2018-2019學(xué)年黑龍江省哈爾濱三中高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、2018-2019 學(xué)年黑龍江省哈爾濱三中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）副標(biāo)題題號(hào)一二三總分得分一、選擇題（本大題共12 小題，共 60.0 分）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（ i 為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A. 第一象限B. 第二象限2. 已知在等比數(shù)列 an 中， a1=1，a5=9，則A.5B.5C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限a3=（）C.3D.33.，則=（）A.B.C.D.4.若，則=（）A.B.C.D.5.等差數(shù)列 an 中， a +a =10，則 a +a +.+ a =（）26127A. 15B. 35C. 50D.706.已知向量，則“ x=-2”是“ 與 反向”的（）A. 充分不必

2、要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件7. 如圖所示，在正方形 ABCD 中， E 為 BC 的中點(diǎn)， F 為的 AE中點(diǎn)，則 =（）A.B.C.D.ABC中，ab、c分別為內(nèi)角AB、C的對(duì)邊，若a=4，b=5，cosA=，則8. 在、B=（）第1頁(yè)，共 18頁(yè)A.B. 或C.D. 或9. 對(duì)于非零向量， ， ，下列命題中正確的是（）A.B.若=，則=若，則=（）2C. 若 ，則 在 上的投影為 | |D. 若 + = （ =0121， 2R），則 1 210. 已知函數(shù) f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，對(duì)任意的 xR 都有 f（ x+ ）=f（ x- ），當(dāng)x

3、（ -）時(shí)， f（ x）=（ 1-x），則 f（ 2017）+f（2019 ） =（）A.1B.2C.-1D.-211. 在 ABC 中， a、b、 c 分別為內(nèi)角 A、B、C 的對(duì)邊， b=ccosA，SABC=12 ，點(diǎn) P 為線段 AB 上一點(diǎn)，=x+y，則 xy 的最大值為（）A. 5B. 6C. 7D. 812. 數(shù)列 an， bn滿足a=，（n N*b，若 ）， b 的前 n 項(xiàng)和為 S ，則下列選項(xiàng)正確的是（）nnA. ln2018 S2017B.C. ln2018 S1009-1D.二、填空題（本大題共4 小題，共20.0 分）S2018 ln2018+1S2018-1 ln2

4、01813. 已知向量| |=1 | |=2，|=，則 與 的夾角為_(kāi)，14. 函數(shù) f（x）=Asin（ x+）（ 0，- ）的部分圖象如圖所示，則 f（ x）的解析式為 _15. 數(shù)列 an 滿足 a1=1， an+1=2an+1，（ nN* ），則數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn=_16. 下列命題中，在 ABC 中，若 sinA=cosB，則 ABC 為直角三角形；若 | |=1， | |=2，則 |+|的最大值為2；在 ABC 中，若 2sinAsinB -cos（ 2B+C），則 sin3B+sin3A-sin3C 0；在 ABC 中，sin4B+sin 4A+sin4C+sin2

5、Asin2B=2sin2Asin2C+2sin 2Bsin2C，若 C 為銳角，則 sinA+sin B 的最大值為正確的命題的序號(hào)是_三、解答題（本大題共7 小題，共82.0 分）第2頁(yè)，共 18頁(yè)17. 已知公差不為零的等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 S5=15，且 a1， a2 ， a4 成等比數(shù)列（ ）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ ）設(shè)數(shù)列 an 滿足 bn=，求數(shù)列 bn 前 n 項(xiàng)和 Tn 18.已知 ABC 的角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為a，b， c，且 acosB+bsinA=c（ ）求角 A 的大??；（ ）若 a=1，?=3，求 b+c 的值19. 已知數(shù)列

6、（ ）求（ ）設(shè) an 中， a1= 且 an= （an-1+n+1）（ n2， nN*）a2， a3；并證明 an-n 是等比數(shù)列；n=2n?an，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 SnCab0，橢圓C和拋物線y2=4x有相同20. 已知橢圓 ：（ ）的離心率為的焦點(diǎn)（ 1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ 2） A， C 是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線y=kx（ k 0）和橢圓 C 交于 B， D 點(diǎn)，求四邊形 ABCD 面積的最大值第3頁(yè)，共 18頁(yè)x21.已知 f （ x） =e ?sinx（ ）列表求f（ x）在（ 0，2）的所有極值；（ ）當(dāng) x0， 時(shí)，（ i）求證： f（ x） x；（ i

7、i）若 f（ x） kx 恒成立，求k 的取值范圍22. 在直角坐標(biāo)系xOy 中，曲線 C1：（ x-222（ 為參數(shù)） 以） +y =4 ，曲線 C2：坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（ ）求 C1 ，C2 的極坐標(biāo)方程；（ ）射線 l 的極坐標(biāo)方程為=（ 0， 0），若 l 分別與 C1， C2 交于異于極點(diǎn)的M， N 兩點(diǎn)求 |OM|?|ON|的取值范圍23. 已知函數(shù) f（ x） =|x-a|+|x+b|（ ）若 a=1， b=2，求不等式 f（ x） 5的解集；（ ）若 a 0， b 0，且 a+4 b=2ab，求證： f（ x）第4頁(yè)，共 18頁(yè)答案和解析1.【答

8、案】 D【解析】解：=，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐 標(biāo)為（），位于第四象限故選：D利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求得 z 的坐標(biāo)得答案本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考 查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題2.【答案】 D【解析】解：設(shè)公比為 q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 a5=a1q4，即9=1?q4，解得 q2=3，a3=a1 q2=3，故選：D設(shè)公比為 q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 a5=a1q4，由此求出 q2 的值，再由 a3=a1q2 求得結(jié)果本題主要考查等比數(shù)列的通 項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題3.【答案】 C【解析】解：根據(jù)題意，且 1，則=cos = ；故選：C根據(jù)題意，由

9、函數(shù)的解析式分析可得=cos計(jì)， 算即可得答案本題考查分段函數(shù)的解析式的應(yīng)用，注意分析的值礎(chǔ)題，屬于基4.【答案】 A【解析】第5頁(yè)，共 18頁(yè)解：若則=-sin =，=-sin ，故選：A由條件利用 誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)所給的式子，可得結(jié)果本題主要考查利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)式子，屬于基礎(chǔ)題5.【答案】 B【解析】解：因?yàn)閿?shù)列 a n 為等差數(shù)列，所以 a2+a6=10=2a4，a4=5，則 a1+a2+.+a7=7a4=35，故選：B根據(jù)等差中 項(xiàng)的性質(zhì)，a2+a6=10=2a4，a4=5，再將S7 轉(zhuǎn)化為含有 a4 的算式即可本題考查了等差數(shù)列的性 質(zhì)，等差中項(xiàng)，等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和屬于基礎(chǔ)題 6

10、.【答案】 C【解析】解：向量共線則坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例，而要反向，也就是系數(shù)為負(fù)，只有一個(gè)解就是x=-2“ x=-2”是“ 與反向 ”的充要條件故選：C由向量共 線則坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例，而要反向，也就是系數(shù) 為負(fù)，得到只有一個(gè)解，可判斷出結(jié)論本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷，是基 礎(chǔ)題7.【答案】 D【解析】解：根據(jù)題意得，=（+）而=+=+=（+）=+=-+；故選：D第6頁(yè)，共 18頁(yè)運(yùn)用平行四 邊形法則和平面向量基本定理可得結(jié)果本題考查平行四邊形法則和平面向量基本定理8.【答案】 A【解析】解：根據(jù)題意，在ABC 中，cosA=，則 sinA= ，且 A 為銳角；又由=，可得 sinB=

11、，又由 a=4則則； b=5， B A， B=故選：A根據(jù)題意，有 cosA 的值求出 sinA 的值，結(jié)合正弦定理可得 sinB=，計(jì)算可得 sinB 的值，比較 a、b 的大小，分析可得答案本題考查三角形中正弦定理的應(yīng)鍵是掌握正弦定理的形式，屬于基礎(chǔ)用，關(guān)題9.【答案】 B【解析】對(duì)選項(xiàng)A ，若=，所以（）?=0，故A錯(cuò)誤，解： 于對(duì)于選項(xiàng)B，若，所以則=2，故B 正確，=0，）對(duì)于選項(xiàng) C，若 ，則在上的投影 為 |，故C 錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng) D，若+=，不能推出 =0，故D 錯(cuò)誤，1212綜選項(xiàng)B 正確，上可知：故選：B由平面向量數(shù)量 積的性質(zhì)及其運(yùn)算逐一 檢驗(yàn)即可得解，本題考查了平面向量

12、數(shù)量 積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬中檔題10.【答案】 A【解析】【分析】根據(jù)題意，對(duì) f （x+）=f（x-）變形可得 f（x ）=f（x-3），則函數(shù) f（x）是周期為 3的周期函數(shù)，據(jù)此可得 f （2017）=f（1+6723）=f（1），f（2019）=f（6733）=f（0），結(jié)合函數(shù)的解析式以及奇偶性求出f （0）與f （1）的值，相加即可得答案 .第7頁(yè)，共 18頁(yè)本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性、 對(duì)稱性的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出函數(shù)的周期，屬于基礎(chǔ)題 .【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù) f （x）滿足任意的 xR 都有 f （x+ ）=f（x- ），則 f（x）=f（x-3），則函數(shù) f（x）是周期為

13、 3 的周期函數(shù)，f （2017）=f（1+6723）=f（1），f（2019）=f （6733）=f（0），又由函數(shù) f（x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，則 f （0）=0，x（-）時(shí)，f （x）=（1-x），則 f （-1）=1- （-1）=-1，則 f（1）=-f （-1）=1；故 f（2017）+f （2019）=f （0）+f（1）=1.故選 A.11.【答案】 B【解析】解：b=ccosA，b=c ，化簡(jiǎn)可得，a2+b2=c2，C=90，SABC =12，ab=24，=x+y，且均為單位向量，過(guò) P 分別作 PEBC，PFAC，垂足分別為 E，F(xiàn)，則 PE=x，PF=y，兩式相加可得

14、，由基本不等式可得， 1=僅時(shí)取等號(hào)，當(dāng)且 當(dāng)解可得，xy6則 xy 的最大值為 6第8頁(yè)，共 18頁(yè)故選：B由 b=ccosA，結(jié)合余弦定理可求 C=90，結(jié)合三角形的面 積公式可求 ab，再由=x+y，結(jié)合均為單位向量，和平行線分線段成比例可得，結(jié)合基本不等式可求本題綜合考查了余弦定理，三角形的面 積公式，基本不等式的 綜合應(yīng)用，12.【答案】 D【解析】解：由a= ，得，（n2）， -得：，即（n2）成立，；則 b=設(shè)g（x則0）=ln（x+1）-x，x（0，1）， g（x）=g（x ）在（0，1）上單調(diào)遞 減，則 g（x）g（0）=0，即ln（x+1）x令 x=，則 ln（）=ln，故

15、ln（n+1）Sn設(shè)h（x）=lnx+則h（x）=0，x（1，+），h（x）在（1，+）上單調(diào)遞增，h（x）h（1）=0，即lnx，x（1，+）令 x=，則=故 ln（n+1）Sn+1-1第9頁(yè)，共 18頁(yè)S2018-1ln2018故選：D由已知數(shù)列 遞推式求得首 項(xiàng)，且得到（n2），與原遞推式作差可得數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式，代入 b，得到b n 的通項(xiàng)公式，設(shè) g（x）=ln（x+1）-x，x（0，1），求導(dǎo)可得 ln（x+1）x，取x=，得 ln設(shè)h（x）=lnx+導(dǎo)證明，得到 ln（n+1）S ，x （1，+），利用 數(shù)nlnx ，可得=從而得到 ln（n+1）Sn+1-1，由此可得

16、S2018-1 ln2018本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了利用作差法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān) 鍵，屬難題13.【答案】【解析】解：設(shè)與的夾角為 ，0，則由 |=，平方可得7=1+4+2 1 2cos，解得 cos=，= ，故答案為設(shè)與的夾角為 ，由條件|=，平方可得 cos=，由此求得 的值本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量 積的定義，向量的模的定義，已知三角函數(shù)值求角的大小，屬于中檔 題14.【答案】 f（ x） =2sin（ 2x- ）【解析】解：由函數(shù) f（x）=Asin（x+）的部分圖象知，A=2 ，=-=，T=，=2，由 x=時(shí)，2+= ，解得 =- ，第1

17、0 頁(yè)，共 18頁(yè)所以 f （x）=2sin（2x-）故答案為：f（x）=2sin（2x-）由函數(shù) f（x）的部分圖象，求出 A 、T、和 的值，即可寫出 f（x ）的解析式本題考查了正弦型函數(shù)的 圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題15.【答案】 2n+1-2- n【解析】解：an+1=2an+1，即為 an+1+1=2（an+1），可得數(shù)列 a n+1 為首項(xiàng)為 2，公比為 2 的等比數(shù)列，可得 an+1=2n，即an=2n-1，數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和 Sn=（2+4+2n）-n=-n=2n+1-2-n故答案為：2n+1-2-n由等式兩 邊加 1，結(jié)合等比數(shù)列的定 義和通項(xiàng)公式，可得 an

18、=2n-1，再由數(shù)列的分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式， 計(jì)算可得所求和本題考查等比數(shù)列的定 義和通項(xiàng)公式、求和公式的運(yùn)用，考 查分組求和方法，化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題16.【答案】 【解析】解：在ABC 中，若 sinA=cosB=sin（ +B），可得 A=B+或 A+B+則為直角或鈍角三角形，故 錯(cuò)；=， ABC 若|=1，|=2，|=|時(shí)=0，即 ， 垂直，|，即 ?|=|=則 |+|的最大 值為 2，故 正確； 在ABC 中，若 2sinAsinB -cos（2B+C）=-cos（-A+B ）=cos（A-B ）=cosAcosB+sinAsinB ，cosAcosB-sinAsin

19、B=cos（A+B ）0，即cosC 0，即 a2+b2c2，sin3B+sin3A-sin 3C 0，即為 b3+a3-c30，由c2 a2+b2，可得 b3+a3-c3b3+a3-第11 頁(yè)，共 18頁(yè)（a2+b2） 0，故 正確； 在ABC 中，sin4B+sin4A+sin4C+sin2Asin 2B=2sin2Asin2C+2sin2Bsin2C，為 b4 4 4 2 22 22 2為 a2 2 2 2 2 2即 +a +c +a b =2a c +2b c ，即 （ +b -c ）=a b ，可得 cos2C= ，即cosC= ，可得銳角 C= ，sinA+sinB=sinA+si

20、n （-A ）=sinA+cosA+sinA=sin（A+），可得A=時(shí)，sinA+sinB 的最大值為，故 正確故答案為：由誘導(dǎo)公式，可判斷三角形的形狀，可判斷 ；由向量垂直和模的性質(zhì)可判斷 ；由三角函數(shù)的恒等 變換和正弦定理可判斷 ；由正弦定理及余弦定理，以及三角函數(shù)的恒等 變換，以及正弦函數(shù)的值域可判斷 本題考查三角形的正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔 題17.【答案】 解：（ ）公差 d 不為零的等差數(shù)列 an ，若 S5=15，且 a1， a2， a4 成等比數(shù)列，22a1+3d），可得 5a1+10d=15 ， a2=a1a4，即（ a1+d）

21、=a1（解得 a1=1，d=1則 an=n；（ ） bn= -，可得前 n 項(xiàng)和 Tn=1- + - + -=1-=【解析】（）根據(jù)a n 是等差數(shù)列，設(shè)公差為 d，由通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求通 項(xiàng)公式；（）求得bn=-，由裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)運(yùn)算可得所求和第12 頁(yè)，共 18頁(yè)本題考查等差數(shù)列的通 項(xiàng)公式和求和公式與等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，考查數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題18.【答案】 解：（ ） acosB+bsinA=c由正弦定理：可得sinAcosB+sinBsinA=sinC=sin （ A+B）即 sinAcosB+ sinBsinA=sin

22、AcosB+cosAsinB sinBsinA=cosAsinB0 B ， sinB0， sinA=cosA即 tanA= 0 A ， A= （ ） ?=3，可得：即 bccosA=3可得： bc=2a=1，222由余弦定理可得：a =b +c -2cbcosA22可得 7=b +c 即（ b+c） 2-2bc=7b+c=【解析】（）利用正弦定理，邊化角，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求角A 的大小；（）a=1，?=3，利用向量的 夾角公式即可求解 b+c 的值本題考查了正余弦定理的靈活運(yùn)用和計(jì)算能力屬于中檔題19.【答案】 解：（ ）由題意，可知：=，=當(dāng) n=1 時(shí)，當(dāng) n2時(shí)，=數(shù)列 an

23、-n 是以 為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（ ）由（ ），可知：第13 頁(yè)，共 18頁(yè)， nN* = =b +b+b + +bnSn123=1+22+3+n1 2+1?2 +13 2+1 （n 2 +1）（?）（）（?）?=1 ?21+2?22+3?23n+ +n?2 +n， -（ n-1）?2n+n?2n+1+2 n- -，可得：-n?2n+1+n-2n=（ 1-n）?2n+1-n-2，【解析】本題第（）題可根據(jù)遞推式逐步代入算出a2和 a3的值，再根據(jù)題意將 an 的遞推式代入 an-n 進(jìn)行計(jì)算化簡(jiǎn)最終會(huì)得到 an-n 和 an-1-（n-1）的關(guān)系，最終得證數(shù)列 a n-n 是等比數(shù)列；第（

24、）題先根據(jù)（）求得bn 的通項(xiàng)公式，得到，由bn通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可根據(jù) 錯(cuò)位相減法得到數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)和Sn本題第（）題主要考查根據(jù)遞推公式逐步代 值，以及根據(jù)遞推公式求出通 項(xiàng)公式；第（題）主要考查利用錯(cuò)位相減法來(lái)求數(shù)列的前n 項(xiàng)和本題屬中檔題20.【答案】 解：（ ） 橢圓 C：=1（ a b 0）的離心率為，橢圓 C 和拋物線y2=4x 有相同的焦點(diǎn)，解得 a=，橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2 =1（ ） A， C 是橢圓+y2=1 的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，第14 頁(yè)，共 18頁(yè)A（，0）， C（ 0， 1），直線 y=kx（k 0）和橢圓 C 交于 B，D 點(diǎn)，聯(lián)立，得 B（，）， D

25、（-，-），A（， 0）到直線kx-y=0 的距離 d1=，C（ 0， 1）到直線 kx-y=0 的距離 d2 =，|BD|=，S 四邊形 ABCD =2，當(dāng) k=時(shí)，取等號(hào)四邊形 ABCD 面積的最大值為2【解析】橢圓的離心率為橢圓 C 和拋物線 y2組（）由，=4x 有相同的焦點(diǎn)，列方程求出 a=，由此能求出橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程（）由A ，C 是橢圓+y2=1的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，得到A（ ，），（，），0C 01聯(lián)立，得B（，），D（-，-），A線kx-y=0 的距離 d線0）到直=，C（0，1）到直kx-y=0 的（ ，1距離 d=，=，從而S 四形2=|BD|=邊ABCD =2，由此能求

26、出四邊形 ABCD 面積的最大值本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形面積的最大值的求法，考查橢圓、直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間距離公式、均值定理等基 礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔 題第15 頁(yè)，共 18頁(yè)xxxsin（ x+【答案】 解：（ ）因?yàn)?f（ x）=e sinx，所以 f（ x） =e （ sinx+cosx）=e21.），f （ x）， f（ x）， x 的變化關(guān)系如下表：x（0， ）（ ， ）（ ， ）f（ x）+0-0+f（ x）遞增極大值遞減- e遞增x（ ）（ i ）令 g（ x） =f（ x）-x=e ?sinx-xxg（ x） =e （ sinx+cosx）

27、 -1，令 h（ x）=ex（ sinx+cosx），則 h（ x）=2excosx0對(duì) 0， 恒成立，h（ x）在 0， 上是增函數(shù)，則h（ x） 1，e ，g（ x） 0恒成立， g（ x）在 0， 上為增函數(shù)，g（ x） min =g（ 0） =0；f（x） x（ ii ）令 g（ x） =f（ x） -kx=exsinx-kx要使 f（ x） kx 恒成立，只需當(dāng)0， 時(shí)， g（ x） min0，g（ x） =ex（ sinx+cosx） -k，令 h（ x）=ex（ sinx+cosx），由（ i）得 h（ x） 1， e ，當(dāng) k1時(shí)， g（x） 0恒成立， g（ x）在 0， 上為增函數(shù)，g（ x） min =g（ 0） =0， k1滿足題意；當(dāng)1時(shí)，gx=0 0上有實(shí)根xhx0，上是增函數(shù)，（ ） ，0，（ ）在則當(dāng) x0，x0）時(shí)， g（ x） 0， g（x0） g（ 0）=0 不符合題意；當(dāng) k時(shí)， g（ x） 0恒成立， g（ x）在 0， 上為減函數(shù)，g（ x） g（ 0） =0 不符合題意 k1，即 k（ -， 1【解析】（）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于 0 求其增區(qū) 間，導(dǎo)函數(shù)小于 0 求其