2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.1.2 四種命題 1.1.3 四種命題間的相互關(guān)系課件 新人教A版選修1-1

1、1 1.1 1.2 2四種命題 1 1.1 1.3 3四種命題間的相互關(guān)系 1.四種命題 (1)原命題與逆命題 (2)原命題與否命題 (3)原命題與逆否命題 名師點(diǎn)撥1.四種命題中原命題具有相對性,任何一個(gè)都可以作為 原命題,原命題確定后,其逆命題、否命題和逆否命題就確定了,所 以“互逆”“互否”“互為逆否”具有對稱性. 2.“互為逆否命題”與“逆否命題”是不同的,互為逆否命題指的是 兩個(gè)命題之間的關(guān)系,具有雙向性,而逆否命題指的是一個(gè)命題,具 有單向性. 2.四種命題間的關(guān)系 名師點(diǎn)撥四種命題之間共有互逆、互否、互為逆否三種關(guān)系. (1)互逆關(guān)系:原命題與逆命題,否命題與逆否命題; (2)互

2、否關(guān)系:原命題與否命題,逆命題與逆否命題; (3)互為逆否關(guān)系(等價(jià)關(guān)系):原命題與逆否命題,逆命題與否命題. 【做一做2】 給出以下命題: 若一個(gè)四邊形的四條邊不相等,則它不是正方形; 若一個(gè)四邊形的對角互補(bǔ),則它內(nèi)接于圓; 正方形的四條邊相等; 圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ); 對角不互補(bǔ)的四邊形不內(nèi)接于圓; 若一個(gè)四邊形的四條邊相等,則它是正方形. 其中互為逆命題的有;互為否命題的有; 互為逆否命題的有. 解析:命題可改寫為“若一個(gè)四邊形是正方形,則它的四條邊相 等”;命題可改寫為“若一個(gè)四邊形是圓內(nèi)接四邊形,則它的對角互 補(bǔ)”;命題可改寫為“若一個(gè)四邊形的對角不互補(bǔ),則它不內(nèi)接于 圓”.因此互

3、為逆命題的有和,和;互為否命題的有和 ,和;互為逆否命題的有和,和. 答案:和,和和,和和,和 3.四種命題間的真假關(guān)系 (1)四種命題的真假性,有以下四種情況: (2)四種命題的真假性之間的關(guān)系如下: 兩個(gè)命題互為逆否命題,它們的真假性相同; 兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題,它們的真假性沒有關(guān)系. 名師點(diǎn)撥由于原命題與其逆否命題的真假性相同,所以原命題與 其逆否命題是等價(jià)命題,因此當(dāng)直接證明原命題困難時(shí),可以轉(zhuǎn)化 證明其逆否命題. 【做一做3】 (1)命題“若x21,則x1”的否命題是(填 “真”或“假”)命題. (2)若命題p的逆否命題是真命題,則命題p是命題.(填 “真”或“假”) (3

4、)命題“若ab,則a2b2”的逆否命題為,其真 假情況為(填“真命題”或“假命題”). 答案:(1)假(2)真(3)若a2b2,則ab假命題 思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“”,錯(cuò)誤的打 “”. (1)有的命題沒有逆命題. () (2)在四種命題中,只有原命題與否命題具有互否關(guān)系. () (3)互逆命題的真假性一定相反. () (4)在原命題及其逆命題、否命題和逆否命題中,假命題的個(gè)數(shù)一 定是偶數(shù). () (5)原命題的否命題的逆命題就是原命題的逆否命題. () 答案:(1)(2)(3)(4)(5) 探究一探究二思想方法 寫出原命題的其他三種命題寫出原命題的其他三種命題

5、 【例1】寫出下列各個(gè)命題的逆命題、否命題和逆否命題. (2)若a+b是偶數(shù),則a,b都是偶數(shù); (3)等底等高的兩個(gè)三角形是全等三角形; (4)當(dāng)1x2時(shí),x2-3x+20; (5)若ab=0,則a=0或b=0. 思路點(diǎn)撥:注意分清命題的條件和結(jié)論,然后按照四種命題的定 義寫出相應(yīng)的命題,其中(2)要注意對“都是”的否定,(5)要注意對“或” 的否定. 探究一探究二思想方法 (2)逆命題:若a,b都是偶數(shù), 則a+b是偶數(shù). 否命題:若a+b不是偶數(shù),則a,b不都是偶數(shù). 逆否命題:若a,b不都是偶數(shù), 則a+b不是偶數(shù). 探究一探究二思想方法 (3)逆命題:若兩個(gè)三角形全等,則這兩個(gè)三角形

6、等底等高. 否命題:若兩個(gè)三角形不等底或不等高,則這兩個(gè)三角形不全等. 逆否命題:若兩個(gè)三角形不全等,則這兩個(gè)三角形不等底或不等 高. (4)逆命題:若x2-3x+20,則1x2. 否命題:若x1或x2, 則x2-3x+20. 逆否命題:若x2-3x+20,則x1或x2. (5)逆命題:若a=0或b=0,則ab=0. 否命題:若ab0,則a0,且b0. 逆否命題:若a0,且b0,則ab0. 探究一探究二思想方法 反思感悟1.給出一個(gè)命題,寫出該命題的其他三種形式時(shí),首先要 弄清楚該命題的條件和結(jié)論,若給出的命題不是“若p,則q”的形式, 則應(yīng)先改寫為“若p,則q”的形式,找出命題的條件和結(jié)論.

7、 2.寫一個(gè)命題的否命題時(shí),要對命題的條件和結(jié)論都進(jìn)行否定,避 免出現(xiàn)不否定條件,只否定結(jié)論的錯(cuò)誤. 3.要特別注意一些常見形式的否定的寫法,例如:“都是”的否定為 “不都是”,“a,b中至少一個(gè)為零”的否定為“a,b都不為零”. 探究一探究二思想方法 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1(1)若命題r的否命題為“若 p,則q”,那么原命題r為 . 答案:若p,則 q (2)寫出命題“若拋物線y=ax2+bx+c(a0)的開口向下,則集合 x|ax2+bx+c0,a0”的逆命題、否命題和逆否命題. 解:逆命題:若集合x|ax2+bx+c0,a0, 則拋物線y=ax2+bx+c(a0)的開口向下. 否命題:若拋物

8、線y=ax2+bx+c(a0)的開口向上, 則集合x|ax2+bx+c0,a0=. 逆否命題:若集合x|ax2+bx+c0,a0)=, 則拋物線y=ax2+bx+c(a0)的開口向上. 探究一探究二思想方法 四種命題的真假判斷四種命題的真假判斷 【例2】判斷下列各個(gè)命題的真假: (1)“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的否命題; (2)“對頂角相等”的逆命題; (3)“直角三角形的兩個(gè)銳角互為余角”的逆否命題; (4)若a0或b0,則a+b0. 思路點(diǎn)撥:可以直接根據(jù)要求寫出每個(gè)命題,然后判斷真假,也可 以不寫出命題,而利用四種命題之間的等價(jià)性關(guān)系進(jìn)行判斷. 探究一探究二思想方法 自主解答:

9、(1)法一:“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的否命題是“若 x+y0,則x,y不互為相反數(shù)”,是真命題. 法二:“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題是“若x,y互為相反數(shù), 則x+y=0”,顯然是真命題,而逆命題和否命題等價(jià),因此“若x+y=0,則 x,y互為相反數(shù)”的否命題是真命題. (2)法一:“對頂角相等”的逆命題是“若兩個(gè)角相等,則它們是對頂 角”,是假命題. 法二:“對頂角相等”的否命題是“若兩個(gè)角不是對頂角,則它們不 相等”,顯然是假命題,而逆命題和否命題等價(jià),故“對頂角相等”的逆 命題是假命題. 探究一探究二思想方法 (3)法一:“直角三角形的兩個(gè)銳角互為余角”的逆否

10、命題是“若一 個(gè)三角形的兩個(gè)銳角不互為余角,則這個(gè)三角形不是直角三角形”, 是真命題. 法二:由于命題“直角三角形的兩個(gè)銳角互為余角”是真命題,而原 命題與逆否命題等價(jià),所以“直角三角形的兩個(gè)銳角互為余角”的逆 否命題是真命題. (4)法一:取a=4,b=-6,滿足a0或b0,但這時(shí)a+b0不成立,故原 命題是假命題. 法二:命題“若a0或b0,則a+b0”的逆否命題是“若a+b0,則 a0,且b3,求證:m2+n24. 【審題視角】 將要證明的問題看做一個(gè)命題,只需證明這個(gè)命 題為真命題即可,而當(dāng)證明這個(gè)命題本身的真假比較困難時(shí),可以 利用命題的等價(jià)性證明其逆否命題為真命題. 自主解答:構(gòu)造

11、命題:若m+n3,則m2+n24. 該命題的逆否命題是:若m2+n2=4,則m+n3,以下證明該逆否命 題為真命題. 探究一探究二思想方法 方法點(diǎn)睛“正難則反”思想的處理原則 (1)當(dāng)原命題的真假不易判斷,而逆否命題較容易判斷真假時(shí),可 通過判斷其逆否命題的真假來判斷原命題的真假. (2)在證明某一個(gè)命題的真假性有困難時(shí),可以證明它的逆否命題 為真(假)命題,來間接地證明原命題為真(假)命題. 探究一探究二思想方法 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練求證:當(dāng)a2+b2=c2時(shí),a,b,c不可能都是奇數(shù). 證明:構(gòu)造命題:若a2+b2=c2,則a,b,c不可能都是奇數(shù). 該命題的逆否命題是:若a,b,c都是奇數(shù),

12、則a2+b2c2.下面證明該逆 否命題是真命題. 由于a,b,c都是奇數(shù),則a2,b2,c2都是奇數(shù),于是a2+b2必為偶數(shù),而c2 為奇數(shù),所以a2+b2c2,故逆否命題為真命題,從而原命題也是真命題. 1.命題“若a+b=6,則ab9”的否命題是() A.若a+b=6,則ab9B.若ab9,則a+b6 C.若a+b6,則ab9D.若a+b6,則ab9 答案:C 2.已知命題s的逆命題是:“若p,則q”,則命題s的否命題是() A.若q,則pB.若q,則p C.若q,則pD.若p,則 q 解析:由已知得原命題s是“若q,則p”,則s的否命題是“若q, 則p”. 答案:B 3.在命題“若a=5,則a2=25”及其逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè) 命題中,是假命題的是() A.原命題、否命題B.原命題、逆命題 C.原命題、逆否命題D.逆命題、否命題 解析:因?yàn)樵}為真命題,逆命題為假命題,所以其逆否命題為真 命題,否命題為假命題. 答案:D 4.下列命題中,真命題的個(gè)數(shù)是() “若x,y都是奇數(shù),則x+y是偶數(shù)”的否命題;“全等三角