(完整)《證明線段相等,角相等,線段垂直》的方法總結(jié),推薦文檔

1、 線段相等，角相等，線段垂直方法總結(jié)一.證明線段相等的方法：1. 中點(diǎn)2. 等式的性質(zhì) 性質(zhì) 1：等式兩邊同時(shí)加上相等的數(shù)或式子，兩邊依然相等。 若 a=b那么有 a+c=b+c性質(zhì) 2：等式兩邊同時(shí)乘（或除）相等的非零的數(shù)或式子，兩邊依然相等 若 a=b另E么有a c=b 或 ac=bc （a,b 工 0或 a=b , c 工03. 全等三角形4借助中介線段（要證a=b，只需要證明a=c, c=b即可）二.證明角相等的方法1. 對頂角相等2. 等式的性質(zhì)3. 角平分線4 垂直的定義5. 兩直線平行（同位角，內(nèi)錯(cuò)角）6. 全等三角形7. 同角的余角相等8 等角的余角相等9.同角的補(bǔ)角相等10

2、等角的補(bǔ)角相等11.三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和三證明垂直的方法1. 證明兩直線夾角 =902. 證明鄰補(bǔ)角相等3. 證明鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直4證明三角形兩內(nèi)角之和=905. 垂直于平行線中的一條直線，必定垂直于另一條6. 證明此角所在的三角形與已知的直角三角形全等線段相等，角相等，線段垂直經(jīng)典例題1.利用角平分線的定義例題1.如圖，已知 AB=AC，AD/BC，求證2、基本圖形“雙垂直”本節(jié)常用輔助線是圍繞角平分線性質(zhì)構(gòu)造雙垂直（需對其對稱性形成感覺）。例題2.如圖，.上一二三，一P匚與丄F三二 的面積相等求證：0P平分一.例題3、如圖，一匚一 一 -:* ，E是BC的中點(diǎn)，DE

3、平分.求證：AE是丄上弓的平分線. 固3. 利用等腰三角形三線合一例題4.正方形 ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，E是BC邊上的一點(diǎn)，且 AE=DC+CE，求證：AF平分/ DAE4. 利用定理定理：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。例5.如圖，已知 AABC的兩個(gè)外角/ MAC、/ NCA的平分線相交于點(diǎn) P,求證點(diǎn)P在/ B的平分線上B5.和平行線結(jié)合使用，容易得到相等的線段?；緢D形:P是/ CAB的平分線上一點(diǎn)， PD / AB，則有/ 1= / 2=2 3,所以 AD=DP。例6.如圖，AABC中，2 B的平分線與2 C外角的平分線交于 D，過D作BC的平行線交 AB、AC

4、于E、F，求證EF=BE-CF6.利用角平分線的對稱性。例7.如圖，已知在 AABC中，ABAC，AD是AABC的角平分線，P是AD上一點(diǎn)，求證 AB-ACPB-PC7. 角平分線與垂直平分線綜合唸例題 8 如圖，在 ABC中，AD平分2 BAC，DG丄BC ,且平分 BC于G，DE丄AB于E，DF丄AC延長線于F.奩 (1)求證：BE=CF .線段相等，角相等，線段垂直經(jīng)典例題（解答部分）、平分線的應(yīng)用。幾何題中，經(jīng)常出現(xiàn) 已知角的平分線”這一條件。這個(gè)條件一般有下面幾個(gè)方面的應(yīng)用:（1） 利用 角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等”的性質(zhì)，證明兩條線段相等。（2）利用角是軸對稱圖形，構(gòu)造

5、全等三角形。（3）構(gòu)造等腰三角形。、應(yīng)用舉例：1. 利用角平分線的定義例題1.如圖，已知 AB=AC，AD/BC，求證 AD平分/ EAC證明：因 AB=AC，故/ B= / Co又因 AD/BC，故/ 仁 / B，/ 2= ZC，故/仁/2，即卩AD平分/ EAC o2、基本圖形“雙垂直”本節(jié)常用輔助線是圍繞角平分線性質(zhì)構(gòu)造雙垂直（需對其對稱性形成感覺）。例題2.如圖，二匚：匸亠，丄丄二-匚與丄F三二的面積相等求證：0P平分一二匸匸.分析：觀察已知條件中提到 I丄匸-4與丄匸匚二，顯然與全等無關(guān)，而面積相等、底邊相等，于是自然想到可得兩三角形的高線相等，聯(lián)系到角平分線判定結(jié)論可得。證明：作

6、n 一 . 于m, F-T 三于n0151 55二尹加，且也二S.PM = PN又. ：-1 _ i丄亠-亠例題3、如圖，一二一 -=,E是BC的中點(diǎn)，DE平分.求證：AE是二匸上二的平分線.鬲分析：在初一學(xué)習(xí)平行線時(shí)就圍繞這個(gè)圖做過很多練習(xí)，當(dāng)時(shí)我們證明過DE垂直AE等。還是這個(gè)圖條件變了，由角平分線條件不難想到做輔助線構(gòu)造“雙垂直”的基本圖形，用“角平分線性質(zhì)”推得距離相等，再由另一側(cè)距離相等用“角平分線判定” AE為角平分線。證明：作三F _匸二于F平分ADC，90，EF LAD.EF = CE又T E是BC的中點(diǎn).CEEB.EF = EB又EF 丄 0，Z5 = 903.利用等腰三角形

7、三線合一例題4.正方形 ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，E是BC邊上的一點(diǎn)，且 AE=DC+CE，求證：AF平分/ DAE證明：連結(jié) EF并延長，交 AD的延長線于 G,貝U AFDGAFCE，故 CE=DG，EF=GF，于是 AG=AD+DG=DC+CE=AE 。又因EF=GF，故AF是等腰三角形的底邊上的中線，于是AF平分/ DAE4.利用定理定理：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。因P在/又因P在故點(diǎn)P在例5.如圖，已知 AABC的兩個(gè)外角/ MAC、/ NCA的平分線相交于點(diǎn) P,求證點(diǎn)P在/ B的平分線上證明：過 P作PD丄AB，PE丄AC，PF丄BC,垂足分別是 D、E、

8、F，MAC的平分線上，故 PD=PE。/ ACN的平分線上，故 PE=PF，于是PD=PF，/B的平分線上B5.和平行線結(jié)合使用，容易得到相等的線段?；緢D形:P是/ CAB的平分線上一點(diǎn)， PD / AB，則有/ 1= / 2=2 3,所以 AD=DP例6.如圖，AABC中，2 B的平分線與2 C外角的平分線交于 D，過D作BC的平行線交 AB、AC于E、F,求證EF=BE-CF分析：由BD平分/ ABC , ED II BC ,不難得出 BE=DE。要證EF=BE-CF，就轉(zhuǎn)化為要證 EF=DE-CF。下面要證 FD=FC，即要 證/ FCD= / FDC。由CD平分/ ACG , ED

9、II BC,很容易得出/ FCD= / FDC，從而問題得證。6.利用角平分線的對稱性。例7.如圖，已知在 AABC中，ABAC , AD是AABC的角平分線，P是AD上一點(diǎn)，求證 AB-ACPB-PC分析：證明不等關(guān)系，一般要把所證明的有關(guān)線段放在一個(gè)三角形內(nèi)。通過角平分線這一條件可以構(gòu)造全等三角形：在AB上截取 AC=AC，則有 AACP AACP，AC=AC,PC=PC。在 ABPC中, BC+CPPB,即 AB-ACPB-PC，從而得出 AB-ACPB-PC7.角平分線與垂直平分線綜合例題 8 如圖，在 ABC中，AD平分/ BAC , DG丄BC,且平分BC于G , DE丄AB于E,

10、 DF丄AC延長線于F.態(tài)(1)求證：BE=CF .(2)如果 AB=a, AC=b , 求 AE、BE 的大?。ㄓ煤衋、b的式子表示）證明：（1）連結(jié)BD、CDDG丄BC ,且平分BC于G- ：=（此處提前用到了垂直平分線的性質(zhì),即垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等， 可由證明 J 得到）AD 平分/ BAC , DE 丄 AB , DF 丄 ACDE = DF DHB =乙 DFG = 90”在二.JZJ 和己一 -中BD=CDDE=DFu.DEB = RLlDFC(：HE).BE = CF(2)AD平分/ BAC.AEAD = FADEADZADE同理：4.-.ADEZADF即AD平分

11、EJ又丄上亠丄.二丄.AB = AF而 AE=AB-BE=a-BE , AF=AC+CF=b+CF-a-BE= b+CF込口a-b ah一 ,AE=a-BE=a-二=-角平分線練習(xí)題1. 如圖，在 ABC中，/ ACB=90 , BE平分/ ABC ED丄AB于 D,如果 AC=3 那么 AE+DE=()A. 2B. 3 C . 4D. 52. 如圖， ABC的兩個(gè)外角的平分線相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P到厶ABC的三邊所在直線的距離的關(guān)系是()A.均不相等B.均相等、C.其中有兩個(gè)相等D.無法確定3. 如圖，：-表示三條相互交叉的公路， 現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站， 要求它到三條公路的距離相等,則可選擇的地

12、址有()A. 處B.二處 C .三處D .四處4. 在厶ABC內(nèi)部到三條邊的距離相等的點(diǎn)有 個(gè).5. 如圖，OP平分/ AOB PC丄OA于 C, PDL OB于 D,下列結(jié)論：（1） PC=PD （ 2） OC=OD （ 3） OC=2PC（ 4）Z DPOh CPO6.中，錯(cuò)誤的是（第 3 題）（第5題）（第6題）如圖，已知/ C=90 , AD 平分/ BAC , BD=2CD ,點(diǎn)D到AB的距離等于5cm,則BC的長為cm.如圖， ABC中，AB=AC BDLAC于 D,全等的直角三角形的對數(shù)為 7.CEL AB于E, BD CE相交于 O, AO的延長線交 BC于F,則圖中DCB F（第 7 題）（第 8 題）（第 9 題）（第 10 題）8. 如圖，AE = AD，要使ABDACE，請你增加一個(gè)條件是 .（只需要填一個(gè)你認(rèn)為合適的條件）9.