有趣的追及問題

1、有趣的追及問題K數(shù)學(xué)廣角同學(xué)們，龜兔賽跑的故事一定聽說過吧，實際上龜兔賽跑是 行程問題中的另一種情況，它是一種同向行程問題，我們把它叫 做追及問題。兩個運動物體同向前進，有一個運動物體速度較快，另一個 運動物體速度較慢。如果慢的走在前，快的就能追上慢的，這就 產(chǎn)生了追及問題。求追及時間的關(guān)系式是：追及時間=追及距離十 速度差。智慧密碼例1小明步行上學(xué)，每分行75米，小明離家12分后，爸爸發(fā)現(xiàn) 小明忘帶了書包騎自行車去追，每分行 375米，爸爸出發(fā)多少分 后能追上小明分析畫出線段圖蓋卜毎分375未小明上學(xué)離家走了 12分后，他爸爸才去追，由于爸爸速度比較 快，最后一定會追上小明。算術(shù)方法：從圖中

2、，可以看出，當爸爸出發(fā)時，小明已經(jīng)行了 75X12=900米，這實際上就是爸爸追小明的路程即路程差，而每經(jīng)過1分，爸爸要追上小明375 75= 300米，這實際上就是速度差， 因此爸爸要追上小明，只要看這 900米里包含有幾個 300米，就 是爸爸追上小明需要幾分。解爸爸出發(fā)距小明的米數(shù) 75X1 = 900 （米） 爸爸每分鐘比小明多行的米數(shù) 37575=300（米） 爸爸出發(fā)后追上小明的時間 900- 30= 3 （分） 追及問題的基本關(guān)系式：路程差=速度差 追及時間速度差=路程差七追及時間追及時間=路程差速度差方程方法 ：用方程思想來解決這一類問題，關(guān)鍵之處是要找到等量關(guān)系，觀察線段圖即

3、可發(fā)現(xiàn)在爸爸追上小明的時刻，小明和爸 爸所行的路程相等。解：設(shè)爸爸 x 分鐘可以追上小明。75X 12 + 75x = 375x375x -75x = 900300x = 900X = 3答：爸爸 3 分鐘可以追上小明。多長時間追上環(huán)行路上的行程問題，有著它獨特的方面，由 于環(huán)行的道路是封閉的，因此，環(huán)行路上的運動，計算行程時， 通常與環(huán)行道路的周長有關(guān)。例2 在400米的環(huán)行跑道上，A、B兩點相距100米，甲、乙兩 人分別從 A、 B 兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步。甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，他們每人跑 100 米，都要停 10 秒鐘。求甲 追上乙需要多少秒分析：這道題初看時，由于

4、他們每人跑 100米，都要停10 秒鐘。似乎不太好解決。但如果將二人看成不停的跑，就很容易 算出甲追上乙的時間，這時再考慮在這期間所停留的時間，問題 的解決就比較簡單了。解答：如果甲、乙不停的跑步，甲追上乙共需：100（ 5- 4） =100 （秒），甲在100秒中共跑：5X 100=500 （米），而甲在 跑100米、200米、300米、400米時共停留了 4次，到了 500 米處恰好追上乙。不必計算停留的時間。所以，甲追上乙所需的 時間是：100 + 4X 10=140 （秒）說明：甲跑到500米處時，正好是乙跑完400米，并且休息 完10秒時。當甲跑到時，乙恰好要出發(fā)，他們兩個在這一瞬間

5、 正好相遇。例3如圖，A、B是圓直徑的兩個端點，小華在點 A,小明 在點B,他們同時出發(fā)，反向而行。他們在 C點第一次相遇，C 點離A點100米；在D點第二次相遇，D點離B點80米。求這 個圓的周長分析：第一次相遇，兩人合起來走了半圈，第二次相遇，兩 人合起來走了一圈，因此，從開始出發(fā)到第二次相遇，兩人合起 來走了一圈半。也就是說，第二次相遇時兩人合起來走的路程是 第一次相遇時合起來所走路程的 3倍，因此，不難看出AD的距 離是AC距離的3倍，所以再求圓周的長度就比較簡單了。解答：因為AC=100米，AD的長度是AC長度的3倍。AD=AC x 3=100X 3=300 （米）半個圓的周長：30

6、0-80=220 （米）整個圓的周長：220 X 2=440 （米）說明：這道題還可以從另一個角度進行考慮。由于 C到D兩 人共走了一個圓周，由A、B到C兩人共走了半個圓周，所以， CD的長度是AC長度的2倍。因此，同樣可以判斷出 AD的距離 是AC距離的3倍。例4如圖，沿邊長為90米的正方形，按逆時針的方向，甲 從A出發(fā)，每分鐘走65米，乙從B出發(fā)，每分鐘走72米，當乙 第一次追上甲時是在正方形的哪一條邊上AD甲BC分析：這是一道環(huán)行追及問題，這類問題可以先看成“直線” 的追及問題，求出乙追上甲所用的時間，再回到環(huán)行路上的追及 問題，根據(jù)乙這段時間所走的路程，推算出應(yīng)在正方形的哪一條 邊上。

7、解答：先求追上甲時乙所用的時間:27090 X 3-( 72- 65) = 7(分)再求這段時間乙所走的路程：27012777 72 X 7 =7 (米)由于，正方形每邊長90米，因此:1 1 2777 777 = (4X 7 + 2)X 90 +777 - 這樣不難看出，乙走的比7圈零兩條邊還多7米，所以,當乙第一次追上甲時，甲和乙應(yīng)在正方形的 AD邊上。說明：如何將直線上的追及問題，與環(huán)行道路的特點相結(jié)合, 是這道題得以解決的關(guān)鍵。牛刀小試1、一輛面包車的速度是每小時60千米，在面包車開出30分鐘 后，一輛小轎車以每小時84千米的速度從同一地點出發(fā)沿著 同一行駛路線去追趕面包車，多少時間后

8、追上2、姐姐步行的速度是每分鐘 75米，妹妹步行的速度是每分鐘65米，在妹妹先出發(fā)20分鐘后姐姐去追趕妹妹，問姐姐多少 分鐘后追上妹妹這時離出發(fā)地多少米3、 實驗小學(xué)組織學(xué)生排隊步行去郊游，步行速度是每秒1米， 排頭的王老師以每秒米的速度趕到排尾，然后立即返回排頭，共用10分鐘，求隊伍的長度。4、兄妹兩人同時從家出發(fā)去1080米遠的學(xué)校上學(xué)，哥哥騎車每 分鐘走 360 米，妹妹步行每分鐘走 60 米，哥哥到校門口時，發(fā) 現(xiàn)忘帶課本，立即原路返回，問哥哥再次由家出發(fā)在離學(xué)校多遠 處追上妹妹5、有甲、乙、丙三輛汽車，各以一定的速度從 A 地開往 B 地。 乙比丙晚出發(fā) 10 分鐘，經(jīng) 40 分鐘追

9、上丙；甲比乙晚出發(fā) 20 分 鐘，經(jīng) 50 分鐘追上乙，那么甲出發(fā)后多長時間追上丙 俱樂部陳景潤不愛玩公園，不愛逛馬路，就愛學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)起來，常 常忘記了吃飯睡覺。有一天，陳景潤吃中飯的時候，摸摸腦袋，哎呀，頭發(fā) 太長了，應(yīng)該快去理一理，要不，人家看見了，還當他是個姑娘 呢。于是，他放下飯碗，就跑到理發(fā)店去了。理發(fā)店里人很多，大家挨著次序理發(fā)。陳景潤拿的牌子 是三十八號的小牌子。他想：輪到我還早著哩。時間是多么寶貴 啊，我可不能白白浪費掉。他趕忙走出理發(fā)店，找了個安靜的地 方坐下來，然后從口袋里掏出個小本子，背起外文生字來。他背 了一會，忽然想起上午讀外文的時候，有個地方?jīng)]看懂。不懂的 東西，一定要把它弄懂，這是陳景潤的脾氣。他看了看手表，才 十二點半。他想：先到圖書館去查一查，再回來理發(fā)還來得及， 站起來就走了。誰知道，他走了不多久，就輪到他理發(fā)了。理發(fā) 員叔叔大聲地叫： “三十八號！誰是三十八號快來理發(fā)！ ”你想想， 陳景潤正在圖書館里看書，他能聽見理發(fā)員叔叔喊三十八號嗎 過了