充分條件、必要條件與命題的四種形式[教學(xué)校園]

1、 充分條件、必要條件與命題的四種形式充分條件、必要條件與命題的四種形式 1充分條件、必要條件與充要條件充分條件、必要條件與充要條件 (1)“若若p，則，則q”為真命題，記作：為真命題，記作：pq，則，則 _的充分條件，的充分條件，_的必要條件的必要條件 (2)如果既有如果既有pq，又有，又有qp，記作：，記作：pq，則，則 _的充要條件，的充要條件，q也是也是p的的_ 2命題的四種形式命題的四種形式 (1)四種命題四種命題 p是是qq是是p 雙基研習(xí)雙基研習(xí)面對(duì)高考面對(duì)高考 p是是q 充要條件充要條件 若 原 命 題 為若 原 命 題 為 “ 若若 p ， 則， 則 q ” ， 則 其 逆 命

2、 題 是， 則 其 逆 命 題 是 _；否命題是；否命題是_；逆；逆 否命題是否命題是_. (2)四種命題間的關(guān)系四種命題間的關(guān)系 若若q，則，則p 若若非非p，則，則非非q 若若非非q，則，則非非p 思考感悟思考感悟 “否命題否命題”與與“命題的否定命題的否定”有何不同？有何不同？ 提示：提示：“否命題否命題”與與“命題的否定命題的否定”是兩個(gè)不是兩個(gè)不 同的概念，如果原命題是同的概念，如果原命題是“若若p，則，則q”，那么這，那么這 個(gè)原命題的否定是個(gè)原命題的否定是“若若p，則非，則非q”，即只否定結(jié)，即只否定結(jié) 論，而原命題的否命題是論，而原命題的否命題是“若若非非p，則，則非非q”，即

3、，即 既否定命題的條件，又否定命題的結(jié)論既否定命題的條件，又否定命題的結(jié)論 1命題命題“若若a0，則，則a20”的否命題是的否命題是() A若若a20，則，則a0 B若若a0，則，則a22，則，則m3”以及它的逆命題、以及它的逆命題、 否命題、逆否命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為否命題、逆否命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為 () A1 B2 C3 D3 答案：答案：B 3(2010年高考陜西卷年高考陜西卷)“a0”是是“|a|0”的的() A充分不必要條件充分不必要條件 B必要不充分條件必要不充分條件 C充要條件充要條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 答案：答案：A 4“a1”是是“直線直線ya

4、x1與與y(a2)x3垂垂 直直”的的_條件條件 答案：充要答案：充要 5與命題與命題“若若aM，則，則b M”等價(jià)的一個(gè)命題等價(jià)的一個(gè)命題 是是_ 答案：若答案：若bM，則，則a M 考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究挑戰(zhàn)高考挑戰(zhàn)高考 四種命題及其關(guān)系四種命題及其關(guān)系 在判斷四種命題之間的關(guān)系時(shí)，首先要分清命題的在判斷四種命題之間的關(guān)系時(shí)，首先要分清命題的 條件與結(jié)論，再比較每個(gè)命題的條件與結(jié)論之間的條件與結(jié)論，再比較每個(gè)命題的條件與結(jié)論之間的 關(guān)系，要注意四種命題關(guān)系的相對(duì)性，一旦一個(gè)命關(guān)系，要注意四種命題關(guān)系的相對(duì)性，一旦一個(gè)命 題定為原命題，也就相應(yīng)地有了它的題定為原命題，也就相應(yīng)地有了它的“逆命題逆命

5、題”、 “否命題否命題”和和“逆否命題逆否命題” 分別寫出下列命題的逆命題、否命題、分別寫出下列命題的逆命題、否命題、 逆否命題，并判斷它們的真假逆否命題，并判斷它們的真假 (1)面積相等的兩個(gè)三角形是全等三角形；面積相等的兩個(gè)三角形是全等三角形； (2)若若q1，則方程，則方程x22xq0有實(shí)根；有實(shí)根； (3)若若x2y20，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)x、y全為零；全為零； (4)若若x、y都是奇數(shù)，則都是奇數(shù)，則xy是偶數(shù)是偶數(shù) 【思路分析】【思路分析】寫成寫成“若若p，則，則q”的形式的形式寫寫 出逆命題、否命題、逆否命題出逆命題、否命題、逆否命題判斷真假判斷真假 【解解】(1)逆命題：全等三角形

6、的面積相等，真逆命題：全等三角形的面積相等，真 命題命題 否命題：面積不相等的兩個(gè)三角形不是全等三角否命題：面積不相等的兩個(gè)三角形不是全等三角 形，真命題形，真命題 逆否命題：兩個(gè)不全等的三角形的面積不相等，逆否命題：兩個(gè)不全等的三角形的面積不相等， 假命題假命題 (2)逆命題：若方程逆命題：若方程x22xq0有實(shí)根，則有實(shí)根，則q1， 真命題真命題 否命題：若否命題：若q1，則方程，則方程x22xq0無實(shí)根，真無實(shí)根，真 命題命題 逆否命題：若方程逆否命題：若方程x22xq0無實(shí)根，則無實(shí)根，則q1， 真命題真命題 (3)逆命題：若實(shí)數(shù)逆命題：若實(shí)數(shù)x、y全為零，則全為零，則x2y20， 真

7、命題真命題 否命題：若否命題：若x2y20，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)x、y不全為零，真不全為零，真 命題命題 逆否命題：若實(shí)數(shù)逆否命題：若實(shí)數(shù)x、y不全為零，則不全為零，則x2y20， 真命題真命題 (4)逆命題：若逆命題：若xy是偶數(shù)，則是偶數(shù)，則x、y都是奇數(shù)，假都是奇數(shù)，假 命題命題 否命題：若否命題：若x、y不都是奇數(shù)，則不都是奇數(shù)，則xy不是偶數(shù)，不是偶數(shù)， 假命題假命題 逆否命題：若逆否命題：若xy不是偶數(shù)，則不是偶數(shù)，則x、y不都是奇數(shù)，不都是奇數(shù)， 真命題真命題 【名師點(diǎn)評(píng)】【名師點(diǎn)評(píng)】(1)“都是都是”的否定是的否定是“不都是不都是”， 而不是而不是“都不是都不是”，因?yàn)?，因?yàn)椤皒、y

8、不都是奇數(shù)不都是奇數(shù)”包包 含含“x是奇數(shù)是奇數(shù)y不是奇數(shù)不是奇數(shù)”、“x不是奇數(shù)不是奇數(shù)y是奇是奇 數(shù)數(shù)”、“x、y都不是奇數(shù)都不是奇數(shù)”三種情況；三種情況；(2)“x0 或或y0”的否定是的否定是“x0且且y0”，而不是，而不是 “x0或或y0”，因?yàn)?，因?yàn)椤皒0或或y0”包含包含“x 0且且y0”、“x0且且y0”、“x0且且y0” 三種情況三種情況 充分條件與必要條件的判定充分條件與必要條件的判定 判斷一個(gè)命題是另一個(gè)命題的什么條件，關(guān)鍵是利判斷一個(gè)命題是另一個(gè)命題的什么條件，關(guān)鍵是利 用定義如果用定義如果pq，則，則p叫做叫做q的充分條件，原命題的充分條件，原命題 (或逆否命題或逆否

9、命題)成立，命題中的條件是充分的，也可成立，命題中的條件是充分的，也可 稱稱q是是p的必要條件；如果的必要條件；如果qp，則，則p叫做叫做q的必要條的必要條 件，逆命題件，逆命題(或否命題或否命題)成立，命題中的條件為必要成立，命題中的條件為必要 的，也可稱的，也可稱q是是p的充分條件；如果既有的充分條件；如果既有pq，又有，又有 qp，記作，記作pq，則，則p叫做叫做q的充分必要條件，簡稱的充分必要條件，簡稱 充要條件，原命題和逆命題充要條件，原命題和逆命題(或逆否命題和否命題或逆否命題和否命題) 都成立，命題中的條件是充要的都成立，命題中的條件是充要的 【思路分析】【思路分析】先判斷先判斷

10、pq是否成立，再判斷是否成立，再判斷 qp是否成立是否成立 【解】【解】(1)若若AB，則，則sinAsinB，即，即pq. 又若又若sinAsinB，則，則2RsinA2RsinB，即，即ab. AB，即，即qp. 所以所以p是是q的充要條件的充要條件 (2)其逆否命題為：其逆否命題為： 對(duì)于實(shí)數(shù)對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，若，若x2且且y6，則，則xy8， 顯然當(dāng)顯然當(dāng)x2，y6時(shí)，時(shí)，xy8成立；成立； 但當(dāng)?shù)?dāng)xy8時(shí)，時(shí)，x2且且y6不一定成立，不一定成立， 故故pq， ， p是是q的充分不必要條件的充分不必要條件 【名師點(diǎn)評(píng)】【名師點(diǎn)評(píng)】(1)要分清充分性和必要性；要分清充分性和必要性； (2

11、)注意兩種說法注意兩種說法“p是是q的必要不充分條件的必要不充分條件”與與 “q的必要不充分條件是的必要不充分條件是p”是等價(jià)的；是等價(jià)的； (3)從集合的角度理解，小范圍可以推出大范圍，從集合的角度理解，小范圍可以推出大范圍， 大范圍不能推出小范圍大范圍不能推出小范圍 涉及求參數(shù)的取值范圍又與充分、必要條件有涉及求參數(shù)的取值范圍又與充分、必要條件有 關(guān)的問題，常常借助集合的觀點(diǎn)來考慮若涉關(guān)的問題，常常借助集合的觀點(diǎn)來考慮若涉 及參數(shù)問題解決起來較為困難時(shí)，注意運(yùn)用等及參數(shù)問題解決起來較為困難時(shí)，注意運(yùn)用等 價(jià)轉(zhuǎn)化價(jià)轉(zhuǎn)化 充分條件與必要條件的應(yīng)用充分條件與必要條件的應(yīng)用 已知已知Px|x28x

12、200，Sx|1 mx1m (1)是否存在實(shí)數(shù)是否存在實(shí)數(shù)m，使，使“xP”是是“xS”的充要的充要 條件？若存在，求出條件？若存在，求出m的范圍；的范圍； (2)是否存在實(shí)數(shù)是否存在實(shí)數(shù)m，使，使“xP”是是“xS”的必要的必要 條件？若存在，求出條件？若存在，求出m的范圍的范圍 【誤區(qū)警示】【誤區(qū)警示】(2)中中“xP”是是“xS”的必的必 要條件，是由要條件，是由SP即即S是是P的子集，并不一定是的子集，并不一定是 真子集真子集 互動(dòng)探究互動(dòng)探究本例中條件不變，若本例中條件不變，若(2)小題中小題中 “xP”是是“xS”的必要不充分條件，如的必要不充分條件，如 何求解？何求解？ 方法技巧

13、方法技巧 1寫出一個(gè)命題的逆命題、否命題及逆否命題的寫出一個(gè)命題的逆命題、否命題及逆否命題的 關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫；關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫； 在判斷原命題及其逆命題、否命題以及逆否命題的在判斷原命題及其逆命題、否命題以及逆否命題的 真假時(shí)，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，真假時(shí)，要借助原命題與其逆否命題同真或同假， 逆命題與否命題同真或同假來判定逆命題與否命題同真或同假來判定 2充要關(guān)系的幾種判斷方法充要關(guān)系的幾種判斷方法 (1)定義法：直接判斷若定義法：直接判斷若p則則q、若、若q則則p的真假的真假 (2)等價(jià)法：即利用等價(jià)法：即利用AB與與

14、綈綈B綈綈A；BA與與綈綈 A綈綈B；AB與與綈綈B綈綈A的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條 件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法 (3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：設(shè)利用集合間的包含關(guān)系判斷：設(shè)Ax|p(x)，B x|q(x)，若，若AB，則，則p是是q的充分條件或的充分條件或q是是p的的 必要條件；若必要條件；若AB，則，則p是是q的充要條件的充要條件 失誤防范失誤防范 1否命題是既否定命題的條件，又否定命題的結(jié)否命題是既否定命題的條件，又否定命題的結(jié) 論，而命題的否定是只否定命題的結(jié)論要注意區(qū)論，而命題的否定是只否定命題的結(jié)論要注意區(qū) 別別(如

15、例如例1) 2判斷判斷p與與q之間的關(guān)系時(shí)，要注意之間的關(guān)系時(shí)，要注意p與與q之間關(guān)系之間關(guān)系 的方向性，充分條件與必要條件方向正好相反，不的方向性，充分條件與必要條件方向正好相反，不 要混淆要混淆(如例如例2) (2010年高考天津卷年高考天津卷)命題命題“若若f(x)是奇函數(shù)，是奇函數(shù)， 則則f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù)”的否命題是的否命題是() A若若f(x)是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)，則f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù) B若若f(x)不是奇函數(shù)，則不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)不是奇函數(shù) C若若f(x)是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù) D若若f(x)不是奇函數(shù)，則不是奇函數(shù)，則f(x)

16、不是奇函數(shù)不是奇函數(shù) 【解析】【解析】條件的否定是條件的否定是“f(x)不是奇函數(shù)不是奇函數(shù)”，結(jié)，結(jié) 論的否定是論的否定是“f(x)不是奇函數(shù)不是奇函數(shù)”，故該命題的否，故該命題的否 命題是命題是“若若f(x)不是奇函數(shù)，則不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函不是奇函 數(shù)數(shù)”故選故選B. 【答案】【答案】B 1命題命題“若若x2y2，則，則xy”的逆否命題是的逆否命題是() A“若若xy，則，則x2y，則，則x2y2” C“若若xy，則，則x2y2” D“若若xy，則，則x2y2” 解析：解析：選選C.逆命題的否命題，由定義知選逆命題的否命題，由定義知選C. 2“k1”是是“直線直線xyk0與圓與

17、圓x2y21相相 交交”的的() A充分而不必要條件充分而不必要條件 B必要而不充分條件必要而不充分條件 C充分必要條件充分必要條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 3已知實(shí)數(shù)已知實(shí)數(shù)a、b，則，則“ab2”是是“a2b24” 的的() A充分不必要條件充分不必要條件 B必要不充分條件必要不充分條件 C充要條件充要條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析：解析：選選A.當(dāng)當(dāng)ab2時(shí)，時(shí)，a2b22ab4，充分性，充分性 成立；當(dāng)成立；當(dāng)a2b24時(shí)，取時(shí)，取a1，b3，有，有ab 3b”是是“a2b2”的充分的充分 條件；條件；“a5”是是“a3”的必要條件其中真命題的必要條件其中真命題