奧數(shù)行程問題歸納總結(jié)及部分例題及答案

1、奧數(shù)行程：多人行程的要點及解題技巧行程問題是小學(xué)奧數(shù)中難度系數(shù)比較高的一個模塊， 在小升初考試和各大奧數(shù)杯賽中都能見到行程問題的身影。行程問題中包括：火車過橋、流水行船、沿途數(shù)車、獵狗追兔、環(huán)形行程、多人行程等等。每一類問題都有自己的特點，解決方法也有所不同，但是，行程問題無論怎么變化，都離不開“三個量，三個關(guān)系 ”：這三個量是 ：路程 (s) 、速度 (v) 、時間 (t)三個關(guān)系 ： 1. 簡單行程：路程 = 速度 時間2. 相遇問題：路程和 = 速度和 時間3. 追擊問題：路程差 = 速度差 時間牢牢把握住這三個量以及它們之間的三種關(guān)系，就會發(fā)現(xiàn)解決行程問題還是有很多方法可循的。如“多人

2、行程問題 ”，實際最常見的是 “三人行程 ”例：有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走 40 米，乙每分鐘走 38 米，丙每分鐘走 36 米。在途中，甲和乙相遇后 3 分鐘和丙相遇。問：這個花圃的周長是多少米？分析：這個三人行程的問題由兩個相遇、一個追擊組成，題目中所給的條件只有三個人的速度，以及一個 “3分鐘 ”的時間。第一個相遇：在3 分鐘的時間里，甲、丙的路程和為（40+36）3=228（米）第一個追擊：這 228 米是由于在開始到甲、乙相遇的時間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過程，可求出甲、乙相遇的時間為 228（

3、38-36 ）=114 （分鐘）第二個相遇：在114 分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周長為（ 40+38 ） 114=8892 （米）我們把這樣一個抽象的三人行程問題分解為三個簡單的問題，使解題思路更加清晰?？傊谐虇栴}是重點，也是難點，更是鍛煉思維的好工具。只要理解好 “三個量 ”之間的 “三個關(guān)系 ”，解決行程問題并非難事！奧數(shù)行程：多人行程例題及答案（一）行程問題是小學(xué)奧數(shù)中難度系數(shù)比較高的一個模塊， 在小升初考試和各大奧數(shù)杯賽中都能見到行程問題的身影。 多人行程 - 這類問題主要涉及的人數(shù)為 3 人，主要考察的問題就是求前兩個人相遇或追及的時刻，第三個人的位置， 解題的思路

4、就是把三人問題轉(zhuǎn)化為尋找兩兩人之間的關(guān)系 。例 1. 甲乙丙三人同時從東村去西村，甲騎自行車每小時比乙快 12 公里，比丙快 15 公里，甲行 3.5 小時到達西村后立刻返回。在距西村 30 公里處和乙相聚，問：丙行了多長時間和甲相遇？答案一：設(shè)乙每小時行 x 公里，則甲為 x+12 ，丙為 x-15+12=x-33.5*12=(x+12)*2x=9 甲為 21 公里，丙為 6 公里，21*3.5*2/(21+6）=5.44 小時丙行了 5.44 小時和甲相遇答案二：在距西村 30 公里處和乙相聚，則甲比乙多走60 公里，而甲騎自行車每小時比乙快12 公里，所以，甲乙相聚時所用時間是60/12

5、=5 小時，所以甲從西村到和乙相聚用了5-3.5=1.5 小時，所以，甲速是： 30/1.5=20公里 / 小時，所以，丙速是： 20-15=5 公里 / 小時，東村到西村的距離是： 20*3.5=70公里，所以，甲丙相遇時間是：(2*70)/(20+5)=5.6小時例 2. 難度：高難度甲、乙、丙三輛車同時從 A 地出發(fā)到 B 地去，甲、乙兩車的速度分別為 60 千米時和 48 千米時。有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發(fā)后 6 時、 7 時、 8 時先后與甲、乙、丙三輛車相遇。求丙車的速度。【解答】解題思路：（多人相遇問題要轉(zhuǎn)化成兩兩之間的問題，咱們的相遇和追擊公式也是研究的兩者。另外 ST

6、 圖也是很關(guān)鍵）第一步：當(dāng)甲經(jīng)過 6 小時與卡車相遇時， 乙也走了 6 小時，甲比乙多走了 660-486=72也是現(xiàn)在乙車與卡車的距離）第二步：接上一步，乙與卡車接著走1 小時相遇，所以卡車的速度為72-481=24千米；（這第三步：綜上整體看問題可以求出全程為：（60+24）6=504或（ 48+24）7=504第四步：收官之戰(zhàn)： 5048-24=39 （千米）注意事項：畫圖時，要標(biāo)上時間，并且多人要同時標(biāo)，以防思路錯亂！例 3. 難度：高難度李華步行以每小時 4 千米的速度從學(xué)校出發(fā)到 20.4 千米外的冬令營報到。 0.5 小時后，營地老師聞訊前來迎接，每小時比李華多走 1.2 千米，

7、又經(jīng)過了 1.5 小時，張明從學(xué)校騎車去營地報到。結(jié)果 3 人同時在途中某地相遇。問：張明每小時行駛多少千米？【解答】老師出發(fā)時和李華相距 20.4-4 0.5=18.4 千米，再過 18.4 （ 4+4+1.2 ）=2 小時相遇，相遇地點距學(xué)校 24+2=10 千米，張明行駛的時間為 0.5 小時，因此張明的速度為 100.5=20 千米 /時。奧數(shù)行程：多人行程例題及答案（二）行程問題是小學(xué)奧數(shù)中難度系數(shù)比較高的一個模塊， 在小升初考試和各大奧數(shù)杯賽中都能見到行程問題的身影。多人行程 - 這類問題主要涉及的人數(shù)為 3 人，主要考察的問題就是求前兩個人相遇或追及的時刻，第三個人的位置，解題的

8、思路就是把三人問題轉(zhuǎn)化為尋找兩兩人之間的關(guān)系。例 1.AB 兩地相距 30 千米，甲乙丙三人同時從 A 到 B，而且要求同時到達。 現(xiàn)在有兩輛自行車，但不許帶人，但可以將自行車放在中途某處，后來的人可以接著騎。已知騎自行車的平均速度為每小時 20 千米，甲步行的速度是每小時 5 千米，乙和丙每小時 4 千米，那么三人需要多少小時可以同時到達？【解答】因為乙丙步行速度相等，所以他們兩人步行路程和騎車路程應(yīng)該是相等的。對于甲因為他步行速度快一些，所以騎車路程少一點，步行路程多一些?，F(xiàn)在考慮甲和乙丙步行路程的距離。甲多步行 1 千米要用 1/5 小時，乙多騎車 1 千米用 1/20 小時，甲多用 1

9、/5-1/20=3/20 小時。甲步行 1 千米比乙少用 1/4-1/5=1/20小時。，所以甲比乙多步行的路程是乙步行路程的：1/20/（ 3/20=1/3.這樣設(shè)乙丙步行路程為3 份，甲步行 4 份。如下圖安排：這樣甲騎車行騎車的3/5 ，步行 2/5.所以時間為： 30*3/5/20+30*2/5/5=3.3小時。例 2. 有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走 40 米，乙每分鐘走 38 米，丙每分鐘走 36 米。在途中，甲和乙相遇后 3 分鐘和丙相遇。問：這個花圃的周長是多少米？【解答】這個三人行程的問題由兩個相遇、 一個追

10、擊組成， 題目中所給的條件只有三個人的速度，以及一個 “3分鐘 ”的時間。第一個相遇：在3 分鐘的時間里，甲、丙的路程和為（40+36）3=228（米）第一個追擊：這 228 米是由于在開始到甲、乙相遇的時間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過程，可求出甲、乙相遇的時間為 228（38-36 ）=114 （分鐘）第二個相遇：在114 分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周長為（ 40+38 ） 114=8892 （米）我們把這樣一個抽象的三人行程問題分解為三個簡單的問題，使解題思路更加清晰?？傊?，行程問題是重點，也是難點，更是鍛煉思維的好工具。只要理解好 “三個量 ”之間的 “三個

11、關(guān)系 ”，解決行程問題并非難事！奧數(shù)行程：二次相遇的要點及解題技巧一、概念：兩個運動物體作相向運動或在環(huán)形跑道上作背向運動， 隨著時間的發(fā)展， 必然面對面地相遇， 這類問題叫做相遇問題。二、特點：它的特點是兩個運動物體共同走完整個路程。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的行程問題， 一般是指相遇問題。三、類型：相遇問題根據(jù)數(shù)量關(guān)系可分成三種類型：求路程，求相遇時間，求速度。四、三者的基本關(guān)系及公式：它們的基本關(guān)系式如下：總路程 = （甲速 + 乙速） 相遇時間相遇時間 = 總路程 （甲速 + 乙速）另一個速度 = 甲乙速度和 - 已知的一個速度奧數(shù)行程：二次相遇例題及答案（一）答題思路點撥： 甲從 A 地出發(fā)，乙

12、從 B 地出發(fā)相向而行，兩人在 C 地相遇，相遇后甲繼續(xù)走到 B 地后返回，乙繼續(xù)走到 A 地后返回，第二次在 D 地相遇。一般知道 AC 和 AD 的距離，主要抓住第二次相遇時走的路程是第一次相遇時走的路程的兩倍。例 1. 甲乙兩車同時從 A、B 兩地相向而行，在距 B 地 54 千米處相遇，它們各自到達對方車站后立即返回，在距 A 地 42 千米處相遇。請問 A、B 兩地相距多少千米？A.120B.100C.90D.80【解答】 A。解析：設(shè)兩地相距 x 千米，由題可知，第一次相遇兩車共走了 x，第二次相遇兩車共走了 2x，由于速度不變，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分別為第一次相遇

13、的二倍，即 54 2=x-54+42 ，得出 x=120 。例 2. 兩汽車同時從A、 B速沿原路返回，在離A 城 44兩地相向而行，在離 A 城千米處相遇。兩城市相距（52 千米處相遇，到達對方城市后立即以原）千米A.200B.150C.120D.100【解答】 D。解析：第一次相遇時兩車共走一個全程，第二次相遇時兩車共走了兩個全程，從 A 城出發(fā)的汽車在第二次相遇時走了 522=104 千米，從 B 城出發(fā)的汽車走了 52+44=94 千米，故兩城間距離為（ 104+96 ）2=100 千米。繞圈問題：例 3. 在一個圓形跑道上，甲從A 點、乙從 B 點同時出發(fā)反向而行，分鐘甲到 B 點，

14、又過 10 分鐘兩人再次相遇，則甲環(huán)行一周需要（）？8 分鐘后兩人相遇，再過6A24分鐘B 26分鐘C28 分鐘D30分鐘兩人甲從【解答】 C。解析：甲、乙兩人從第一次相遇到第二次相遇，用了 6+10=16 分鐘。也就是說， 16 分鐘走一圈。從出發(fā)到兩人第一次相遇用了 8 分鐘，所以兩人共走半圈， 即從 A 到 B 是半圈， A 到 B 用了 8+6=14 分鐘，故甲環(huán)行一周需要 142=28 分鐘。也是一個倍數(shù)關(guān)系。奧數(shù)行程：二次相遇例題及答案（二）例 1. 兩輛汽車同時從甲、乙兩地相對開出，一輛汽車每小時行56 千米，另一輛汽車每小時行63 千米，經(jīng)過 4 小時后相遇。甲乙兩地相距多少千

15、米？（適于五年級程度）【解答】兩輛汽車從同時相對開出到相遇各行 4 小時。一輛汽車的速度乘以它行駛的時間，就是它行駛的路程；另一輛汽車的速度乘以它行駛的時間， 就是這輛汽車行駛的路程。 兩車行駛路程之和，就是兩地距離。564=224 （千米）634=252 （千米）224+252=476 （千米）綜合算式：564+63 4=224+252=476 （千米）答：甲乙兩地相距476 千米。例 2. 兩列火車同時從相距480 千米的兩個城市出發(fā)，相向而行，甲車每小時行駛車每小時行駛42 千米。 5 小時后，兩列火車相距多少千米？（適于五年級程度）40 千米，乙解：此題的答案不能直接求出，先求出兩車去

16、兩車 5 小時共行的路程，所得就是兩車的距離。480- （40+42 ）55 小時共行多遠后，從兩地的距離480 千米中，減=480-82 5=480-410=70 （千米）答： 5 小時后兩列火車相距70 千米。例 3. 兩列火車從甲、乙兩地同時出發(fā)對面開來，第一列火車每小時行駛每小時行駛 55 千米。兩車相遇時，第一列火車比第二列火車多行了20離。（適于五年級程度）60 千米，第二列火車千米。求甲、乙兩地間的距解：兩車相遇時，兩車的路程差是 20 千米。出現(xiàn)路程差的原因是兩車行駛的速度不同，第一列火車每小時比第二列火車多行（ 60-55 ）千米。由此可求出兩車相遇的時間，進而求出甲、乙兩地

17、間的距離。（60+55 ）20 （ 60-55 ）=115 20 5=460 （千米）答：甲、乙兩地間的距離為460 千米。奧數(shù)行程：追及問題的要點及解題技巧一、多人相遇追及問題的概念及公式多人相遇追及問題，即在同一直線上，3 個或 3 個以上的對象之間的相遇追及問題。所有行程問題都是圍繞 這一條基本關(guān)系式展開的， 比如我們遇到的兩大典型行程題相遇問題和追及問題的本質(zhì)也是這三個量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化由此還可以得到如下兩條關(guān)系式：追及距離速度差 追及時間追及時間追及距離 速度差速度差追及距離 追及時間多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜， 但只要抓住這兩條公式， 逐步表征題目中所涉及的數(shù)量， 問題即可迎刃而解

18、二、多次相遇追及問題的解題思路所有行程問題都是圍繞 這一條基本關(guān)系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這個公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解多次相遇與全程的關(guān)系1. 兩地相向出發(fā)：第 1 次相遇，共走 1 個全程；第 2 次相遇，共走 3 個全程；第 3 次相遇，共走 5 個全程；， ；第 N 次相遇，共走 2N-1 個全程；注意：除了第 1 次，剩下的次與次之間都是2 個全程。即甲第1 次如果走了 N 米，以后每次都走 2N 米。2. 同地同向出發(fā)：第 1 次相遇，共走 2 個全程；第 2 次相遇，共走 4 個全程；第 3 次相遇，共走 6 個全程；，；第 N

19、次相遇，共走 2N 個全程；3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個全程多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差奧數(shù)行程：追及問題例題及答案（一）例 1. 一條街上，一個騎車人和一個步行人相向而行，騎車人的速度是步行人的3 倍，每個隔 10 分鐘有一輛公交車超過一個行人。每個隔 20 分鐘有一輛公交車超過一個騎車人，如果公交車從始發(fā)站每隔相同的時間發(fā)一輛車，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公交車？A.10B.8C.6D.4【解答】我們知道這個題目出現(xiàn)了2 個情況，就是（1）汽車與騎自行車的人的追擊問題，（2）汽車與行人的追擊問題追擊問題中的一個顯著的公式就是路程差速度差 時間我們知道這里的 2 個追擊

20、情況的路程差都是汽車的間隔發(fā)車距離。 是相等的。因為我們要求的是關(guān)于時間所以可以將汽車的間隔距離看作單位 1.那么根據(jù)追擊公式(1)(V 汽車 V 步行 )=1/10(2)(V 汽車 3V 步行 )=1/20(1) 3 (2)=2V 汽車 3/10-1/20 很快速的就能解得 V 汽車 1/8 答案顯而易見是 8例 2. 小明在商場的一樓要乘扶梯到二樓。扶梯方向向上，小芳則從二樓到一樓。已知小明的速度是小芳的 2 倍。小明用了 2 分鐘到達二樓，小芳用了 8 分鐘到達一樓。如果我們把一個箱子放在一樓的第一個階梯上問多長時間可以到達二樓？【解答】跟上面一題一樣。這個題目也是2 個行程問題的比較（

21、1）小明跟扶梯之間是方向相同(1)(V 小明 V 扶梯 )=1/2（2）小芳跟扶梯的方向相反(2)(V 小芳 V 扶梯 )=1/8(1)-2 (2)=3V 扶梯 1/4 可見扶梯速度是1/12 答案就顯而易見了?？偨Y(jié)：在多個行程問題模型存在的時候。我們利用其速度差，速度和的關(guān)系將未知的變量抵消?？梢院茌p松的一步求得結(jié)果！奧數(shù)行程：追及問題例題及答案（二）例 1. 上午 8 點 8 分，小明騎自行車從家里出發(fā)， 8 分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4 千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家，到家后又立即回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是 8 千米。問這時是幾點幾分？【解答】先畫出示意圖圖

22、37-1 如下（圖 37-1 中 A 點表示爸爸第一次追上小明的地方，B 點表示他第二次追上小明的地方）。從圖37-1 上看出，在相同時間（從第一次追上到第二次追上）內(nèi)，小明從 A 點到 B 點，行完（ 8-4= ）4 千米；爸爸先從 A 點到家，再從家到 B 點，行完（ 8+4= ）12 千米?？梢?， 爸爸的速度是小明的（ 124= ）3 倍。從而，行完同樣多的路程（比如從家到 A 點），小明所用的時間就是爸爸的 3 倍。由于小明從家出發(fā)8 分鐘后爸爸去追他，并且在A 點追上，所以，小明從家到A 點比爸爸多用8 分鐘。這樣可以算出，小明從家到A 所用的時間為8（3-1 ）3=12（分）8（3

23、-1 ）3X2=24（分）例 2.A 、B 兩地間有條公路，甲從 A 地出發(fā)，步行到 B 地，乙騎摩托車從 B 地出發(fā)，不停地往返于 A 、B 兩地之間，他們同時出發(fā)， 80 分鐘后兩人第一次相遇， 100 分鐘后乙第一次追上甲， 問：當(dāng)甲到達 B 地時，乙追上甲幾次？【解答】由上圖容易看出：在第一次相遇與第一次追上之間，乙在 100-80=20 （分鐘）內(nèi)所走的路程恰等于線段 FA 的長度再加上線段 AE 的長度，即等于甲在（ 80+100 ）分鐘內(nèi)所走的路程，因此，乙的速度是甲的 9 倍（ =180 20），則 BF的長為 AF 的 9 倍， 所以，甲從 A 到 B，共需走 80 （ 1+

24、9 ）=800 （分鐘），乙第一次追上甲時，所用的時間為 100 分鐘，且與甲的路程差為一個 AB 全程 .從第一次追上甲 時開始，乙每次追上甲的路程差就是兩個 AB 全程，因此，追及時間也變?yōu)?200 分鐘，所以，在甲從 A 到 B 的 800 分鐘內(nèi)，乙共有 4 次追上甲，即在第 100 分 鐘， 300 分鐘， 500 分鐘和 700 分鐘 .奧數(shù)行程：火車過橋的要點及解題技巧一、什么是過橋問題？火車過橋問題是行程問題的一種，也有路程、速度與時間之間的數(shù)量關(guān)系，同時還涉及車長、橋長等問題?；緮?shù)量關(guān)系是 火車速度 時間 = 車長 + 橋長二、關(guān)于火車過橋問題的三種題型：（ 1 ）基本題型

25、： 這類問題需要注意兩點：火車車長記入總路程；重點是車尾：火車與人擦肩而過，即車尾離人而去。如：火車通過一條長 1140 米的橋梁用了 50 秒，火車穿過 1980 米的隧道用了 80 秒，求這列火車的速度和車長。（過橋問題）一列火車通過 800 米的橋需 55 秒，通過 500 米的隧道需 40 秒。問該列車與另一列長 384 、每秒鐘行 18 米的列車迎面錯車需要多少秒鐘？（火車相遇）（2 ）錯車或者超車 ：看哪輛車經(jīng)過，路程和或差就是哪輛車的車長如：快、慢兩列火車相向而行，快車的車長是 50 米，慢車的車長是 80 米，快車的速度是慢車的 2 倍，如果坐在慢車的人見快車駛過窗口的時間是

26、5 秒，那么，坐在快車的人見慢車駛過窗口的時間是多少？（3 ）綜合題 ：用車長求出速度；雖然不知道總路程，但是可以求出某兩個時刻間兩人或車之間的路程關(guān)系如：鐵路旁有一條小路，一列長為 110 米的火車以每小時 30 千米的速度向南駛?cè)ィ?8 點時追上向南行走的一名軍人， 15 秒后離他而去， 8 點 6 分迎面遇到一個向北走的農(nóng)民， 12 秒后離開這個農(nóng)民。問軍人與農(nóng)民何時相遇？奧數(shù)行程：火車過橋的例題及答案（一）例 1. 一列火車長 150 米，每秒鐘行19 米。全車通過長800 米的大橋，需要多少時間？【解答】列車過橋，就是從車頭上橋到車尾離橋止。車尾經(jīng)過的距離 = 車長 + 橋長，車尾行

27、駛這段路程所用的時間用車長與橋長和除以車速。解：（ 800+150 ） 19=50 （秒）答：全車通過長800 米的大橋，需要 50 秒。例 2. 一列火車長 200 米，以每秒 8 米的速度通過一條隧道，從車頭進洞到車尾離洞，一共用了40 秒。這條隧道長多少米？【解答】先求出車長與隧道長的和，然后求出隧道長?；疖噺能囶^進洞到車尾離洞，共走車長 + 隧道長。這段路程是以每秒 8 米的速度行了 40 秒。解：（ 1）火車 40 秒所行路程： 840=320 （米）（2）隧道長度： 320-200=120 （米）答：這條隧道長120 米。例 3. 一列火車長 119 米，它以每秒 15 米的速度行

28、駛，小華以每秒 2 米的速度從對面走來，經(jīng)過幾秒鐘后火車從小華身邊通過？【解答】本題是求火車車頭與小華相遇時到車尾與小華相遇時經(jīng)過的時間。依題意，必須要知道火車車頭與小華相遇時，車尾與小華的距離、火車與小華的速度和。解：（ 1）火車與小華的速度和：15+2=17 （米 / 秒）（2）相距距離就是一個火車車長：119 米（3）經(jīng)過時間： 11917=7 （秒）答：經(jīng)過 7 秒鐘后火車從小華身邊通過。奧數(shù)行程：火車過橋的例題及答案（二）例 1. 某列車通過 250 米長的隧道用25 秒，通過米，速度為每小時行64.8 千米的火車錯車時需要（【解答】火車過橋問題公式： (車長 + 橋長 )/ 火車車

29、速 = 火車過橋時間速度為每小時行64.8 千米的火車，每秒的速度為210 米的鐵橋用）秒。18 米/ 秒，23 秒，該列車與另一列長320某列車通過 250 米長的隧道用 25 秒，通過 210 米的鐵橋用 23 秒，則該火車車速為： (250-210)/(25-23)=20米 / 秒路程差除以時間差等于火車車速.該火車車長為： 20*25-250=250(米)或 20*23-210=250( 米 )所以該列車與另一列長320 米，速度為每小時行64.8 千米的火車錯車時需要的時間為(320+250)/(18+20)=15(秒 )例 2. 一列火車長 160m ，勻速行駛，首先用 26s 的

30、時間通過甲隧道（即從車頭進入口到車尾離開口為止），行駛了 100km 后又用 16s 的時間通過乙隧道，到達了某車站，總行程 100.352km 。求甲、乙隧道的長？【解答】設(shè)甲隧道的長度為xm那么乙隧道的長度是（ 100.352-100 ）（單位是千米?。?*1000-x （ 352-x)那么(x+160)/26=(352-x+160)/16解出 x256那么乙隧道的長度是352-256=96火車過橋問題的基本公式（火車的長度 + 橋的長度） / 時間速度例 3. 甲、乙兩人分別沿鐵軌反向而行，此時，一列火車勻速地向甲迎面駛來，列車在甲身旁開過，用了 15 秒，然后在乙身旁開過，用了 17

31、秒，已知兩人的步行速度都是 3.6 千米 / 小時，這列火車有多長？【解答】從題意得知，甲與火車是一個相遇問題，兩者行駛路程的和是火車的長.乙與火車是一個追及問題，兩者行駛路程的差是火車的長，因此，先設(shè)這列火車的速度為 米 / 秒，兩人的步行速度 3.6 千米 / 小時 1 米/ 秒，所以根據(jù)甲與火車相遇計算火車的長為 (15 115) 米，根據(jù)乙與火車追及計算火車的長為 (17 -1 17) 米，兩種運算結(jié)果火車的長不變，列得方程為15115 17-1 17解得： 16故火車的長為 1716-1 17 255 米奧數(shù)行程：流水行船的要點及解題技巧一、什么叫流水行船問題船在水中航行時， 除了自

32、身的速度外， 還受到水流的影響， 在這種情況下計算船只的航行速度、時間和行程，研究水流速度與船只自身速度的相互作用問題，叫作流水行船問題。二、流水行船問題中有哪三個基本量？流水行船問題是行程問題中的一種，因此行程問題中的速度、時間、路程三個基本量之間的關(guān)系在這里也當(dāng)然適用三、流水行船問題中的三個基本量之間有何關(guān)系？流水行船問題還有以下兩個基本公式：順?biāo)俣?= 船速 + 水速，（ 1）逆水速度 = 船速 - 水速 .（ 2）這里，船速是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時間里所走過的路程 .水速，是指水在單位時間里流過的路程 . 順?biāo)俣群湍嫠俣确謩e指順流航行時和逆流航行時船在單位時間里所行

33、的路程。根據(jù)加減法互為逆運算的關(guān)系，由公式（l）可以得到：水速 = 順?biāo)俣?- 船速，船速 = 順?biāo)俣?-水速 。由公式（ 2）可以得到：水速 = 船速 - 逆水速度 ，船速 = 逆水速度 + 水速 。這就是說，只要知道了船在靜水中的速度，船的實際速度和水速這三個量中的任意兩個，就可以求出第三個量。另外，已知船的逆水速度和順?biāo)俣?，根?jù)公式（1）和公式（ 2），相加和相減就可以得到：船速 = （順?biāo)俣?+ 逆水速度） 2，水速 = （順?biāo)俣?-逆水速度） 2。奧數(shù)行程：流水行船的例題及答案（一）例 1. 一艘輪船從河的上游甲港順流到達下游的丙港， 然后調(diào)頭逆流向上到達中游的乙港， 共用

34、了 12 小時。已知這條輪船的順流速度是逆流速度的 2 倍，水流速度是每小時 2 千米，從甲港到乙港相距 18 千米。則甲、丙兩港間的距離為（ ）A.44 千米B.48 千米C.30 千米D.36 千米【答案】 A。解析：順流速度逆流速度 =2水流速度，又順流速度 =2逆流速度，可知順流速度 =4 水流速度 =8 千米 /時，逆流速度 =2 水流速度 =4 千米 / 時。設(shè)甲、丙兩港間距離為 X 千米，可列方程 X8+ （ X 18） 4=12 解得 X=44 。例 2. 一艘輪船在兩碼頭之間航行。如果順?biāo)叫行?8 小時，如果逆水航行需 11 小時。已知水速為每小時 3 千米，那么兩碼頭之間

35、的距離是多少千米？A.180B.185C.190D.176【答案】 D。解析：設(shè)全程為 s，那么順?biāo)俣葹?，逆水速度為，由（順?biāo)俣?- 逆水速度） /2= 水速，知道 =6 ，得出 s=176 ?！局R點撥】我們知道，船順?biāo)叫袝r，船一方面按自己本身的速度即船速在水面上行進，同時整個水面又按水流動的速度在前進， 因此船順?biāo)叫械膶嶋H速度 （簡稱順?biāo)俣龋?就等于船速和水速的和，即：順?biāo)俣?= 船速 + 水速同理：逆水速度 = 船速 -水速可推知：船速 = （順?biāo)俣?+ 逆水速度） /2 ；水速 = （順?biāo)俣?- 逆水速度） /2奧數(shù)行程：流水行船的例題及答案（二）例 1. 甲、乙兩港間

36、的水路長 208 千米，一只船從甲港開往乙港，順?biāo)?8 小時到達，從乙港返回甲港，逆水 13 小時到達，求船在靜水中的速度和水流速度?！痉治觥扛鶕?jù)題意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本數(shù)量關(guān)系先求出順?biāo)俣群湍嫠俣?，而順?biāo)俣群湍嫠俣瓤砂葱谐虇栴}的一般數(shù)量關(guān)系，用路程分別除以順?biāo)?逆水所行時間求出。解：順?biāo)俣龋?2088=26 （千米 / 小時）逆水速度： 20813=16 （千米 / 小時）船速：（ 26+16 ）2=21 （千米 / 小時）水速：（ 2616） 2=5 （千米 / 小時）答：船在靜水中的速度為每小時21 千米，水流速度每小時5 千米。例 2. 某船在靜水中的速度

37、是每小時 15 千米，它從上游甲地開往下游乙地共花去了 8 小時，水速每小時 3 千米，問從乙地返回甲地需要多少時間？【分析】要想求從乙地返回甲地需要多少時間，只要分別求出甲、 乙兩地之間的路程和逆水速度。解：從甲地到乙地，順?biāo)俣龋?5+3=18 （千米 / 小時），甲乙兩地路程： 188=144 （千米），從乙地到甲地的逆水速度：153=12 （千米 / 小時），返回時逆行用的時間： 14412 12（小時）。答：從乙地返回甲地需要12 小時。例 3. 甲、乙兩港相距 360 千米，一輪船往返兩港需 35 小時，逆流航行比順流航行多花了 5 小時 .現(xiàn)在有一機帆船，靜水中速度是每小時 12

38、 千米，這機帆船往返兩港要多少小時？【分析】要求帆船往返兩港的時間，就要先求出水速 .由題意可以知道，輪船逆流航行與順流航行的時間和與時間差分別是 35 小時與 5 小時，用和差問題解法可以求出逆流航行和順流航行的時間 . 并能進一步求出輪船的逆流速度和順流速度 .在此基礎(chǔ)上再用和差問題解法求出水速。解：輪船逆流航行的時間：（35+5 ）2=20 （小時），順流航行的時間：（ 355）2=15 （小時），輪船逆流速度： 36020=18 （千米 / 小時），順流速度： 36015=24 （千米 / 小時），水速：（ 2418） 2=3 （千米 / 小時），帆船的順流速度： 12315 （千米

39、/ 小時），帆船的逆水速度： 123=9 （千米 / 小時），帆船往返兩港所用時間：36015 360924+40=64 （小時）。答：機帆船往返兩港要64 小時。奧數(shù)行程：環(huán)形跑道的要點及解題技巧一、什么是環(huán)形跑道問題？環(huán)形跑道問題特殊場地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進行分析。二、在做出線段圖后，反復(fù)的在每一段路程上利用：路程和 = 相遇時間 速度和路程差 = 追及時間 速度差三、解環(huán)形跑道問題的一般方法：環(huán)形跑道問題，從同一地點出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一

40、圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次這個等量關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)鍵。奧數(shù)行程：環(huán)形跑道的例題及答案（一）環(huán)形跑道問題特殊場地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進行分析。下面通過幾道例題來幫助大家鞏固環(huán)形跑道的相關(guān)知識。例 1. 甲、乙兩人從 400 米的環(huán)形跑道上一點 A 背向同時出發(fā)， 8 分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比乙多走 0.1 米，那么兩人第五次相遇的地點與點 A 沿跑道上的最短路程是多少米？【解答】設(shè)乙的速度是 x 米/ 分 0.1

41、 米 / 秒 =6 米 / 分 8x+8x+8 6=400 5x=122122 8400=2.176那么兩人第五次相遇的地點與點A 沿跑道上的最短路程是176 米例 2. 二人沿一周長 400 米的環(huán)形跑道均速前進，甲行一圈 4 分鐘，乙行一圈 7 分鐘，他們同時同地同向出發(fā)，甲走 10 圈，改反向出發(fā)，每次甲追上乙或迎面相遇時二人都要擊掌。問第十五次擊掌時，甲走多長時間乙走多少路程？【解答】甲走完 10 圈走了 10*400=4000 米他們每擊掌一次，甲走一圈 ( 畫畫圖就會明白的 ) ，則 15*400=6000 米總共走了 6000+4000=10000 米 10000/400=25

42、分鐘因為甲乙所走時間想同所以乙走了 25/7*400 1428 米例 3. 林玲在 450 米長的環(huán)形跑道上跑一圈，已知他前一半時間每秒跑5 米，后一半時間每秒跑 4 米，那么他后一半路程跑了多少秒？【解答】總共用時為450 （5+4 ） 50 秒后半程用時（ 225-4 50）5+50 55 秒例 4. 某人在 360 米的環(huán)形跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑5 米，后一半時間每秒跑 4 米，則他后一半路程跑了多少秒？【解答】 44 秒因為共花了 80 秒的時間（ 80/2 ）-360/2 ）/5+80/2=44例 5. 一條環(huán)形跑道長400 米，小青每分鐘跑260 米，小蘭每分鐘跑2

43、10 米，兩人同時出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇（不用解方程）【解答】小青每分鐘比小蘭多跑50 米一圈是400 米400/50=8所以跑8 分鐘例6. 兩人在環(huán)形跑道上跑步，兩人從同一地點出發(fā)，小明每秒跑3 米，小雅每秒跑4 米，反向而行，45 秒后兩人相遇。如果同向而行，幾秒后兩人再次相遇【解答】（ 4+3 ）45=315 米環(huán)形跑道的長（相遇問題求解）315 （4-3 ） =315 秒（追及問題求解）答： 315 秒后兩人再次相遇 .奧數(shù)行程：環(huán)形跑道的例題及答案（二）環(huán)形跑道問題特殊場地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)

44、確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進行分析。下面通過幾道例題來幫助大家鞏固環(huán)形跑道的相關(guān)知識。例 1. 甲、乙兩人同時從 400 米的環(huán)形路跑道的一點 A 背向出發(fā)， 8 分鐘后兩人第三次相遇。已知甲每秒鐘比乙每秒鐘多行 0.1 米，兩人第三次相遇的地點與 A 點沿跑道上的最短距離是（ ）。A.166 米 B.176 米C.224 米 D.234 米【解答】甲、乙兩人三次相遇，共行了三個全程，即是 3400=1200 （米）。根據(jù)題意，甲乙兩人的速度和為 1200/8=150 （米 / 分）因為甲乙兩人的每分速度差為0.1 60=6 （米 / 分），所以甲的速度為（150+

45、6 ） /2=78 （米 /分）甲 8 分鐘行的路程為 78 8=624 （米），離開原點 624-400=224 米，因為 224400/2 ，所以 400-224=176 （米）即為答案。例 2. 乙兩車同時從同一點出發(fā)， 沿周長 6 千米的圓形跑道以相反的方向行駛。 甲車每小時行駛65 千米，乙車每小時行駛 55 千米。一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上乙車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第 11 次相遇的地點距離點有多少米？ ( 每一次甲車追上乙車也看作一次相遇 )【解答】第一次是一個相遇過程，相遇時間為：6（ 65+55 ） =0.05 小時，相遇地點距離A 點：5

46、5 0.05=2.75 千米然后乙車調(diào)頭，成為追及過程，追及時間為：6（65-55 ） =0.6 小時，乙車在此過程中走的路程為： 550.6=33 千米，即 5 圈又 3 千米，那么這時距離 A 點 3-2.75=0.25千米此時甲車調(diào)頭，又成為相遇過程，同樣方法可計算出相遇地點距離A 點 0.25+2.75=3千米，然后乙車掉頭，成為追及過程，根據(jù)上面的計算，乙車又要走5 圈又 3 千米，所以此時兩車又重新回到了A點，并且行駛的方向與最開始相同所以，每4 次相遇為一個周期，而114=23，所以第 11 次相遇的地點與第 3 次相遇的地點是相同的，與A 點的距離是 3000 米。奧數(shù)行程：鐘

47、面行程問題的要點及解題技巧一、什么是鐘面行程問題？鐘面行程問題是研究鐘面上的時針和分針關(guān)系的問題，常見的有兩種： 研究時針、分針成一定角度的問題，包括重合、成一條直線、成直角或成一定角度；研究有關(guān)時間誤差的問題在鐘面上每針都沿順時針方向轉(zhuǎn)動，但因速度不同總是分針追趕時針，或是分針超越時針的局面，因此常見的鐘面問題往往轉(zhuǎn)化為追及問題來解二、鐘面問題有哪幾種類型？第一類是追及問題（注意時針分針關(guān)系的時候往往有兩種情況）；第二類是相遇問題（時針分針永遠不會是相遇的關(guān)系，但是當(dāng)時針分針與某一刻度夾角相等時，可以求出路程和）；第三種就是走不準(zhǔn)問題，這一類問題中最關(guān)鍵的一點：找到表與現(xiàn)實時間的比例關(guān)系。三

48、、鐘面問題有哪些關(guān)鍵問題？確定分針與時針的初始位置；確定分針與時針的路程差；四、解答鐘面問題有哪些基本方法？分格方法：時鐘的鐘面圓周被均勻分成 60 小格，每小格我們稱為 1 分格。分針每小時走 60 分格，即一周；而時針只走 5 分格，故分針每分鐘走 1 分格，時針每分鐘走 112 分格。度數(shù)方法：從角度觀點看，鐘面圓周一周是 360 ，分針每分鐘轉(zhuǎn) 360/60 度，即 6，時針每分鐘轉(zhuǎn) 360/12*60 度，即 1/2 度。奧數(shù)行程：鐘面行程問題的例題及答案（一）例 1 ：從5 時整開始，經(jīng)過多長時間后，時針與分針第一次成了直線？5 時整時，分針指向正上方，時針指向右下方，此時兩者之間

49、間隔為25 個小格 ( 表面上每個數(shù)字之間為 5 個小格 )，如果要成直線，則分針要超過時針30 個小格，所以在此時間段內(nèi)，分針一共比時針多走了 55 個小格。由每分鐘分針比時針都走11/12 個小格可知，此段時間為55/(11/12)=60分鐘，也就是經(jīng)過60 分鐘時針與分針第一次成了直線。例 2 ：從 6 時整開始，經(jīng)過多少分鐘后，時針與分針第一次重合？6 時整時，分針指向正上方， 時針指向正下方， 兩者之間間隔為 30 個小格。如果要第一次重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?0，那么分針要比時針多走 30 個小格，此段時間為 30/(11/12)=360/11 分鐘。例 3 ：在 8 時多少分，時針與分針