高等代數(shù)線性方程組[共40頁]

1、線性方程組 第三章 線性方程組 線性方程組 主要內(nèi)容： 消元法 n 維向量空間 線性相關性 矩陣的秩 線性方程組有解的判斷定理 線性方程組有解的結構 線性方程組1 消元法 1 1 消消 元元 法法 考慮一般的線性方程組 snsnss nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 l 當s=n時，若D0，則方程組有唯一解，并可由Cramer法則求解。 l 當s=n時，若D = 0，利用Cramer法則無法判斷方程組是否有解。 l 當sn時，沒有求解線性方程組的有效方法。 線性方程組1 消元法 線性方程組的矩陣表示法 snsnss nn

2、nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 bAx 其中 snss n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 n x x x x 2 1 s b b b b 2 1 系數(shù)矩陣未知向量右端向量 線性方程組1 消元法 用一個非零的數(shù)乘以某一個方程； 線性方程組的初等變換 把某一個方程的倍數(shù)加到另一個方程； 互換兩個方程的位置； 用一個非零的數(shù)乘以矩陣的某一行； 矩陣的初等行變換 把矩陣某一行的倍數(shù)加到矩陣的另一行； 交換矩陣中某兩行的位置； 方程組的初等變換相當于對系數(shù)矩陣做相應的初等行變換。 方程組的初等變換 是否會

3、改變線性方 程組的解？ 定理：方程組的初等變換將一個 線性方程組變?yōu)橐粋€與它同解的 線性方程組。 線性方程組1 消元法 增廣矩陣 由線性方程組的系數(shù)和右端常數(shù)組成的矩陣 ssnss n n baaa baaa baaa 21 222221 111211 稱為該線性方程組的增廣矩陣。 AbA 線性方程組與增廣矩陣 是一一對應的 定理：對線性方程組的增廣矩陣 進行初等行變換化為 ， 則以 為增廣矩陣的線性方程組與原線性方程組同解。 AB B 一個線性方程組的增廣矩 陣可通過初等行變換化為 怎樣的簡單形式？ 線性方程組1 消元法 定理：任何一個sn階矩陣A，都可通過一系列初等行變換 化為一個階梯形矩

4、陣。 定理：線性方程組與以下形式的階梯形線性方程組同解。 )0( 00 00 0 1 222222 111212111 ii r rnrnrrr nnrr nnrr c d dxcxc dxcxcxc dxcxcxcxc 線性方程組1 消元法 l 當 時，該線性方程組無解。0 1 r d l 當 時，該方程組有解，并分兩種情況：0 1 r d (i) 若 r = n，則階梯形方程組為 )0( 22222 11212111 ii nnnn nn nn c dxc dxcxc dxcxcxc 方程組有唯一解。 線性方程組1 消元法 (ii) 若 r n，則階梯形方程組為 )0( 11, 2211,

5、 22222 1111, 11212111 ii rnrnrrrrrr nnrrrr nnrrrr c dxcxcxc dxcxcxcxc dxcxcxcxcxc 可改寫為 )0( 11, 211, 222222 111, 111212111 ii nrnrrrrrrr nnrrrr nnrrrr c xcxcdxc xcxcdxcxc xcxcdxcxcxc 方程組有無窮多解。 自由未知量 線性方程組 例題： 例1、 解線性方程組 例2、 解線性方程組 142 4524 132 321 321 321 xxx xxx xxx 1 消元法 0563 1242 725 4321 4321 432

6、1 xxxx xxxx xxxx 線性方程組1 消元法 0 0 0 2211 2222121 1212111 nsnss nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 定理：在齊次線性方程組 中，如果 s s , 則向量組 t , 21 必定線性相關。 若個數(shù)多的向量組能由個數(shù)少的向量組線性表出， 則個數(shù)多的向量組必定線性相關。 推論3：n + 1個 n 維向量必定線性相關。 線性方程組3 線性相關性 極大線性無關組 定義：如果向量組 s , 21 的一個部分組 r iii , 21 是線性無 關的，而且向量組 s , 21 中的任一向量都可由它線性表出，則稱 r iii , 21 是

7、向量組 s , 21 的一個極大線性無關組。 例5 求向量組 ) 3 , 2 , 1, 2(),4 , 5 , 2, 4(),1 , 3 , 1, 2( 321 的一個極大線性無關組。向量組的極大線性無關組不是唯一的 定理 一個向量組的任何極大線性無關組都含有相同個數(shù)的向量。 線性方程組3 線性相關性 定義 一個向量組的極大線性無關組中所含向量的個數(shù)稱為這個向量組 的秩 (rank)。 例7 求下面向量組的秩 ) 3 , 6, 2 , 0(),1, 3, 0 , 1 (),3, 1, 1 , 2(),0 , 1 , 4 , 1 ( 4321 例8 設B是矩陣A經(jīng)過初等行變換得到的矩陣，則矩陣A

8、、B的列向量具 有完全相同的線性關系。 例9 一個向量組中的任何一個線性無關組，都可以擴充為該向量組的一 個極大線性無關組。 確定極大線性無關組的初等變換方法 線性方程組4 矩陣的秩 4 4 矩陣的秩矩陣的秩 定義 矩陣的行秩就是矩陣的行向量組的秩；列秩就是矩陣的列向量組的秩。 例1 求矩陣 2100 4200 2320 2121 A 的行秩和列秩。 是否任意矩陣的行 秩和列秩都相同？ 線性方程組4 矩陣的秩 引理 如果齊次線性方程組 snss n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 的系數(shù)矩陣 0 0 0 2211 2222121 1212111 nsnss nn

9、nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 的行秩 r n，那么該齊次線性方程組有非零解。 線性方程組4 矩陣的秩 定理 矩陣的行秩與列秩相等。 定義 矩陣的行秩與列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩。 矩陣的秩不會超過 矩陣的行數(shù)和列數(shù) 例2 求下面矩陣的秩 10030 11603 02422 01211 A 例3 設A是一個秩為r的mn階矩陣，從A中任劃去 m - s 行與 n - t 列后， 其余元素按原來的位置排成一個 st 階矩陣C，證明：秩Cr+s+t-m-n 線性方程組4 矩陣的秩 定理 nn 階矩陣 nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 的行列式為零的充

10、分必要條件是 A 的秩小于 n。 n 階方陣 A 的行 列式 |A|0 的充要條件是 A 的秩等于 n。 推論 齊次線性方程組 0 0 0 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 有非零解的充分必要條件是其系數(shù)矩陣的行列式等于0。 線性方程組4 矩陣的秩 定義 在一個 sn 階矩陣 A 中任意選定k行和k列，1kmin s, n，位于 這些選定的行和列的交點上的 k2 個元素按原來的順序組成一個 k 階方陣， 定理 矩陣 A 的秩為 r 的充分必要條件是矩陣中有一個 r 階子式不為零，而 這個方陣稱為 A 的一個 k 階子陣，

11、其行列式稱為 A 的一個 k 階子式。 所有的 r +1 階子式全為零。 例4 求下面矩陣的秩 810062 53597 37010 45031 A 線性方程組5 線性方程組有解的判別定理 5 5 線性方程組有解的判別定理線性方程組有解的判別定理 定理：線性方程組 snsnss nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣 A 的秩與其增廣矩陣A有相同的秩。 線性方程組5 線性方程組有解的判別定理 定理：線性方程組 snsnss nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 222

12、22121 11212111 的系數(shù)矩陣 A 與其增廣矩陣A有相同的秩 r，則 (1) 當 r = n 時，方程組有唯一解； (2) 當 r n 時，方程組有無窮多個解。 線性方程組4 矩陣的秩 例1 設線性方程組 175997 3 4332 22 1322 4321 4321 4321 4321 321 xxxx xxxx xxxx xxaxx xxx 例2 當 a，b 取何值時，線性方程組 bxxxxx axxxxx axxxxx xxxxx 54321 54321 54321 54321 3345 122234 323 695543 無解？有解？有解時求其一般解。 線性方程組4 矩陣的秩

13、 例3 解線性方程組 有解，且系數(shù)矩陣 A 的秩為 r1，而方程組 無解，且系數(shù)矩陣 B 的秩為 r2，證明矩陣 )1( 2211 22222121 11212111 mnmnmm nn nn dxaxaxa dxaxaxa dxaxaxa )2( 2211 22222121 11212111 msmsmm ss ss cxbxbxb cxbxbxb cxbxbxb mmmsmmnmm sn sn cdbbaaa cdbbaaa cdbbaaa G 121 2222122221 1111111211 的秩r1+ r2 +1。 線性方程組6 線性方程組解的結構 6 6 線性方程組解的結構線性方程

14、組解的結構 設齊次線性方程組 0 0 0 2211 2222121 1212111 nsnss nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 齊次線性方程組解的結構 的解有如下兩個重要性質(zhì)： 性質(zhì)1：齊次線性方程組的兩個解的和仍是該方程組的解。 性質(zhì)2：齊次線性方程組的任一解的倍數(shù)仍是該方程組的解。 齊次線性方程組的任意線性組合仍是該方程組的解齊次線性方程組的任意線性組合仍是該方程組的解 線性方程組5 線性方程組有解的判別定理 (1) 定義：齊次線性方程組的一組解 t , 21 稱為它的基礎解系，如果 線性無關； t , 21 (2) 該齊次方程組的任一解都能表示為的線性組合。 t ,

15、 21 定理：齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎解系，而且基礎解系 所含向量的個數(shù)等于 n-r，其中 n 為未知量的個數(shù)，r 為系數(shù)矩陣 A 的秩。 基礎解系不唯一，任何一個線性無關且與基礎解系基礎解系不唯一，任何一個線性無關且與基礎解系 等價的向量組都是該齊次線性方程組的基礎解系等價的向量組都是該齊次線性方程組的基礎解系 例1 求齊次線性方程組 0111784 02463 03542 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 的一個基礎解系。 線性方程組5 線性方程組有解的判別定理 例2 證明：齊次線性方程組 0 0 0 2211 2222121 1212111 ns

16、nss nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 的解全是方程 0 2211 nnx bxbxb 的解的充要條件是向量),( 21n bbb可由向量組 siaaa iniii , 2, 1),( 21 線性表出。 線性方程組6 線性方程組解的結構 定義：把一般線性方程組 一般線性方程組解的結構 的右端項換為0所得的齊次線性方程組稱為該方程組的導出組。 性質(zhì)1：一般線性方程組的兩個解的差是其導出組的解。 性質(zhì)2：一般線性方程組的一個解與其導出組的一個解之和仍是該 線性方程組的解。 snsnss nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 一般線性方程組與其導出組的解的關系： 線性方程組6 線性方程組解的結構 定理：如果 0是線性方程組的一個特解，那么方程組的任一解 可表示為 其中 是其導出組的一個解，當 取遍它導出組的全部解時， 就給出該 推論 在線性方程組有解的條件下，其解唯一的充要條件是它的導出組 只有零解。 0 線性方程組的全部解。 線性方