平方差與完全平方

1、平方差與完全平方知識講解平方差公式2 2(a b)(a -b)二a -b平方差公式的特點：即兩數(shù)和乘以它們的差等于這兩數(shù)的平方差. 左邊是一個二項式相乘，這兩項中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù). 右邊是乘方中兩項的平方差(相同項的平方減去相反項的平方).注意：公式中的a和b可以是具體的數(shù)也可以是單項式或多項式.女口： (a 2)(a -2)二a2 -4 ； (x 3y)(x -3y) = x2 9y2 ；(a b c)(a b -c) =(a b)2 -c2 ； (a3 b5)(a3 -b5) = a6 -b10 .不能直接運用平方差公式的，要善于轉化變形.2 2女口： 97 103 =(1

2、00 3)(100 3) =9991 ; (a b)( b a) =(a b)(a b)二a -b完全平方公式(a b)2 二a2 2ab b2 ； (ab)2 二a22ab b2即兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和加上(或減去)它們積的2倍.完全平方公式的特點： 左邊是一個二項式的完全平方， 右邊是一個二次三項式， 其中有兩項 是公式左邊二項式中的每一項的平方，另一項是左邊二項式中兩項乘積的 2倍，可簡單概括為口訣：“首平方，尾平方，積 2倍在中央”.注意：公式中的a和b可以是單項式，也可以是多項式。一些本來不是二項式的式子的平方也可以利用完全平方公式來計算，(a b c)2 =(a b

3、) c2 =(a b)2 2(a b) c c2=a2 2ab b2 2ac 2bc c2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc【例1】 如圖，從邊長為a的正方形內去掉一個邊長為 b的小正方形，然后將剩余部分拼成一個長方形，上述操作所能驗證的公式是 .a【變式練習】如圖，在邊長為 a的正方形中剪去一個邊長為 部分拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形的面積，驗證了公式b的小正方形（a .b）,把剩下的【例2】 如圖，四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利用圖中空白部分面積的不同表示方法,寫出一個關于 a、b的恒等式【例3】運用平方差公式計算:(2) x ab x-ab(3) 12 b2 b2 -

4、12/ m 丄 n、/ m . n、(5) (a b )(a -b )空 3y 3y 2x23(1) 2b c -2b cA . 4x -3y ：-3y 4xC . x2y2 y2 x2B .-2x-3y 2x 3y-m22(2) _m2n 2 -m n -2(3) (-4a 1)(-4a 1)【變式練習】下列各式中能使用平方差公式的是（）【例5】利用平方差公式簡化計算:(2) 102 98(1) 59.8 60.2(3) 123462 -12345 12347(4) 11 14x15 15【例6】 已知：x、y為正整數(shù)，且4x2-9y2=31，求出滿足條件x、y的值.【變式練習】下面計算:-

5、7 a b _7_a-b正確的是()A .原式=一7 a b 乩7 -a b =72+ a b 2B .原式=一7 a b 址7 -?a b = 72 -?a - b 22C .原式 =卜：7 a b ； -7 a-7 a bD .原式-7 a y：；b .7 a= 7 a ?b22424【例 8】化簡：(1) x 1 x 1 x -1 x 1(2) a 3 a 9 a-3 a 81(3)2 1 22 1 24 1 28 1 L264196【例9】2-1有可能被60到70之間的兩個整數(shù)整除，試求出這兩個數(shù).24【變式練習】已知3 一1可能被20至30之間的兩個整數(shù)整除，求這兩個整數(shù).【例10】

6、直接寫出結果:(1)(x +5 2 =2(3)-x y =2 21 2(2) (x )2 2(4)_x _ y 二2 1 2(3) (3x-2y)(4)(旳-)42【變式練習】計算：（1 ） （a 11b）2(2) ( -2x - 3y)(3)(3a2b 0.5ab2)2(4) (11am-13bn)2【例12】計算：（1） 29821011 2.2【例13】計算：（1） （a b c）22(2)(abc)2(3) (a -2b 3c)【例 11】計算：(1)(4m n)(2) x_3y【例14】先化簡，再求值：(1) ”(x _y)2 (x y)(x _y) 2x，其中 x =3, y =1

7、.5 .(2)2(3x 2)(3x 2) 5x(x 1)(2x 1),其中.22【例 15】計算：(1) (x - 2) (x -2)(2) a 2b 3c a 2b -3c(3) (a b c)(a b c)(4) (2x - y 2)(y - 2x 2)(5) (x 5y -9)(x -5y - 9)(6) a 3b -4c -a 3b 4c【例 16】填空：(1) a2+b2 =(a+b)2 -; (2) a2+b2 =(ab)2 + ;(3) a? b? = 2 I- ； (4) (a - b)2 =(a b)2 【例 17】已知 a2 b2 =16 , a b =5，求 ab = .

8、【變式練習】若(x 2)2 (x -3)2 =13，則(x 2)(3 -x) =【變式練習】已知 a b =3 , ab =1，求a -b的值.2 2【例19】已知a b 7 , a _b 3，求ab的值及a2 - b2的值.【變式練習】已知a(a -1) - (a2 -b) - -5,2 2求a 2 bab的值.【例20】若x y =3 ,xy =2，求x4 y4的值.【例 21】填空：(1) x +4y =(x+2y) ;(2) 9a +121b =(3a_);222(3) 4m +4mn+=(2m +) ;(4)+6xy += (3x + y).【例22】(1)如果多項式x2 kx -是

9、一個完全平方式，那么 k的值為.9(2) 如果多項式x2 -kx 4是一個完全平方式，那么k的值為【變式練習】如果 4x2，axy 9y2是完全平方式，試求 a的值為.【變式練習】右整式4x Q 1是完全平方式，請你寫滿足條件的單項式Q是.【例23】求下列式子的最值:(1 )當x為何值時,2 、,x 4x 9有最小值;(2 )當x為何值時,-x2 6x-15有最大值.【例 24】若 a , b 為有理數(shù)，且 2a2 2ab b2 4a *4=0，則 a2b - ab2 =【變式練習】已知a、b、c滿足a2 2b =7 , b2 -2c = -1, c -6a = 7,貝U a b c的值【變式

10、練習】設P =a2b2亠5 , Q =2ab -a2 -4a，若P =Q，則實數(shù)a , b滿足的條件是.【例25】若a , b為有理數(shù)，且a2 _2ab 2b2 4a 8 = 0 ,則ab二.【變式練習】若代數(shù)式 a2b，則代數(shù)式a23a亠4b2亠6b4ab的值為.【例26】設a、b、c是三角形 ABC的三邊長，且a2 b2 c2 = ab bc ca，關于此三角形的形狀有以下判斷： 是等腰三角形；是等邊三角形；是銳角三角形；是斜三角形.其中正確的是 .【例27】已知 a =2 0 X 3 ,2 bB 1 2 x ,2 0 c1= 3 , x2求多項式a2 b2 c2 a b 的值b- c a

11、 c【變式練習】 如圖，立方體的每一個面上都有一個自然數(shù)，已知相對的兩個面上兩個數(shù)之和相等，如果13 ,9 , 3的對面的數(shù)分別 a、b、c ,求a2 b2 c2abbeac的值.課后練習【習題1】計算:(1)(7x324y)(；x*y)(2) (x -5y)(-3x 5y)【習題2】計算:2(1) (-2x 3y)(2) (a-2b)(2b-a)(3) (a2 ab b2)(a2 -ab b2)(4) (2x -y 2)( y -2x 2)【習題3】計算:(2KzH 2x)2(1) (xy) -(x y)(x y)【習題 4】已知 a +b =3 , ab =12 ,求下列各式的值：(1) a2 +b2 ; (2) a2 _ab +b2 ; ( 3) (a _b)224