（北京專用）2019版高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布 第六節(jié) 離散型隨機變量及其分布列課件 理

1、第六節(jié)離散型隨機變量及其分布列 總綱目錄 教材研讀 1.隨機變量的有關概念 考點突破 2.離散型隨機變量分布列的概念及性質(zhì) 3.常見的離散型隨機變量的概率分布 考點二超幾何分布考點二超幾何分布 考點一離散型隨機變量的分布列 教材研讀教材研讀 1.隨機變量的有關概念 (1)隨機變量:隨著試驗結(jié)果不同而變化變化的變量,常用字母X,Y, 表示. (2)離散型隨機變量:所有取值可以一一列出一一列出的隨機變量. 2.離散型隨機變量分布列的概念及性質(zhì) (1)概念:若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1,x2,xi,xn,X取每一 個值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:

2、 Xx1x2xixn Pp1p2pipn 此表稱為離散型隨機變量X的概率分布列,簡稱為X的分布列,有時 也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,n表示X的分布列. (2)分布列的性質(zhì) (i)pi0,i=1,2,3,n; (ii). 1 1 n i i p 3.常見的離散型隨機變量的概率分布 (1)兩點分布 若隨機變量X的分布列具有上表的形式,就稱X服從兩點分布,并稱p =P(X=1)為成功概率. (2)超幾何分布 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則P(X=k)= ,k=0,1,2,m,其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*. X01 P1-pp C C C

3、 kn k MN M n N X01m P 0n 0 MN M n N C C C 1n 1 MN M n N C C C mn m MN M n N C C C 如果隨機變量X的分布列具有上表的形式,則稱隨機變量X服從超 幾何分布. 1.袋中有3個白球,5個黑球,從中任取2個,可以作為隨機變量的是() A.至少取到1個白球B.至多取到1個白球 C.取到白球的個數(shù)D.取到的球的個數(shù) C 答案答案C選項A、B是隨機事件,選項D是確定的值,為2,并不隨機;選 項C是隨機變量,可能的取值為0,1,2. B 2.從標有110的10支竹簽中任取2支,設所取2支竹簽上的數(shù)字之和為X, 那么隨機變量X可能取

4、得的值有() A.17個B.18個C.19個D.20個 A 答案答案A從10支竹簽中任取2支,竹簽上的數(shù)字之和可以是319中的 任意一個,共有17個. 3.設隨機變量Y的分布列為 則“Y”的概率為() A.B.C.D. Y-123 Pm 1 4 1 4 3 2 7 2 1 4 1 2 3 4 2 3 C 答案答案C因為+m+=1,所以m=, 所以P=P(2)+P(3)=. 1 4 1 4 1 2 37 22 Y 3 4 B 4.隨機變量X等可能取值1,2,3,n,如果P(X4)=0.3,則n=. 10 答案答案10 解析解析由題意知P(X4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=+=0.

5、3,故n= 10. 1 n 1 n 1 n 3 n 5.在含有3件次品的10件產(chǎn)品中任取4件,則取到次品數(shù)X的分布列為 P(X=k)=,k=0,1,2,3. 4 37 4 10 CC C kk 答案答案P(X=k)=,k=0,1,2,3 4 37 4 10 CC C kk 解析解析由題意知,X服從超幾何分布,其中N=10,M=3,n=4,所以分布列為P (X=k)=,k=0,1,2,3. 4 37 4 10 CC C kk B 考點一離散型隨機變量的分布列 考點突破考點突破 典例典例1長時間用手機上網(wǎng)嚴重影響學生的健康,某校為了解A,B兩班學 生手機上網(wǎng)的時長,分別從這兩個班中隨機抽取6名同學

6、進行調(diào)查,將他 們平均每周手機上網(wǎng)時長作為樣本數(shù)據(jù),繪制成如圖所示的莖葉圖(圖 中的莖表示十位數(shù)字,葉表示個位數(shù)字).如果學生平均每周手機上網(wǎng)的 時長超過21小時,則稱為“過度用網(wǎng)”. (1)請根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計A,B兩班的學生平均每周上網(wǎng)時長的平均值; (2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取2個數(shù)據(jù),求恰有1個數(shù)據(jù)為“過度 用網(wǎng)”的概率; (3)從A班、B班的樣本中各隨機抽取2名學生的數(shù)據(jù),記“過度用網(wǎng)”的 學生人數(shù)為,寫出的分布列. 解析解析(1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(9+11+13+20+24+37)=19, 由此估計A班學生平均每周手機上網(wǎng)時長的平均值為19小時. B班樣本數(shù)據(jù)的平均值

7、為(11+12+21+25+27+36)=22, 由此估計B班學生平均每周手機上網(wǎng)時長的平均值為22小時. (2)因為從A班的6個樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取1個數(shù)據(jù),為“過度用網(wǎng)”的概 率是,所以從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取2個數(shù)據(jù),恰有1個數(shù)據(jù)為 “過度用網(wǎng)”的概率P= =. (3)的可能取值為0,1,2,3,4. 1 6 1 6 1 3 1 2 C 1 3 2 3 4 9 P(=0)=,P(=1)=, P(=2)=, P(=3)=,P(=4)=. 的分布列為 22 43 22 66 C C C C 2 25 112211 423433 22 66 C C CC C C C C 26 75 222

8、21111 23434233 22 66 C CC CC C C C C C 31 75 211112 233423 22 66 C C CC C C C C 11 75 22 23 22 66 C C C C 1 75 01234 P 2 25 26 75 31 75 11 75 1 75 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié) (1)求解離散型隨機變量X的分布列的步驟:理解X的意義,寫出X可能 取得的全部值;求X取每個值的概率;寫出X的分布列.(2)求離散型隨 機變量的分布列的關鍵是求隨機變量取各值時對應的概率,在求解時, 要注意應用計數(shù)原理、古典概型等知識. 1-1如圖所示,某班一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率

9、分布直方圖都 受到了不同程度的污損,其中,頻率分布直方圖的分組區(qū)間分別為50, 60),60,70),70,80),80,90),90,100,據(jù)此解答以下問題. (1)求全班人數(shù)及分數(shù)在80,100之間的頻率; (2)現(xiàn)從分數(shù)在80,100之間的試卷中任取3份分析學生的失分情況,設 抽取的試卷分數(shù)在90,100的份數(shù)為X,求X的分布列. 解析解析(1)由莖葉圖可知分數(shù)在50,60)之間的人數(shù)為4,60,70)之間的人 數(shù)為8,70,80)之間的人數(shù)為10. 總?cè)藬?shù)為=32(人). 4 0.0125 10 分數(shù)在80,100之間的人數(shù)為32-4-8-10=10(人), 頻率為=. 10 32

10、5 16 (2)分數(shù)在90,100之間的人數(shù)為4,分數(shù)在80,90)之間的人數(shù)為6. X的所有可能取值是0,1,2,3. P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=. X的分布列為 3 6 3 10 C C 20 120 1 6 21 64 3 10 C C C 60 120 1 2 21 46 3 10 C C C 36 120 3 10 3 4 3 10 C C 4 120 1 30 X0123 P 1 6 1 2 3 10 1 30 考點二超幾何分布 典例典例2(2017北京順義二模,16改編)春節(jié)期間,受煙花爆竹集中燃放影 響,我國多數(shù)城市空氣中PM2.5濃度

11、快速上升,特別是在大氣擴散條件不 利的情況下,空氣質(zhì)量在短時間內(nèi)會迅速惡化.2016年除夕18時和2017 年初一2時,國家環(huán)保部門對8個城市空氣中PM2.5濃度監(jiān)測的數(shù)據(jù)如表 (單位:微克/立方米): 除夕18時PM2.5濃度初一2時PM2.5濃度 北京75647 天津66400 石家莊89375 廊坊102399 太原46115 上海1617 南京3544 杭州13139 (1)求這8個城市除夕18時空氣中PM2.5濃度的平均值; (2)環(huán)保部門發(fā)現(xiàn):2016年除夕18時到2017年初一2時空氣中PM2.5濃度 上升不超過100的城市都是禁止燃放煙花爆竹的城市,濃度上升超過100 的城市都

12、未禁止燃放煙花爆竹.從以上8個城市中隨機選取3個城市組 織專家進行調(diào)研,記選到禁止燃放煙花爆竹的城市個數(shù)為X,求隨機變量 X的分布列和數(shù)學期望. 解析解析(1)8個城市除夕18時空氣中PM2.5濃度的平均值為 =70微克/立方米. (2)8個城市中禁止燃放煙花爆竹的有太原,上海,南京,杭州4個城市, 隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3, 則P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=. 所以X的分布列為 756689 10246 1635 131 8 03 44 3 8 C C C 1 14 12 44 3 8 C C C 6 14 21 44 3 8 C C C

13、 6 14 30 44 3 8 C C C 1 14 X0123 P 1 14 6 14 6 14 1 14 X的數(shù)學期望EX=0+1+2+3=. 1 14 6 14 6 14 1 14 21 14 3 2 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié) 1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,超幾何分布的特征: (1)考察對象分兩類; (2)已知各類對象中個體的個數(shù); (3)從中抽取若干個個體,考察抽取到的某類個體個數(shù)X的概率分布. 2.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型,其實 質(zhì)是古典概型. 2-1(2018北京東城期中,16)袋子里有完全相同的3個紅球和4個黑球, 現(xiàn)從袋子里隨機取球; (1)若有放回地取3次,每次取一個球,求取出2個紅球1個黑球的概率; (2)若無放回地取3次,每次取一個球,取出1個紅球得2分,取出1個黑球得 1分,求得分的分布列和數(shù)學期望. 解析解析(1)從袋子里有放回地取3次球,相當于做了3次獨立重復試驗,每 次試驗取出紅球的概率均為,取出黑球的概率均為,設事件A=“取出 2個紅球1個黑球”,則P(A)=3=. (2)的取值有四個:3、4、5、6, P(=3)=,P(=4