公式法-湊角法-換元法[精.選]

1、湊角雖巧,換元更妙湖北省鄖縣第一中學(442500)鄭傳根在三角公式的應用中，有一類題型是給值求值，這是三角中的一個重點題型 ，其形式多樣變化多端.學生在解這類題時常常因為找不到恰當?shù)姆椒ǘ洛e，也因此而煩惱.本文旨在通過例題說明給值求值問題的不同解法，感受湊角法之巧，體會換元法之妙！供同學們學習或教師教學參考.一.公式法1235416cosC =cos(A + B) = sinAsinB cosAcosB =-13513565cosB =利用已知條件、和差公式及同角三角函數(shù)的基本關系式，列方程組求出待求的三角 函數(shù)值，是一種基礎而常規(guī)的方法 .例1在厶ABC中，已知cosA = , sinB

2、 =_ 3則cosC的值為135A-1656 B16 C或56c16D.6565656565解:/ C =(A + B) cosC =cos(A +B)又 A (0,) si nA=一而 sinB =3顯然 si nA si nB135 A B 即B必為銳角43例2 已知,(0,),cos,cos( ),求sin255解：由 (0, ),cos -得sin3.255根據(jù)兩角和的余弦公式與完全平方公式得433-,或 sinco：5ssin55,解得sin12.225cossin1.Q(0,),sin7225二.湊角法當所給角與待求值的角都較復雜時，公式法要么很繁，要么無法解答,這時用湊角法顯得巧

3、而有效.3例3已知，G ）,刑3125(4)13求 sin(J(?),2 ),cos()-,cos(-)55413sin(-)sin44sin()cos(-)cos()si n(43541233()一51351365,會有不甚其繁的感覺(/).4）顯然,此例如果再用常規(guī)的方法 用湊角法.,因而不再使用常規(guī)法，而直接采1例4 已知 cos(-)=-, 29求cos( + )的值.(-，)-sin(）=3，（0刃解:由(,),（0,；）得2242且 cos(1 2,si n(). sin(923432 2,cos(92coscos(-)(-)22 2cos(-)cos(-)sin(-)sin(-2

4、239cos()2 cos -127297,527三.換元法當待求角與已知角的關系較隱蔽時，你又會有湊角不便之感.這時不妨用換元的方法來簡化例5已知Ov v 34，叫)33-,si n(54求 sin().4解:設=31=.由條件知443 .5412cos,sin5sin =-,cos513513sin()sin(43 )cos(4)56(coscossin sin )65顯然，換元之后，湊角中的逆思考變成了順思考和推理，降低了難度.例6 設sin2 =a,cos2 =b,0 一，給出 tan( + )值的44四個答案：丄;(2) ;(3)蟲;(4)上.其中正確的序1 a 1-b a b號是解

5、:令2 =,則=2-sina,cosb.tan()tan(42tanh1 cos(i)或 tan()tan( )424tan1 cos(?)sin( 2)所以答案為(1)( 4)例7已知tantan 2 26.(1求 證:5cos(-)7cos2) 20;(2)若 tan=2,求cos()tan tan6,即卩 sin sin 6cos5cos(I)7cos25cos()7cos()12coscos2sin sin0.(2)Q tan-2,tan 2, tan3,則2cos解證:(1令-0.cos( ) cos21 tan21 tan21 ( 3)21 ( 3)2由此可見，雖然湊角可以很巧地解決求值問題，但換元更有化繁為簡、化逆為順的作用.在實際解題時采用那種方法要因人而宜、因題而宜.同時有兩點要注意：(1)我們在體會使用湊角法、換元法的同時，也不要忘記常規(guī)方法如例4中的湊角易錯，換元又不易 想到，這時使用