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文檔簡介

1、2、向量的數(shù)乘運算: 1高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識與題型歸類()aa?,它的長度和方向規(guī)定如下:與向量 的積是一個向量,記作實數(shù) 一向量有關(guān)概念:rr 向量的概念1、:既有大小又有方向的量,?a,a? 0 ,注意;2、零向量:長度為0的向量叫零向量,記作:零向量的方向不確定rraaaa?0a?,當時,0的方向相反,當?shù)姆较蚺c 的方向相同,當0時,0時,的方向與 :長度為一個單位長度的向量叫做單位向量;3單位向量、rrrruuruua),b?(x,?(x,yy)a,則: 3、向量的坐標運算:設(shè)aaa?ar 的向量,記作并且同方向的單位向量:且長度等于;與1221100arry?y)xxa?b

2、?(。, 向量的加減法運算:r2121aaar?r 。1方向的向量,可表示為共線的單位向量:相同或相反與且長度等于與?y,x,yxa?a。實數(shù)與向量的積: 1111uuur 4:長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量;、相等向量?)y,xy,A(x),B(y?x,AB?yx?,即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的,則若21121212ba 5、平行向量(也叫共線向量);:向量的基線平行或重合,稱為向量共線或平行,記作:終點坐標減去起點坐標。 rrr 即共線的向量方向相同或相反;規(guī)定:零向量和任意向量平行。222222,?|ya|?xyxa|?a?| 向量的模:aa 相反向量:長度相等方

3、向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。6、四平面向量的數(shù)量積: uuurruuurr 二向量的表示方法:?ababb?OBOAa,?0?AOB的稱為向量,作,:1兩個向量的夾角對于非零向量,AB 幾何表示法:用帶箭頭的有向線段表示,如,注意起點在前,終點在后;1rr?abbaba?ba,?垂直。時,當時,夾角,記作0時,反向,當, 同向,當2cab 符號表示法:用一個小寫的英文字母來表示,如,等;2rr?abbacos|b|a|?的,它們的夾角為與,我們把數(shù)量2平面向量的數(shù)量積:如果兩個非零向量叫做,ijyx為基底,則平軸方向相同的兩個單位向量,在平面內(nèi)建立直角坐標系,以與3坐標表示法:軸、

4、rr?babacosab?。規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積是數(shù)量積(或內(nèi)積或點積),記作:0,即rrr?aaaayy,x,xy?xia?yjx,的為向量的坐標,面內(nèi)的任一向量可表示為,稱叫做向量注意數(shù)量積是一個實數(shù),不再是一個向量。 rrrrrrr 坐標表示。如果,那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。向量的起點在原點ragbagbba,|aba|cos?ag=rrr,它是一個實數(shù),但不一定大于0。 在為方向上的正射影的數(shù)量3 三向量的運算:bba 幾何運算1: 1()向量加法運算:ab?,則:設(shè)兩個非零向量向量數(shù)量積的性質(zhì),其夾角為, 4 三角形法則的特點:首尾相連rrrr 平行四邊形法則的特

5、點:共起點b?0aa?b; 2(三角形法則的特點:共起點,方向指向)向量的減法:被減向量C rrrrrrrrrr 222bbaabaaba,a?a?aaa?baab?;當,同向時,與反向時, ;,特別地,當 rrrrra ? |baba?|?|。 r b rrrr ? baab?b a a、b、 不反向;,且0為鈍角 ;不同向,且0為銳角 ruuuuruuuururrC?C?b?a 高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識與題型歸類(2)八、向量中一些常用的結(jié)論: ( 1)一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量,要注意運用; 5、平面向量數(shù)量積的坐標運算:rrrrrrrrrrr?y?xa,y,bx?|

6、bb|?|?a|?|b|?|aa?| ,設(shè)兩個非零向量,則b a、0;后面等號成立的條同向或有,2()特別地,前面等號成立的條件是1122rrrrry?by?xxa? b a、0 反向或有件是2211?ABCrrr中, (3)在 2?2222yx?a? y?a?xyxa?, ,則,或若重心:中線的交點且重心將中線分成2:1兩段; 外心:中垂線的交點; rrrr垂心:高線的交點; 內(nèi)心:角平分線的交點。 ?y,ax?0?xxyya?b?xb,y? ,設(shè),則uuuruuuruuurr112221210PC?PAPB?P?ABC的重心;為 rrrrrr?baya,?x?yx?b,ba則設(shè),、角都是非

7、零向量,與,的夾是uuuruuuruuuruuuruuuruuur1122r?PBPCPA?PB?PPC?PA?ABC的垂心; 為ryx?yxb?a?2121?cos?r uuuruuuruuurr 2222222bay?yxx?P?PCPBPA為?ABC?的外心; 2211uuuruuur 五向量的運算律:ruuuACABrrrrrrrrrr?ruuuuuur?0)?()(AP?ABC的內(nèi)心; ,=則點P若向量的軌跡一定過? ?a?aa?ab?a?b?b?ab|AC|AB 1交換律:;,rrrrrrrrrrrrrrrrrr ?b?aa?b?a?b?a?b,c?a?b?ca?bc?ab?c 結(jié)

8、合律:2,; rrrrrrrrrrrrrr ?c?c?,aba?b?a?b?a?b?ca?a?a ,。分配律:3 向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別:對于一個向量等式,可以移項,兩邊平方、兩邊1()提醒: 同乘以一個實數(shù),兩邊同時取模,兩邊同乘以一個向量,但不能兩邊同除以一個向量,即兩邊不能約去一 ;)個向量,切記兩向量不能相除(相約 ca)?b()?(abc? 2()向量的“乘法”不滿足結(jié)合律,即。 六、向量共線與垂直的條件rrrrrrrrrr ?b?/a/b(b0)?a?b?ab?a/ 平行向量基本定理:若(其中,反之,若是唯一的實數(shù)) rrrr ?ya?x,0則a/?y?b/xxyy

9、b?x, 設(shè)兩個向量,向量共線的坐標表示: 11221122, ruuuuuru ?C、ABAC?AB 三點共線:不重合的三點共線 rruuuruuuuuu ?PCPB?PA?1?、. 使得且存在實數(shù) rrrr 0?ba?abxy?0?x?y. 向量垂直的條件:2211 ruruur eea,和:如果七、平面向量的基本定理是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對該平面內(nèi)的任一向量21 ruruuururruruuru ?ee?ae,eee,? 叫做一組基底,記作。其中不共線向量,使。、有且只有一對實數(shù)2212122111rrrrrr )高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識與題型歸類(3b,ab?,且4a

10、(2?a?2b)?(?a?4b)ga與b的夾角為 3、已知平面向量且,則 滿足 經(jīng)典題型:rrrrrrrrr 基本概念一、 a與a?bb,ab?ab?a的夾角為,則4、已知是兩個非零向量,且_ 判斷正誤: )共線向量就是在同一條直線上的向量。(1abc|a|?|b|?|c|,a?b?c?a,b? ,則 5、 設(shè)非零向量 、 滿足 )若兩個向量不相等,則它們的終點不可能是同一點。(2?2 )與已知向量共線的單位向量是唯一的。3(ba?ba與上的正射影的數(shù)量為 6、已知 在向量 的夾角 ,則向量,,b?4a?5rrrr3baab 與不共線,則(4)若都不是零向量。與?ab12b?a?b|5a|?3

11、|?上的正射影的數(shù)量為,_ 在向量,且7、已知,則向量ruuuruuuCDAB? 。D四點構(gòu)成平行四邊形,則CBA(5)若、rrrrrrrrrr?j?i?2jib?ja?bai?的取值范與與,8、已知為互相垂直的單位向量,的夾角為銳角,則實數(shù)且ruuruuuuCD?AB ,則四點構(gòu)成平行四邊形。D(6)若CA、B、圍是_ rrrrrrrrrruuuruuurcbba?,caa?bba? 7(。,則 ,則(8)若)若。CDgBE4ABCAB?2ADAC4AE,求中, 9、如圖,等邊rrurrrrrrrrrr ;,則bac?b?gc若agc/bba/,c/a),則()若10(9 rrrrrr na

12、bma?ma?mbanm? ,則12)若。 。 11()若 (,則 rrrr rr?|ba?ba?|?|0a?b00?ba?ba? ,則14 13()若()若。,則 或 rrrr 222b?b?)?a(a)15( 二、向量的運算ruruuuuururuuuuuruuuuuuuuurrurruuuuuuuru AB?2,BC?2,?(AB)?CD?)(ACBD?AB?DCAB?BCAD?CD_ ;_、化簡:1;_BCCDABCDFE在邊為點點10、如圖,在矩形中,的中點,ruuuuruuuuuuuurrruuuuuuruuuruuuruuurOA2?OB?OCOC?OB?AE?ABAF2BFAB

13、CABC?_ O2、若的形狀為所在平面內(nèi)一點,且滿足,則是的值上,若 ,求 ruuu rruuuruuruuuu|AP|?ruuu?PD0?BP?CPPAABC?BCABC?,的邊設(shè)滿足為,的中點,所在平面內(nèi)有一點,若、3 |PD ? 的值為則_ ruuuruuururuu _ ,則為、若點4的外心,且的內(nèi)角是0OB?COOACABCABCO 1? MN?MP?_ -3,P,則點的坐標為(M,且),6(,)-2N-1、若53 三、向量的夾角與數(shù)量積 ?BC?AB5|AC3?|AB|?|4BC|?_ 1,ABC、中,則 rrurrrrrrrru11 ?b?(0,b),?(1,?aa?d,kb?a

14、?c),dck_ ,則的夾角為、已知2與等于 224 高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識與題型歸類(4)五、向量的模 四、向量共線與垂直rrrraba?b?14a?3b?33a?5b的值為 ,則及設(shè)向量 , 滿足 1、 )a?(x?x(4,1),bbax _時共線且方向相同1、若向量與,當aba?1,b?2,a?(a?2b),則2a?b的值為 滿足 2、 設(shè)向量 , ddccbda?b?c?,kaba, 與2 ,,那么 不共線,k=的方向關(guān)系是 、已知 ,如果 rrrrrrrrrrc2bacb、a= . 60,其模長都為兩兩之間的夾角為1,則3、已知向量b_c?b?c(),則a?)2,?a滿足于(

15、?(31a,)2,若向量)c,bc?( 3,、?ruuruuruuuuu),則acos?b),b?(1,a?(1,sin的最大值為 4、已知向量 )(4,5),?PAkPCk?(,12),?PB(10,_k ,則A,B,C設(shè)4、共線時,uuuruuuruuuruuuruuuruuuur2 在直線BC外,BC5、設(shè)點M是線段的中點,點A_AM?16,AB?AC?ABBCAC,則?90B_ 的坐標是為兩個頂點作等腰直角三角形以原點5、O和A(4,2)OAB,則點B?OBOA?OC)1B(?,3)3A(,1CO六、平面向量基本定理的應(yīng)用問題 其滿足,6、平面直角坐標系中,為坐標原點,已知兩點若點,2

16、11、下列向量組中,能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 ?1R?,?C_ 則點中,的軌跡方程是且uruururuururuururuur221113?e(0,0),?e(1,?2)e?(?1,2),e?(5,7)e?(3,5),e?(6,10)e?(2,?3),e?(,?) D. B. C. A. 22121121r42(12,5)?a 、若,求7rrrrc?(2),則 )11,),(c?4a?(,11),b?(? 、2ra 的單位向量;3a?b3a?ba?3bb?3?a (B) (C) (D) (A) ra 共線的單位向量;與rrruururuurruuuuruuuruuub,aAC,BCbBE?

17、AD?a,BEADBCABC?表示為,上的中線且分別是則可用向量的邊已知3、_ ra 與垂直的單位向量。?r?sAC?sABCD?2DBCD?rDBC?ABC的值是在,邊上,且中,點,則_ 已知4、 1?BNABCNCAN? P上的一點,如5、圖,在,中,是若3 2?mACAB?mAP? 的值 ,求實數(shù)9Abbababbaaa垂)2,-3(,)21(、已知8=,=+2k的值;若k-42與+2,若k共線,求實數(shù)與-42?ABC2AE?ECBEICD?PDB2AD?,、6如圖,中,,E k直,求實數(shù)的值ruuuruuuuruux?y)ACR,(xy?AB?APx?y ,求若D P CB rr 高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識與題型歸類(5)?),?(?(1,cos0)、已知平面向量3相互垂直,其中a?(sin2),?b 2 七、平面向量與三角函數(shù)的綜合?的值;和cos()求1sin?3 ?)(cos,sinCA(3,0)B(0,3) C,A、B、1已知在同一個平面直角坐標系中的坐標分別為。、 22 10

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