考研真題數(shù)學(xué)二(2000——2018)線性代數(shù)大題

1、數(shù)學(xué)二線性代數(shù)22)(本題滿分 11 分)( 2018)x3)2 (x2 x3)2 (x1 ax3)2,其中a是參數(shù) .設(shè)實二次型 f (x1,x2,x3) (x1, x2(I) 求f (x1,x2,x3) 0的解；(II) 求f (x1, x2 ,x3)的規(guī)范形 .23）（本題滿分 11 分） （ 2018）12已知 a是常數(shù)，且矩陣 A= 1 327a1a20 可經(jīng)初等列變換化為矩陣B=011a111(I) 求 a;（II） 求滿足 AP B的可逆矩陣 P.22）（本題滿分 11 分）（ 2017）三階行列式 A （ 1, 2, 3）有 3個不同的特征值，且 3 1 21）證明 r（A）

2、22）如果 1 2 3 求方程組 Ax b 的通解23）（本題滿分 11 分）（ 2017）x Qy 下22設(shè)二次型 f (x1,x2,x3) 2x2 x222ax3 2x1x2 8x1x3 2x2x3 在正交變換的標(biāo)準(zhǔn)型為 1y12 2y22 求 a的值及一個正交矩陣 Q.（22）（本題滿分11 分）（ 2016）111a0設(shè)矩陣 A 10 a ，1 ，且方程組 Ax無解。a11a12a 2）求 a 的值；BA 。記 B( 1, 2, 3) ，將 1, 2, 3 分）求方程組 AT Ax AT 的通解。（23）（本題滿分 11 分）（ 2016）011已知矩陣 A230000（）求 A99)

3、設(shè) 3 階矩陣 B ( 1, 2, 3) 滿足 B2別表示為 1, 2, 3 的線性組合。22、（本題滿分 11 分）（ 2015）a10設(shè)矩陣 A 1 a 1 ,且 A3 O. 0 1 a（1）求a的值；（2）若矩陣 X 滿足 X XA AX AXA E,E為 3 階單位矩陣， 求 X 。23、（本題滿分 11 分）（ 2015）120023設(shè)矩陣 A 133 ，相似于矩陣 B0b0，12a031（1）求 a,b 的值（2）求可逆矩陣 P，使 P1AP為對角矩陣。（22）（ 本題滿分 11 分）（ 2014 ）設(shè)矩陣 ， 為 3 階單位矩陣 .（I） 求方程組的一個基礎(chǔ)解系；（II）求滿足的

4、所有矩陣 B.（23）（ 本題滿分 11 分）（ 2014 ）（24）證明 階矩陣 與相似 .22本題滿分 11 分）（2013）并求出設(shè) A 求實數(shù) a 的值； 求正交變換 x Qy 將 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形 a ,B 0 1 ，問當(dāng) a, b為何值時，存在矩陣 C，使得 AC CA B，101b所有矩陣C23（本題滿分11 分）（2013）設(shè)二次型f (x1,x2,x3) 2(a1x1a1b1a2b2a3b31）證明二次型 f 對應(yīng)的矩陣為 2T22a2x2 a3x3)(b1x1 b2x2 b3x3)f 在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為222y1 y2 （22）（ 本題滿分11分）( 2012)1a001

5、01a01設(shè)A001a0a00102）若正交且為單位向量，證明（I） 計算行列式 A ；（II） 當(dāng)實數(shù) a 為何值時，方程組 Ax有無窮多解，并求其通解（23）（ 本題滿分 11 分） （ 2012）101011，二次型10a0a1已知 Ax1,x2,x3xT ATA x的秩為 2，（22）（本題滿分 11 分）（ 2011）（1,3,5）T 不能由向量組1 (1,1,1)T ，設(shè)向量組 12 （1,2,3） T （I）求 a 的值； （II）將 1 , 2,(1,0,1)T ， 2 (0,1,1)T ， 3， 3 (3,4,a) 線性表示。3 用 1 , 2, 3 線性表示。（23 ）（本

6、題滿分 11分）（2011）1111設(shè) A 為 3 階實對稱矩陣，A 的秩為 2，且 A000 0 。1111（I）求 A 的所有的特征值與特征向量；（ II）求矩陣 A。22.(2010)11a設(shè) A 0 10 , b1 .已知線性方程組Axb 存在 2個不同的解。1111）求 、 a .（ 2）求方程組 Axb的通解。01423. 設(shè) A1 3a ，正交矩陣 Q 使得 QTAQ為對角矩陣，若Q的第一列為4a01T(1,2,1)T ，求 a、6Q .(2010 )1 1 11（22 ）（本題滿分 11分）設(shè) A1 1 1 ，110 4 22（ ）求滿足 A 21 , A 3 1的所有向量 2

7、 , 3（）對（ ）中的任一向量 2,3，證明： 1, 2 ,3 線性無關(guān)。( 2009)23）（本題滿分 11 分）設(shè)二次型 f x1, x2 ,x3 ax12 ax22 a 1 x32 2x1x3 ）求二次型 f 的矩陣的所有特征值；22 ）若二次型 f 的規(guī)范形為 y12 y22，求 a 的值。（2009）22 ）（本題滿分 12 分） （2008）設(shè) 元線性方程組 ，其中，（1）證明行列式 A n 1 an；（2）a 為何值，該方程組有唯一解，并求 x1 ；（3）a 為何值，該方程組有無窮多解，并求通解.（23）（本題滿分 10 分）（ 2008）設(shè) A 為 3 階矩陣， 1, 2 為

8、 A 的分別屬于特征值1,1 特征向量，向量A 3 2 3 ，（1）證明 1, 2 , 3線性無關(guān)；（2）令 P1, 2, 3 ，求 P 1AP.（23 ） （本題滿分 11 分）（2007）x1 x2 x3 0設(shè)線性方程組x12x2ax30 與方程組x12x2x3a1有公共解，x1 4x2 a2x3 02x2x33 滿足求 a 的值及所有公共解 .24） （本題滿分 11 分）（ 2007）設(shè) 3階對稱矩陣 A的特征向量值 1 1, 2 2, 3 2， 1 （1, 1,1）T是 A的屬于 153的一個特征向量，記 B A5 4A3 E ，其中 E 為 3 階單位矩陣 .（ I）驗證 1 是矩

9、陣 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值與特征向量；（ II）求矩陣 B.22）（本題滿分 9 分）（ 2006） 已知非齊次線性方程組1有 3 個線性無關(guān)的解.（）證明方程組系數(shù)矩陣x1 x2 x3 x414x1 3x2 5x3 x4ax1x2 3x3 bx4的秩 r A 2 ；（）求 a, b的值及方程組的通解（23）（本題滿分 9 分）（ 2006）1,2, 1 T , 2 0, 1,1 T 是線設(shè) 3 階實對稱矩陣 A 的各行元素之和均為 3,向量 性方程組 Ax 0 的兩個解 .（ ） 求 A的特征值與特征向量；（） 求正交矩陣 Q和對角矩陣 ,使得 QT AQ（22）（本題滿分

10、9 分）（ 2005）確定常數(shù) a,使向量組 1 （1,1, a）T , 2 （1,a,1）T, 3 （a,1,1）T 可由向量組1 （1,1,a）T , 2 （ 2,a,4）T, 3 （ 2,a,a）T 線性表示，但向量組 1, 2, 3不能由向量 組 1, 2, 3線性表示 .23）（本題滿分 9 分）（ 2005）123已知 3 階矩陣 A 的第一行是 （a,b,c）,a,b,c不全為零，矩陣 B246 （ k 為常數(shù)），36k且 AB=O, 求線性方程組 Ax=0 的通解 .（22）（本題滿分 9 分）（2004）設(shè)有齊次線性方程組(1a)x1x2 x3 x40,2x1(2a)x2 2

11、x32x40,3x13x2(3 a)x33x40,4x14x24x3 (4a)x40,試問 a 取何值時 ,該方程組有非零解, 并求出其通解23）（本題滿分9 分）（ 2004）3設(shè)矩陣 13 的特征方程有一個二重根 , 求 a的值 , 并討論 A 是否可相似對角化.十 一、（本題滿分10 分）（2003）220若矩陣 A82a 相似于對角陣006P 1AP，試確定常數(shù) a 的值；并求可逆矩陣 P 使十二 、（本題滿分 8 分）（ 2003）已知平面上三條不同直線的方程分別為l3 :cx 2ay 3b 0.l1 : ax 2by 3c 0 ， l2 : bx 2cy 3a 0，試證這三條直線交于一點的充分必要條件為a b c 0.本題滿分分）已知，為 3 階矩陣，且滿足 2A 1BB 4E，其中 E是 3 階單位矩陣 .（2002 ）證明：矩陣 A 2E 可逆；1 2 0 若 B 1 2 0 ，求矩陣002十二、（本題滿分分） 已知 4 階方陣 A( 1 ,2 , 3,4) ，1, 2, 3, 4均為 4 維列向量，其中 , ,2, 3 ,4 線性無關(guān)， 1 223若123 4 ，求線性方程組Ax的通解（2002）100011十一、（本題滿分6 分） 已知矩陣 A110,B101且矩陣 X 滿足111110AXA BXA AXBBXA E,其中 E是3階單位矩陣，求 X