2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五篇 數(shù)列（必修5）第4節(jié) 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用課件 理

1、第第4 4節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 考綱展示考綱展示 1.1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n n項(xiàng)項(xiàng) 和公式和公式. . 2.2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求 和的幾種常見方法和的幾種常見方法. . 知識(shí)鏈條完善知識(shí)鏈條完善 考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破 知識(shí)鏈條完善知識(shí)鏈條完善 把散落的知識(shí)連起來(lái)把散落的知識(shí)連起來(lái) 知識(shí)梳理知識(shí)梳理 1.1.數(shù)列求和的基本方法數(shù)列求和的基本方法 (1)(1)公式法公式法 (2)(2)分組轉(zhuǎn)化法分組轉(zhuǎn)化法 把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng), ,使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列使

2、其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列, ,再求解再求解. . (3)(3)裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和, ,正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng). . (4)(4)倒序相加法倒序相加法 把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加, ,即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣. . (5)(5)錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法 主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和, ,即等比數(shù)列即等比數(shù)列 求和公式的推導(dǎo)過程的推廣求和公式的推導(dǎo)過程

3、的推廣. . (6)(6)并項(xiàng)求和法并項(xiàng)求和法 一個(gè)數(shù)列的前一個(gè)數(shù)列的前n n項(xiàng)和中項(xiàng)和中, ,可兩兩結(jié)合求解可兩兩結(jié)合求解, ,則稱之為并項(xiàng)求和則稱之為并項(xiàng)求和. .形如形如a an n=(-1)=(-1)n n f(n) f(n)類型類型, , 可采用兩項(xiàng)合并求解可采用兩項(xiàng)合并求解. . 2.2.數(shù)列應(yīng)用題的常見模型數(shù)列應(yīng)用題的常見模型 (1)(1)等差模型等差模型: :當(dāng)增加當(dāng)增加( (或減少或減少) )的量是一個(gè)固定量時(shí)的量是一個(gè)固定量時(shí), ,該模型是等差模型該模型是等差模型, ,增加增加( (或減或減 少少) )的量就是公差的量就是公差. . (2)(2)等比模型等比模型: :當(dāng)后一

4、個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)當(dāng)后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí), ,該模型是等比模型該模型是等比模型, ,這這 個(gè)固定的數(shù)就是公比個(gè)固定的數(shù)就是公比. . (3)(3)遞推模型遞推模型: :找到數(shù)列中任一項(xiàng)與它前面項(xiàng)之間的遞推關(guān)系式找到數(shù)列中任一項(xiàng)與它前面項(xiàng)之間的遞推關(guān)系式, ,可由遞推關(guān)系入手可由遞推關(guān)系入手 解決實(shí)際問題解決實(shí)際問題, ,該模型是遞推模型該模型是遞推模型. .等差模型、等比模型是該模型的兩個(gè)特例等差模型、等比模型是該模型的兩個(gè)特例. . 對(duì)點(diǎn)自測(cè)對(duì)點(diǎn)自測(cè) 1.1.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 滿足滿足a an+1 n+1-a -an n=2,a=2,a1 1=-5

5、,=-5,則則|a|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|a6 6| |等于等于( ( ) ) (A)9(A)9 (B)15 (B)15 (C)18(C)18 (D)30 (D)30 C C 解析解析: :由題意知由題意知aan n 是以是以2 2為公差的等差數(shù)列為公差的等差數(shù)列, ,又又a a1 1=-5,=-5,所以所以|a|a1 1|+|a|+|a2 2|+|+ + |a|a6 6|=|-5|+|-3|+|-1|+1+3+5=5+3+1+1+3+5=18.|=|-5|+|-3|+|-1|+1+3+5=5+3+1+1+3+5=18.故選故選C.C. 2.2.若數(shù)列若數(shù)列aan n 的

6、通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為a an n=2=2n n+2n-1,+2n-1,則數(shù)列則數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為( ( ) ) (A)2(A)2n n+n+n2 2-1-1 (B)2 (B)2n+1 n+1+n +n2 2-1-1 (C)2(C)2n+1 n+1+n +n2 2-2-2 (D)2 (D)2n n+n-2+n-2 C C 3.3.一個(gè)球從一個(gè)球從100 m100 m高處自由落下高處自由落下, ,每次著地后又跳回到原高度的一半再落下每次著地后又跳回到原高度的一半再落下, , 當(dāng)它第當(dāng)它第1010次著地時(shí)次著地時(shí), ,經(jīng)過的路程是經(jīng)過的路程是( ( ) ) (A)100+2

7、00(1-2(A)100+200(1-2-9 -9) ) (B)100+100(1-2(B)100+100(1-2-9 -9) ) (C)200(1-2(C)200(1-2-9 -9) ) (D)100(1-2 (D)100(1-2-9 -9) ) A A 答案答案: :2 0182 018 5.5.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n且且a an n=n=n2 2n n, ,則則S Sn n= =. . 答案答案: :(n-1)2(n-1)2n+1 n+1+2 +2 考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破 在講練中理解知識(shí)在講練中理解知識(shí) 考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法求和考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法

8、求和 (2)(2)若若b bn n=2=2( (a an n+ + ) ), ,求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n. . 1 2 n a 分組法求和的常見類型分組法求和的常見類型 (1)(1)若若a an n=b=bn nc cn n, ,且且bbn n,c,cn n 為等差或等比數(shù)列為等差或等比數(shù)列, ,可采用分組法求可采用分組法求aan n 的前的前n n 項(xiàng)和項(xiàng)和. . 反思?xì)w納反思?xì)w納 【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1 1】 已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是a an n=2=23 3n-1 n-1+(-1) +(-1)n n(ln 2-ln 3)+(-(

9、ln 2-ln 3)+(- 1)1)n n nln 3, nln 3,求其前求其前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n. . 考點(diǎn)二裂項(xiàng)相消法求和考點(diǎn)二裂項(xiàng)相消法求和 (2)(2)設(shè)設(shè)b bn n= ,= ,求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和. . 1 1 nn a a (1)(1)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí), ,應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng), , 也有可能前面剩兩項(xiàng)也有可能前面剩兩項(xiàng), ,后面也剩兩項(xiàng)后面也剩兩項(xiàng). . 反思?xì)w納反思?xì)w納 【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2 2】 (2018(2018長(zhǎng)沙模擬長(zhǎng)沙模擬) )已知數(shù)列已知數(shù)

10、列aan n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列, ,其中其中a a2 2+a+a3 3=8,a=8,a5 5 =3a=3a2 2. . (1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; ; 考點(diǎn)三錯(cuò)位相減法求和考點(diǎn)三錯(cuò)位相減法求和 【例例3 3】 (2017(2017天津卷天津卷) )已知已知aan n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列, ,前前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n(n(nN N* *),b),bn n 是首是首 項(xiàng)為項(xiàng)為2 2的等比數(shù)列的等比數(shù)列, ,且公比大于且公比大于0,b0,b2 2+b+b3 3=12,b=12,b3 3=a=a4 4-2a-2a1 1,S,S11 11=11b =11b

11、4 4. . (1)(1)求求aan n 和和bbn n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; ; 解解: :(1)(1)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的公差為的公差為d,d,等比數(shù)列等比數(shù)列bbn n 的公比為的公比為q.q. 由已知由已知b b2 2+b+b3 3=12,=12,得得b b1 1(q+q(q+q2 2)=12.)=12. 而而b b1 1=2,=2,所以所以q q2 2+q-6=0.+q-6=0.解得解得q=-3q=-3或或q=2.q=2. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閝0,q0,所以所以q=2.q=2.所以所以b bn n=2=2n n. . 由由b b3 3=a=a4 4-2a-2a1 1, ,可

12、得可得3d-a3d-a1 1=8,=8, 由由S S11 11=11b =11b4 4, ,可得可得a a1 1+5d=16,+5d=16, 聯(lián)立聯(lián)立, ,解得解得a a1 1=1,d=3,=1,d=3,由此可得由此可得a an n=3n-2.=3n-2. 所以所以, ,數(shù)列數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為a an n=3n-2,=3n-2,數(shù)列數(shù)列bbn n 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為b bn n=2=2n n. . (2)(2)求數(shù)列求數(shù)列aa2n 2nb bn n 的前 的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和(n(nN N* *).). 反思?xì)w納反思?xì)w納 (1)(1)一般地一般地, ,如果數(shù)列如果數(shù)列

13、aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列,b,bn n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列, ,求數(shù)列求數(shù)列aan nb bn n 的前的前 n n項(xiàng)和時(shí)項(xiàng)和時(shí), ,可采用錯(cuò)位相減法求和可采用錯(cuò)位相減法求和, ,一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bbn n 的的 公比公比, ,然后作差求解然后作差求解; ; (2)(2)在寫出在寫出“S Sn n”與與“qSqSn n”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便以便 下一步準(zhǔn)確寫出下一步準(zhǔn)確寫出“S Sn n-qS-qSn n”的表達(dá)式的表達(dá)式. . 解解: :(1)(1)由題意由題意, ,得得 =a =a1

14、1+n-1,+n-1,即即S Sn n=n(a=n(a1 1+n-1),+n-1), 所以所以a a1 1+a+a2 2=2(a=2(a1 1+1),a+1),a1 1+a+a2 2+a+a3 3=3(a=3(a1 1+2),+2),且且a a2 2=3,a=3,a3 3=5.=5. 解得解得a a1 1=1,=1,所以所以S Sn n=n=n2 2, , 所以當(dāng)所以當(dāng)n2n2時(shí)時(shí),a,an n=S=Sn n-S-Sn-1 n-1=n =n2 2-(n-1)-(n-1)2 2=2n-1,=2n-1, 又又n=1n=1時(shí)也滿足時(shí)也滿足. . 故故a an n=2n-1.=2n-1. 【跟蹤訓(xùn)練跟

15、蹤訓(xùn)練3 3】 (2018(2018江西百校聯(lián)盟聯(lián)考江西百校聯(lián)盟聯(lián)考) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,數(shù)列數(shù)列 是公差為是公差為1 1的等差數(shù)列的等差數(shù)列, ,且且a a2 2=3,a=3,a3 3=5.=5. (1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; ; n S n n S n (2)(2)設(shè)設(shè)b bn n=a=an n3 3n n, ,求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和T Tn n. . 備選例題備選例題 【例【例1 1】 在數(shù)列在數(shù)列aan n 中中,a,an+1 n+1+(-1) +(-1)n na an n=2

16、n-1,=2n-1,則數(shù)列則數(shù)列aan n 的前的前1212項(xiàng)和等于項(xiàng)和等于( () ) (A)76(A)76 (B)78 (B)78 (C)80 (C)80 (D)82 (D)82 解析解析: :因?yàn)橐驗(yàn)閍 an+1 n+1+(-1) +(-1)n na an n=2n-1,=2n-1,所以所以a a2 2-a-a1 1=1,a=1,a3 3+a+a2 2=3,a=3,a4 4-a-a3 3=5,a=5,a5 5+a+a4 4=7,a=7,a6 6-a-a5 5=9, =9, a a7 7+a+a6 6=11,=11,a,a11 11+a +a10 10=19,a =19,a12 12-a

17、-a11 11=21, =21,所以所以a a1 1+a+a3 3=2,a=2,a4 4+a+a2 2=8,=8,a,a12 12+a +a10 10=40, =40,所以所以 從第一項(xiàng)開始從第一項(xiàng)開始, ,依次取兩個(gè)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于依次取兩個(gè)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于2,2,從第二項(xiàng)開始從第二項(xiàng)開始, ,依次取兩依次取兩 個(gè)相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以個(gè)相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以8 8為首項(xiàng)為首項(xiàng), ,以以1616為公差的等差數(shù)列為公差的等差數(shù)列, ,以上式相加可得以上式相加可得, , S S12 12=a =a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+a12 12=(a =(a1 1+a+a3 3)+(a)+(a5