：了解三角函數(shù)的和差化積公式 三角函數(shù)的積化和差公式sin sin 2sin cos2 2sin1cos sin sin 2sin sin 2cos sin2 21cos sin sin sin2cos cos cos cos2 21cos cos cos cos 2cos cos 2sin sin2 21sin sin cos cos2文、理科：了解化

9、a sin b cos 為一個三角函數(shù)的形式 (構造輔助角公式 )2 2a sin x b cos x a b sin x（其中 角所在象限由 a、b 的符號確定， 角的值由 tan ba確定）（熟練掌握）三、近年高考試題對比研究：AI、06 年陜西：選擇題： 、 、 成等差數(shù)列。是等式 sin( ) sin 2成立的_ 條件(充分而非必要 )(5 分)06 年考查的知識點：等差數(shù)列與簡單的三角方程的結合問題第 7 頁大題：f x x x x R (12 分)( ) 3sin(2 ) 2sin ( )26 12I、求 f ( x) 的最小正周期。 (6 分)II、求使函數(shù) f (x) 取得最大

10、值的 x集合(6 分)解：(I) f ( x) 3 sin 2x 1 cos 2 x6 123 12 sin 2 x cos 2 x 12 12 2 122sin 2 x 1 12 62sin 2x 1. 3T22.(II) 當 f (x) 取最大值時， sin(2x ) 1, 有32x 2kx , 3 2即 5 ( ),x k k z12所求的集合為 5x R| x k ,k z 12考查的知識點： 求三角復合函數(shù)的最小正周期及最值， （共占 17 分）II、07 年陜西?。哼x擇題：sin55，數(shù)列sin cos _( 3)4 45(5分)考查知識點：已知某三角函數(shù)式，求三角函數(shù)式的值v v

11、 r v大題：設函數(shù) f (x) a b,a (m,cos2 x)b (1 sin 2x、1) x R 且y f (x) 圖象記過點( ,24)I、求 m 值,II 求函數(shù) f ( x) 的最小值及此時 x 的集合。（12 分）第 8 頁r r解(I) f (x) a b m(1 sin 2 x) cos2 x由已知 ( ) (1 sin ) cos 2. 1f m 得m4 2 2II 由(I)得 ( ) 1 sin 2 cos2 1 2 sin(2 )f x x x x4當sin(2x ) 1時， f (x) min 1 24由sin(2x ) 1,得 x 值的集合為：43x | x k ,

12、k Z8考查知識點：向量數(shù)量積的坐標運算及三角函數(shù)求最值。 （共占 17分）B、III 、07 全國 I 卷：選擇題：理： 是第四象限角，tan512求5sin _(-13)(5 分)文： 是第四象限角 cos 1213則sin _ 513(5 分)考查知識點：知一個三角函數(shù)值，求另一個三角函數(shù)值。大題 17：設銳角三角形 ABC 內角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c，a = 2bsinA (10分)I、 求 B 的大小； II、理 ：求 cosA + sinC的范圍 文：若 a = 3 3，c = 5，求 b解：（I）由 a = 2bsinA，由正弦定理得： sinA = 2sinB

13、sinAsinB =12又0 B 2 A - B2 2又 B =6A3 22 5A3 3 612 sin(A + ) 33232 A +3 0，C 0 得，0 B 323由正弦定理，知： AC =BCsin A sinB = 2 3sin3 sinx = 4sinxAB =BCsin A sinC = 4sin(23 x) + 2 32y x x (0 x 4sin 4sin( ) 2 3323)II y = 4（sinx +32cosx +12sinx) + 2 3= 4 3 sin(x + ) + 2 3 ( x + 0， 0，| 0， 0，| | ， 2若該函數(shù)圖像一個最高點坐標為 (

14、，3)，與其相鄰的對稱中心坐6標是 ( - ，0) （07 年合肥質檢）12第 12 頁 求函數(shù) y = Asin(x + )的解析式； 3 s i n ( 2 )y x6 理：求函數(shù)圖像在 x = -處的切線方程43 3 33x y 02 4文：求函數(shù)最小值， 并寫出自變量取得最小值時x 的集合。ymin 3x| x k ,k Z 33、(理) 已知角 A、B、C為 ABC 的三個內角，其對邊分別為a、uvb、c，若 m= ( - cosA ，sin2A )，vn2= ( cosA ，sin2A )，a = 2 3 ，且2uv vm n=12（07 年師大附中二聯(lián)） 若ABC 面積為3，求

15、b + c 的值； 4 求 b + c 的取值范圍。 ( 2 3 , 4 4、(文) 已知向量 m uv = (cosuv = (cosx ，cos2x )， nv = (cos2x ，sin2x )，且 x2uv v0， 令 f(x) = 2a m n+ b 當 a = 1時，求 f(x) 的遞增區(qū)間； 0,4 當 a 0時，f(x)值域是 3，4求 a、b a 1 2,b 4v5、若 av= (sin， 1 cos ) ，b32= ( 1 ， 1 cos ) (，)，則av 與bv 的關系？ ( av bv )6、(理)設函數(shù) f(x) = 2cosx ( cosx + 3sinx ) 1

16、，x R ，又點P1 (x1，y1)，P2 ( x2，y2) Pn (xn，yn ) ( nN*) ，在函數(shù) y = f(x)圖像上，且滿足條件： x1 = ，xn + 1 xn = ，求 Nn = y1 + y2 + 6 2第 13 頁+ yn值)（07 年杭州質檢二）n為奇數(shù)時， Nn = 2 n為偶數(shù)時， Nn = 0。7、已知 a、b、c 分別是 ABC 的對邊，且 a2 + c2 b2 = ac（07 年廣州檢測2） 求角 B 的大??；3 若 c = 3 a，求 tanA 的值。358、(理) 已知 A(3，0)，B(0，3)， C ( cos，sin)(2，32)（07 年西安八校聯(lián)考）uuvu 若 | ACu uuv| = | BC|，求角 的弧度數(shù)。54uuvu u uuv若 AC BC= - 1，求22sin sin 21 tan的值。599、(文) 已知 sin( - ) =47 210，cos2 =725，求 sin及 tan (+ )。3sin=35tan (+3) =48 25 311v vuuuu10、(理) 已知