向量代數(shù)與空間解析幾何相關(guān)概念和例題

1、頁眉內(nèi)容 空間解析幾何與向量代數(shù) 向量及其運算 目的： 理解向量的概念及其表示；掌握向量的運算，了解兩個向量垂直、平 行的條件；掌握空間直角坐標系的概念，能利用坐標作向量的線性運算； 重點與難點 重點：向量的概念及向量的運算。難點：運算法則的掌握 過程： 一、向量 既有大小又有方向的量稱作向量 通常用一條有向線段來表示向量 有向線段的長度表示向量的大小 有向線段的方向 表示向量的方向 . 向量的表示方法有兩種a、 AB 向量的模：向量的大小叫做向量的模 向量 a 、 AB 的模分別記為 |a|、 |AB| 單位向量： 模等于 1 的向量叫做單位向量 零向量： 模等于 0 的向量叫做零向量 記作

2、 0 規(guī)定： 0 方向可以看作是任意的 相等向量：方向相同大小相等的向量稱為相等向量 平行向量(亦稱共線向量) ： 兩個非零向量如果它們的方向相同或相反 就稱這兩個向 量平行 記作 a / b 規(guī)定： 零向量與任何向量都平行 二、向量運算 向量的加法 向量的加法 設(shè)有兩個向量 a 與 b 平移向量使 b 的起點與 a 的終點重合 此時從 a 的起點到 b 的終點的向量 c 稱為向量 a 與 b 的和 記作 a+b 即 c a+b . 當向量 a 與 b 不平行時 平移向量使 a 與 b 的起點重合 以 a、b 為鄰邊作一平行四邊形 從公共起點到對角的向量等于向量a 與 b 的和 a b 向量的

3、減法 設(shè)有兩個向量 a 與 b 平移向量使 b 的起點與 a 的起點重合 此時連接兩向量終點且指 向被減數(shù)的向量就是差向量。 AB AO OB OB OA 2、向量與數(shù)的乘法 向量與數(shù)的乘法的定義 向量 a與實數(shù) 的乘積記作 a 規(guī)定 a是一個向量 它的模 | a| | |a| 它的方向當 0 時 與 a 相同 當 0 時與 a 相反 (1) 結(jié)合律 ( a) ( a) ( )a； (2) 分配律 ( )a a a； (a b) a b 例 1 在平行四邊形 ABCD 中 設(shè) AB a AD b 試用 a 和 b 表示向量 MA 、 MB 、 MC 、 MD 其中 M 是平行四邊形對角線的交點

4、 - 62 - 頁腳內(nèi)容 頁眉內(nèi)容 解 ：a b AC 2 AM 于是 MA12 (a b) 1 因為 MC MA 所以 MC 12 (a b) 又因 a b BD 2 MD 所以 MD 12 (b a) 1 由于 MB MD 所以 MB 12 (a b) 定理 1 設(shè)向量 a 0 那么 向量 b 平行于 a 的充分必要條件是 存在唯一的實數(shù) 使 b a 三、空間直角坐標系 過空間一個點 O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以 O 為原點。 這三條數(shù)軸分別叫做 x 軸(橫軸)、y 軸(縱軸)、 z軸(豎軸)，統(tǒng)稱為坐標軸。三條坐標軸中的任意兩條可以確定 一個平面，這樣定出的三個平面統(tǒng)稱為坐標面。其

5、中 x軸與 y軸所確定的平面叫做 xOy 面， y 軸與 z 軸所確定的平面叫做 yOz 面， z 軸與 x 軸所確定的平面叫做 zOx 面。三個坐標面把 空間分成八個部分，每一部分叫做卦限。含x 軸、 y 軸、z 軸正半軸的那個卦限叫做第 I 卦 限，其它第，卦限，在 xOy 坐標面的上方，按逆時針方向確定。第到第卦限 分別在第到第卦限的下方(如圖) 。 z 設(shè) P 為空間一點，過點 P 分別作垂直 交于 PX，PY， PZ，這三點分別在 、y 軸、 z軸的平面，順次與 x軸、y 軸、z軸 自的軸上對應(yīng)的實數(shù)值 軸上的坐標，由此唯一確定的有序數(shù)組(x， y，z)稱為點 P 的坐標。依次稱 各

6、自 z 點 P 的橫坐標、縱坐標和豎坐標， 坐標面上和坐標軸上的點 同相 在 zOx 面上的點 y 0 軸上 ,有 z x 0 在 z 軸上 的 四、利用坐標作向量的線性運 對向量進行加、減及與數(shù) x 利用向量的坐標判斷兩個向量的 有 通常記為P( 坐標各有一定的特 y 面上的點 z x y 0 O如 果點 x，y，z稱為點 P在 x 軸、y 軸、 x，y 和 z 為 x，y，z)。 征 例如 點 M 在 yOz 面上 則 x 0 如果y點 M 在 x 軸上 則 y z 0 同樣在 y M為原點 則 x y z 0. 量的各個坐標分別進行相應(yīng)的數(shù)量運算 設(shè) a (ax ay az) 0 b (

7、bx by bz) 向量 b/a b a 即 b/ a(bxbybz)(axayaz)于是bxbybz ax ay az 例 2 求解以向量為未知元的線性方程組5 x 3y a 3x 2 y b 其中 a (2 1 2) b ( 1 1 2). 解 如同解二元一次線性方程組 可得 x 2a 3b y 3 a 5b 以 a、 b 的坐標表示式代入 即得 x 2(2 1 2) 3( 1 1 2) (7 1 10) y 3(2 1 2) 5( 1 1 2) (11 2 16) 例 3 已知兩點 A(x1 y1 z1)和 B(x2 y2 z2) 以及實數(shù)1 - 63 - 頁腳內(nèi)容 頁眉內(nèi)容 在直線 A

8、B 上求一點 M 使 AM MB 解 設(shè)所求點為 M (x y z) 則 AM (x x1, y y1, z z1) MB (x2 x,y2 y,z2 z) 依題意 有 AM MB 即 (x x1yy1zz1)(x2xy2yz2z) xx1x2yy1y2zz1z2 xyz 11 點 M 叫做有向線段 AB 的定比分點 當 1 點 M 的有向線段 AB 的中點 其坐標為 z1 z2 z 1 2 2 x1 x2 x 2 y1 y2 y 1 2 2 空間向量數(shù)量積與向量積 目的： 掌握向量的數(shù)量積、向量積的定義及數(shù)量積的性質(zhì)；掌握其計算方法。 重點與難點： 數(shù)量積與向量積的計算方法。 過程： 一、兩

9、向量的數(shù)量積 數(shù)量積的物理背景 : 設(shè)一物體在常力 F 作用下沿直線從點 M1移動到點 M2 以 s 表示位 移 M 1M 2 由物理學知道 力 F 所作的功為 W |F| |s| cos 其中 為 F 與 s 的夾角 數(shù)量積 對于兩個向量 a 和 b 它們的模 |a|、|b| 及它們的夾角 的余弦的乘積稱為向量 a 和 b 的數(shù)量積 記作 ab 即 ab |a| |b| cos 數(shù)量積與投影 當 a 0 時 |b| cos(a b) 是向量 b 在向量 a 的方向上的投影 數(shù)量積的性質(zhì) 2 (1) aa |a| 2 (2) a、b 為非零向量， ab 0是 a b 的充要條件 數(shù)量積的運算律

10、 (1)交換律 ab ba (2)分配律 ( a b) c a c b c (3) ( a) b a( b) (ab) 數(shù)量積的坐標表示 設(shè) a ( ax ay az ) b (bx by bz ) 則 ab axbx ayby azbz 設(shè) 是 a 與 b 的夾角，則當 a 0 、 b 0 時 有 cos |aa|bb|ax2 a2y az2 bx2 b2y bz2 復習高中時的有代表性的例題 例 1 一質(zhì)點在力 F=4i + 2j +2k 的作用下 , 從點 A(2, 1, 0) 移動到點 B(5, 2, 6) , 求 F 所做的功及 F 與 AB 間的夾角 . - 64 - 頁腳內(nèi)容 頁

11、眉內(nèi)容 解 由數(shù)量積的定義知 , F 所做的功是 W=F. s, 其中 s= AB=3i 3j+6k 是路程向量 故 W=F .s=(4 i + 2j +2k).( 3i 3j+6k )=18. 如果力的單位是牛頓 (N), 位移的單位是米 (m), 則 F所做的功是 18焦耳(J). 再由式 (6.7), 有 cos F s=18 = 1 F s 42 22 22 32 ( 3) 2 62 2 因此 , F 與 s 的夾角為 = . 3 例2 求向量 a=(5, 2, 5) 在 b=(2, 1, 2) 上的投影 . Cos=a b a,b = b 10 2 10 414 =6. 二、兩向量的

12、向量積 向量積 設(shè)向量 c、 a、b滿足： c的模 |c| |a|b|sin 其中 為 a與 b間的夾角； c的方 向垂直于 a與 b所決定的平面 c的指向按右手規(guī)則從 a轉(zhuǎn)向 b來確定 則稱向量 c是 a與 b 的向量積 記作 a b 即 c a b 向量積的運算律 (1) 交換律 a b b a (2) 分配律 (a b) c a c b c (3) ( a) b a ( b) (a b) ( 為數(shù) ) 向量積的坐標表示 若 a ax i ay j az k b bx i by j bz k 則 ay by bz ax az j + ax ay bx bz bx by az i k . 例

13、 3 設(shè) a=(1,2, 2), 求 a b 及與 a、 b 都垂直的單位向量 . ( ay bz az by) i ( az bx ax bz) j ( ax by ay bx) k b=( 2,1,0), 所求的單位向量為 22 (4)2 52 (2i +4j +5k)= 5 (2i +4j +5k ). 15 i j k 2 2 1 2 12 1 2 2 = i j + 1 0 2 0 21 2 1 0 k i +4j +5k . 解 a b = 例 4 已知三角形 ABC 的頂點分別是 A (1 2 3)、 B (3 4 5)、 C (2 4 7) 求三角形 ABC 的面積 解 根據(jù)向

14、量積的定義 可知三角形 ABC 的面積 - 65 - 頁腳內(nèi)容 頁眉內(nèi)容 11 S ABC 12|AB|AC|sin A 21|AB AC| 由于 AB (2 2 2) AC (1 2 4) 因此 i j k AB AC 2 2 2 4i 6j 2k 124 于是S ABC12|4i6 j2k |2142(6)22214 例 5 設(shè) a=(2, 3, 1), b=(0, 1, 1), c=(1, 1, 4), 三個向量是否共面 ? 解 因為 r =a b 與 a、b 所確定的平面垂直 , 所以當 a、b、 c 三個向量共面時 , 應(yīng)該有 r c , 即 r .c=0. i j k r =a b

15、= 2 3 1 =(4, 2, 2) , 0 1 1 所以有 r . c= (4 i +2 j +2k).( i j +4k)=4 2+8=10 0, 因此三個向量不共面 . 空間簡單圖形及其方程方程 目的： 掌握直線、平面、常見曲面的方程及其求法；會利用平面、直線的相互關(guān)系解決 有關(guān)問題。 重點與難點： 直線、平面方程及其求法。 過程： 一、平面方程 1、平面的點法式方程 已知平面上一點 M 0(x0 y0 z0)和它的一個法線向量 n (A B C) 則其方程為 A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0 例 1 求過點 (2 3 0) 且以 n (1 2 3) 為法線向量的平面的

16、方程 解 得所求平面的方程為 (x 2) 2(y 3) 3z 0 即 x 2y 3z 8 0 例 2 已知空間兩點 M1(1 2，-1)、M2(3 -1 2)，求過 M1點且與直線 M1 M 2垂直的平面方程 。 例 3 求過三點 M1(2 1 4)、M2( 1 3 2)和 M3(0 2 3)的平面的方程 解：我們可以用 M1M 2 M1M 3作為平面的法線向量 n 因為 M1M 2 ( 3,4, 6) M1M3 ( 2,3, 1) 所以 - 66 - 頁腳內(nèi)容 頁眉內(nèi)容 n M1M 2 M1M i 33 2 k 6 14i 9 j k 1 根據(jù)平面的點法式方程 得所求平面的方程為 14(x

17、2) 9(y 1) (z 4) 0 即 14x 9y z 15 0 2、平面的一般方程 由平面的點法式方程 A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0 知，任一平面都可用 x y z 的一次方程 來表示。 方程 Ax By Cz D 0 稱為平面的一般方程 其中 x y z 的系數(shù)就是該平面的一個法線向 量 n 的坐標 即 n (A B C) 例如 方程 3x 4y z 9 0 表示一個平面 n (3 4 1)是這平面的一個法線向量 例 4 求通過 x軸和點(4 3 1)的平面的方程 解 平面通過 x 軸 一方面表明它的法線向量垂直于 x 軸 即 A 0 另一方面表明 它必 通過原點

18、即 D 0 因此可設(shè)這平面的方程為 By Cz 0 又因為這平面通過點 (4 3 1) 所以有 3B C 0 將其代入所設(shè)方程并除以 B (B 0) 便得所求的平面方程為 y 3z 0 二、兩平面的位置關(guān)系 兩平面的位置關(guān)系不外是相交、 垂直、 平行與重合， 利用兩平面法向量位置關(guān)系就可判 定 co s |c o sn1(, n2)| 兩 平 面 的 法 線 向 量 分 別 為 n1 (A1 B1 C1) 和 n2 (A2 B2 C2) 由 于 |A1A2 B1B2 C1C2| A12 B12 C12 A22 B22 C22 是兩平面夾角，則有 A1 A2 B1B2 C1C2 0 充要條件為平

19、面垂直A1 B1 C1 則平面重合或平行 A2 B2 C2 例 5 求兩平面 x y 2z 6 0和 2x y z 5 0的夾角 解 n1 (A1 B1 C1) (1 1 2) n2 (A2 B2 C2) (2 1 1) cos |A1A2 B1B2 C1C2 | A12 B12 C12 A22 B22 C22 |1 2 ( 1) 1 2 1| 1 12 ( 1)2 22 22 12 12 2 所以 所求夾角為 3 例 6 一平面通過兩點 M1(1 1 1)和 M2(0 1 1)且垂直于平面 x y z 0 求它的方程 解 1由 M1到點 M2的向量為 n1 ( 1 0 2) 平面 x y z

20、 0 的法線向量為 n2 (1 1 1) 設(shè)所求平面的法線向量為 n (A B C) 則有 n n1 即 A 2C 0 A 2C 又因為所求平面垂直于平面 x y z 0 所以 n n1 即 A B C 0 B C 所求平面為 2C(x 1) C(y 1) C(z 1) 0 即 2x y z 0 解 2 從點 M1到點 M2的向量為 n1 ( 1 0 2) 平面 x y z 0的法線向量為 n2 (1 1 1) - 67 - 頁腳內(nèi)容 頁眉內(nèi)容 設(shè)所求平面的法線向量 n 可取為 n1 n2 因為 i j k n n1 n2 1 0 2 2i j k 1 1 1 所以所求平面方程為 2x y z

21、 0 三 直線的方程 直線是兩平面的交線，即直線的一般式方程： 直線上一點 M0(x0, y0, z0)和方向向量 s= m, n, p ，直線的對稱式方程： 例 7 將直線 x y z 1 0 表為對稱式 2x y 3z 4 0 解 取 x0=1，代入方程組得 y0=0、z0= -2，即點 (1,0,-2)在直線上。 i j k 兩平面的法向量分別為 n1=1,1,1 和 n2=2,-1,3 ，則 s= n1n2= 111 =4ij3k， 2 1 3 所求對稱式方程為： x 1 y z 2 4 1 3 設(shè)直線 l1和 l 2的方向向量為 a= x1, y1, z1 、 b= x2, y2,

22、z2，則 cos =|cos(a, x1x2 y1y2 z1z2 四 幾個曲面方程 例 8 方程 x2 y2 z2 2x 4y 0 表示怎樣的曲面？ 解 通過配方 原方程可以改寫成 2 2 2 (x 1)2 (y 2)2 z2 5 這是一個球面方程 球心在點 M0(1 2 0)、半徑為 R 5 一般地 設(shè)有三元二次方程 222 Ax Ay Az Dx Ey Fz G 0 這個方程的特點是缺 xy yz zx 各項 而且平方項系數(shù)相同 只要將方程經(jīng)過配方就可以化 成方程 (x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 R2 的形式 它的圖形就是一個球面 例 9 方程 x2 y2 R2 表示怎樣的曲面？ 解 方程 x2 y2 R2 在 xOy 面上表示圓心在原點 O 、半徑為 R 的圓 在空間直角坐標系 中 這方程不含豎坐標 z 即不論空間點的豎坐標 z 怎樣 只要它的橫坐標 x 和縱坐標 y 能滿 足這方程 那么這些點就在這曲面上 也就是說 過 xOy 面上的圓 x2 y2 R2 且平行于 z 軸 的直線一定在 x2 y2 R2 表示的曲面上 所以這個曲面可以看成是由平行于 z