完整word版高一數(shù)學(xué)必修四平面向量知識(shí)與題型歸類

1、2、向量的數(shù)乘運(yùn)算： 1高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識(shí)與題型歸類（）aa?，它的長度和方向規(guī)定如下：與向量 的積是一個(gè)向量，記作實(shí)數(shù) 一向量有關(guān)概念：rr 向量的概念1、：既有大小又有方向的量，?a,a? 0 ，注意；2、零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：零向量的方向不確定rraaaa?0a?，當(dāng)時(shí)，0的方向相反，當(dāng)?shù)姆较蚺c 的方向相同，當(dāng)0時(shí)，0時(shí)，的方向與 ：長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量；3單位向量、rrrruuruua),b?(x,?(x,yy)a，則： 3、向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)aaa?ar 的向量，記作并且同方向的單位向量：且長度等于；與1221100arry?y)xxa?b

2、?(。， 向量的加減法運(yùn)算：r2121aaar?r 。1方向的向量，可表示為共線的單位向量：相同或相反與且長度等于與?y,x,yxa?a。實(shí)數(shù)與向量的積： 1111uuur 4：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量；、相等向量?)y,xy,A(x),B(y?x,AB?yx?，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的，則若21121212ba 5、平行向量（也叫共線向量）；：向量的基線平行或重合，稱為向量共線或平行，記作：終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。 rrr 即共線的向量方向相同或相反；規(guī)定：零向量和任意向量平行。222222,?|ya|?xyxa|?a?| 向量的模：aa 相反向量：長度相等方

3、向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。6、四平面向量的數(shù)量積： uuurruuurr 二向量的表示方法：?ababb?OBOAa,?0?AOB的稱為向量，作，：1兩個(gè)向量的夾角對(duì)于非零向量，AB 幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；1rr?abbaba?ba,?垂直。時(shí)，當(dāng)時(shí)，夾角，記作0時(shí)，反向，當(dāng)， 同向，當(dāng)2cab 符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如，等；2rr?abbacos|b|a|?的，它們的夾角為與，我們把數(shù)量2平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量叫做，ijyx為基底，則平軸方向相同的兩個(gè)單位向量，在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與3坐標(biāo)表示法：軸、

4、rr?babacosab?。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：0，即rrr?aaaayy,x,xy?xia?yjx,的為向量的坐標(biāo)，面內(nèi)的任一向量可表示為，稱叫做向量注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。 rrrrrrr 坐標(biāo)表示。如果，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)ragbagbba,|aba|cos?ag=rrr，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。 在為方向上的正射影的數(shù)量3 三向量的運(yùn)算：bba 幾何運(yùn)算1： 1（）向量加法運(yùn)算：ab?，則：設(shè)兩個(gè)非零向量向量數(shù)量積的性質(zhì)，其夾角為， 4 三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連rrrr 平行四邊形法則的特

5、點(diǎn)：共起點(diǎn)b?0aa?b； 2（三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，方向指向）向量的減法：被減向量C rrrrrrrrrr 222bbaabaaba,a?a?aaa?baab?；當(dāng)，同向時(shí)，與反向時(shí)， ；，特別地，當(dāng) rrrrra ? |baba?|?|。 r b rrrr ? baab?b a a、b、 不反向；，且0為鈍角 ；不同向，且0為銳角 ruuuuruuuururrC?C?b?a 高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識(shí)與題型歸類（2）八、向量中一些常用的結(jié)論： （ 1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用； 5、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：rrrrrrrrrrr?y?xa,y,bx?|

6、bb|?|?a|?|b|?|aa?| ，設(shè)兩個(gè)非零向量，則b a、0；后面等號(hào)成立的條同向或有，2（）特別地，前面等號(hào)成立的條件是1122rrrrry?by?xxa? b a、0 反向或有件是2211?ABCrrr中， （3）在 2?2222yx?a? y?a?xyxa?, ，則，或若重心：中線的交點(diǎn)且重心將中線分成2：1兩段； 外心：中垂線的交點(diǎn)； rrrr垂心：高線的交點(diǎn)； 內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)。 ?y,ax?0?xxyya?b?xb,y? ，設(shè)，則uuuruuuruuurr112221210PC?PAPB?P?ABC的重心；為 rrrrrr?baya,?x?yx?b,ba則設(shè)，、角都是非

7、零向量，與，的夾是uuuruuuruuuruuuruuuruuur1122r?PBPCPA?PB?PPC?PA?ABC的垂心； 為ryx?yxb?a?2121?cos?r uuuruuuruuurr 2222222bay?yxx?P?PCPBPA為?ABC?的外心; 2211uuuruuur 五向量的運(yùn)算律：ruuuACABrrrrrrrrrr?ruuuuuur?0)?()(AP?ABC的內(nèi)心； ,=則點(diǎn)P若向量的軌跡一定過? ?a?aa?ab?a?b?b?ab|AC|AB 1交換律：；，rrrrrrrrrrrrrrrrrr ?b?aa?b?a?b?a?b,c?a?b?ca?bc?ab?c 結(jié)

8、合律：2，； rrrrrrrrrrrrrr ?c?c?,aba?b?a?b?a?b?ca?a?a ，。分配律：3 向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊1（）提醒： 同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一 ；)個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約 ca)?b()?(abc? 2（）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即。 六、向量共線與垂直的條件rrrrrrrrrr ?b?/a/b(b0)?a?b?ab?a/ 平行向量基本定理：若（其中，反之，若是唯一的實(shí)數(shù)） rrrr ?ya?x,0則a/?y?b/xxyy

9、b?x, 設(shè)兩個(gè)向量，向量共線的坐標(biāo)表示： 11221122， ruuuuuru ?C、ABAC?AB 三點(diǎn)共線：不重合的三點(diǎn)共線 rruuuruuuuuu ?PCPB?PA?1?、. 使得且存在實(shí)數(shù) rrrr 0?ba?abxy?0?x?y. 向量垂直的條件：2211 ruruur eea，和：如果七、平面向量的基本定理是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量21 ruruuururruruuru ?ee?ae,eee,? 叫做一組基底，記作。其中不共線向量，使。、有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)2212122111rrrrrr ）高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識(shí)與題型歸類（3b,ab?，且4a

10、(2?a?2b)?（?a?4b）ga與b的夾角為 3、已知平面向量且，則 滿足 經(jīng)典題型：rrrrrrrrr 基本概念一、 a與a?bb,ab?ab?a的夾角為，則4、已知是兩個(gè)非零向量，且_ 判斷正誤： ）共線向量就是在同一條直線上的向量。（1abc|a|?|b|?|c|,a?b?c?a,b? ，則 5、 設(shè)非零向量 、 滿足 ）若兩個(gè)向量不相等，則它們的終點(diǎn)不可能是同一點(diǎn)。（2?2 ）與已知向量共線的單位向量是唯一的。3（ba?ba與上的正射影的數(shù)量為 6、已知 在向量 的夾角 ，則向量，,b?4a?5rrrr3baab 與不共線，則（4）若都不是零向量。與?ab12b?a?b|5a|?3

11、|?上的正射影的數(shù)量為，_ 在向量，且7、已知，則向量ruuuruuuCDAB? 。D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，則CBA（5）若、rrrrrrrrrr?j?i?2jib?ja?bai?的取值范與與，8、已知為互相垂直的單位向量，的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)且ruuruuuuCD?AB ，則四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形。D（6）若CA、B、圍是_ rrrrrrrrrruuuruuurcbba?,caa?bba? 7（。，則 ，則（8）若）若。CDgBE4ABCAB?2ADAC4AE，求中， 9、如圖，等邊rrurrrrrrrrrr ;,則bac?b?gc若agc/bba/,c/a），則（）若10（9 rrrrrr na

12、bma?ma?mbanm? ，則12）若。 。 11（）若 （，則 rrrr rr?|ba?ba?|?|0a?b00?ba?ba? ，則14 13（）若（）若。，則 或 rrrr 222b?b?)?a(a）15（ 二、向量的運(yùn)算ruruuuuururuuuuuruuuuuuuuurrurruuuuuuuru AB?2，BC?2，?(AB)?CD?)(ACBD?AB?DCAB?BCAD?CD_ ；_、化簡：1；_BCCDABCDFE在邊為點(diǎn)點(diǎn)10、如圖，在矩形中，的中點(diǎn)，ruuuuruuuuuuuurrruuuuuuruuuruuuruuurOA2?OB?OCOC?OB?AE?ABAF2BFAB

13、CABC?_ O2、若的形狀為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則是的值上，若 ，求 ruuu rruuuruuruuuu|AP|?ruuu?PD0?BP?CPPAABC?BCABC?，的邊設(shè)滿足為，的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，若、3 |PD ? 的值為則_ ruuuruuururuu _ ，則為、若點(diǎn)4的外心，且的內(nèi)角是0OB?COOACABCABCO 1? MN?MP?_ -3，P，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（M，且），6（，）-2N-1、若53 三、向量的夾角與數(shù)量積 ?BC?AB5|AC3?|AB|?|4BC|?_ 1，ABC、中，則 rrurrrrrrrru11 ?b?(0,b),?(1,?aa?d,kb?a

14、?c),dck_ ，則的夾角為、已知2與等于 224 高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識(shí)與題型歸類（4）五、向量的模 四、向量共線與垂直rrrraba?b?14a?3b?33a?5b的值為 ，則及設(shè)向量 ， 滿足 1、 )a?(x?x(4,1),bbax _時(shí)共線且方向相同1、若向量與，當(dāng)aba?1,b?2,a?(a?2b),則2a?b的值為 滿足 2、 設(shè)向量 ， ddccbda?b?c?,kaba, 與2 ,，那么 不共線，k=的方向關(guān)系是 、已知 ，如果 rrrrrrrrrrc2bacb、a= . 60，其模長都為兩兩之間的夾角為1，則3、已知向量b_c?b?c（），則a?）2,?a滿足于（

15、?（31a，)2，若向量）c,bc?( 3，、?ruuruuruuuuu),則acos?b),b?(1,a?(1,sin的最大值為 4、已知向量 )(4,5),?PAkPCk?(,12),?PB(10,_k ，則A,B,C設(shè)4、共線時(shí)，uuuruuuruuuruuuruuuruuuur2 在直線BC外，BC5、設(shè)點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)A_AM?16,AB?AC?ABBCAC,則?90B_ 的坐標(biāo)是為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形以原點(diǎn)5、O和A(4,2)OAB，則點(diǎn)B?OBOA?OC)1B(?,3)3A(,1CO六、平面向量基本定理的應(yīng)用問題 其滿足,6、平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)若點(diǎn),2

16、11、下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 ?1R?,?C_ 則點(diǎn)中,的軌跡方程是且uruururuururuururuur221113?e(0,0),?e(1,?2)e?(?1,2),e?(5,7)e?(3,5),e?(6,10)e?(2,?3),e?(,?) D. B. C. A. 22121121r42(12,5)?a 、若，求7rrrrc?（2），則 ）11，），（c?4a?（，11），b?（? 、2ra 的單位向量；3a?b3a?ba?3bb?3?a (B) (C) (D) (A) ra 共線的單位向量；與rrruururuurruuuuruuuruuub,aAC,BCbBE?

17、AD?a,BEADBCABC?表示為,上的中線且分別是則可用向量的邊已知3、_ ra 與垂直的單位向量。?r?sAC?sABCD?2DBCD?rDBC?ABC的值是在，邊上，且中，點(diǎn)，則_ 已知4、 1?BNABCNCAN? P上的一點(diǎn),如5、圖,在,中,是若3 2?mACAB?mAP? 的值 ,求實(shí)數(shù)9Abbababbaaa垂）2，-3（，）21（、已知8=，=+2k的值；若k-42與+2，若k共線，求實(shí)數(shù)與-42?ABC2AE?ECBEICD?PDB2AD?，、6如圖,中，,E k直，求實(shí)數(shù)的值ruuuruuuuruux?y)ACR,(xy?AB?APx?y ，求若D P CB rr 高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識(shí)與題型歸類（5）?），?（?(1,cos0)、已知平面向量3相互垂直，其中a?(sin2),?b 2 七、平面向量與三角函數(shù)的綜合?的值;和cos（）求1sin?3 ?)(cos,sinCA(3,0)B(0,3) C，A、B、1已知在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為。、 22 10