矩陣的分解（經(jīng)典實(shí)用）

1、矩陣的分解 矩矩 陣陣 論論 電電 子子 教教 程程 Department of Mathematics 矩陣的分解 矩陣的分解矩陣的分解 Department of Mathematics 矩陣的分解 定理定理2: 設(shè)設(shè) ，那么，那么 可唯一地分解為可唯一地分解為 其中：其中： ， 為正線上三角陣為正線上三角陣 AUR rn r CA A rn r UU R 4.2 矩陣的矩陣的QR分解分解 定理定理1： 是次酉陣當(dāng)且僅當(dāng)是次酉陣當(dāng)且僅當(dāng) 的列（行）為標(biāo)的列（行）為標(biāo) 準(zhǔn)正交向量組。準(zhǔn)正交向量組。 AA 定義定義1: 設(shè)設(shè) ,若若 則稱則稱 為為次酉陣，次酉陣，全體列滿秩（行滿秩）的次全體列

2、滿秩（行滿秩）的次 酉陣的集合記為：酉陣的集合記為： A )( nr r rn r CCA )( IAAIAA HH )( nr r rn r UU )( nr r rn r CCA )( nr r rn r UU 稱為稱為A的的UR分解分解 Department of Mathematics 矩陣的分解 A證明：證明：先證明分解的存在性。將矩陣先證明分解的存在性。將矩陣 按列分按列分 塊塊 得到得到 由于由于 ，所以，所以 是線性無關(guān)的。是線性無關(guān)的。 利用利用Schmidt正交化與單位化方法，先得到正交化與單位化方法，先得到 一組正交向量組再單位化，這樣得到一組標(biāo)準(zhǔn)正一組正交向量組再單位化

3、，這樣得到一組標(biāo)準(zhǔn)正 交向量組交向量組 ),( 21r A rn r CA r , 21 r , 21 由前面學(xué)的定理有：由前面學(xué)的定理有：RA r ),( 21 其中其中: 為正線上三角陣為正線上三角陣. 設(shè)設(shè) 歐氏歐氏(酉酉)空間空間 的線性無關(guān)組的線性無關(guān)組, 則則 中存在標(biāo)準(zhǔn)正交向量組中存在標(biāo)準(zhǔn)正交向量組 ,使得使得 12 , m V V m , 21 R mm , 2121 )( mm m mm m RCR 記記: ,則則 于是于是: ,下面證明分解是唯一的下面證明分解是唯一的 ),( 21r U IUU H rn r UUURA , Department of Mathematic

4、s 矩陣的分解 假設(shè)假設(shè): ,: ,那么有那么有:RUURA 11 RRUU 注意到注意到 仍是酉矩陣，而仍是酉矩陣，而 是一個(gè)正線是一個(gè)正線 上三角矩陣，因此有上三角矩陣，因此有: UU 1 1 RR 于是于是: ,從而從而IUU 1 IRR 1 RRUU , IUUUUUUUUUU HHH 11111 ) () () )( ( 推論推論1: 設(shè)設(shè) ，那么，那么 可唯一地分解為可唯一地分解為 其中：其中： ， 為正線下三角陣為正線下三角陣 nr r CA A nr r UU LUA L 證明證明:因?yàn)橐驗(yàn)?,則則 所以所以, rn r T UUURA , nr r TTT UUURA , ,

5、 nr r T CA 推論推論2: 設(shè)設(shè) ，那么，那么 可唯一地分解為可唯一地分解為 其中：其中： ， 為正線上三角陣為正線上三角陣 AUR nn n CA A nn n UU R Department of Mathematics 矩陣的分解 例例 1 求下列矩陣的正交三角分解求下列矩陣的正交三角分解 100 010 001 111 A 解答解答:容易判斷出容易判斷出 即即 是一個(gè)列滿秩矩是一個(gè)列滿秩矩 陣。按照定理的證明過程，陣。按照定理的證明過程， 4 3 3 AC A 將將 的三個(gè)列向量正交化與單位化的三個(gè)列向量正交化與單位化 先得到一個(gè)正交向量組先得到一個(gè)正交向量組: 123 A D

6、epartment of Mathematics 矩陣的分解 11 21 22121 11 3132 2312 1122 312 1 100 (,)1 (,)2 11 10 22 (,)(,) (,)(,) 11111 1 23333 T T T Department of Mathematics 矩陣的分解 再將其單位化，得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組再將其單位化，得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組 11 1 22 2 33 3 122 00 22 1666 0 663 13333 6662 T T T Department of Mathematics 矩陣的分解 這樣，原來的向量組與標(biāo)準(zhǔn)正交向量之間的關(guān)系這

7、樣，原來的向量組與標(biāo)準(zhǔn)正交向量之間的關(guān)系 可表示成可表示成 11 221 3321 2 62 22 2 362 362 Department of Mathematics 矩陣的分解 將上面的式子矩陣化，即為將上面的式子矩陣化，即為 123123 22 2 22 66 0 26 23 00 3 A UR Department of Mathematics 矩陣的分解 解答解答:首先判斷出首先判斷出 ,由定理可知必存在由定理可知必存在 以及三階正線上三角矩陣以及三階正線上三角矩陣 使得使得 3 3 3 AC 3 3 UU RAUR 212 220 122 A 練習(xí)練習(xí): 求下列矩陣的正交三角分解求下列矩陣的正交三角分解 重復(fù)例題的步驟重復(fù)例題的步驟,即得結(jié)果即得結(jié)果 Department of