高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)講義.教師版

1、復(fù)數(shù)知識(shí)內(nèi)容一、復(fù)數(shù)的概念1 虛數(shù)單位i:（1）它的平方等于1 ，即 i 21 ；（ 2）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立（ 3） i 與 1 的關(guān)系 :i 就是 1的一個(gè)平方根，即方程21 的一個(gè)根，方程21 的另一個(gè)根是 -i xx（4） i 的周期性：i 4n 1i ， i 4n 21 ， i 4n 3i ， i 4 n1 實(shí)數(shù) a( b0)2 數(shù)系的擴(kuò)充：復(fù)數(shù)abibi( b0)純虛數(shù) bi( a0)虛數(shù) a非純虛數(shù) abi( a0)3 復(fù)數(shù)的定義：形如 abi( a ，bR ) 的數(shù)叫復(fù)數(shù)，a 叫復(fù)數(shù)的實(shí)部， b 叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)

2、數(shù)集，用字母C 表示4 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式 :通常用字母 z 表示，即 za bi (a ，bR) ，把復(fù)數(shù)表示成 abi 的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式5 復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0 的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù) a bi ( a ，bR) ，當(dāng)且僅當(dāng) b0時(shí)，復(fù)數(shù) abi( a ，bR) 是實(shí)數(shù) a ；當(dāng) b 0 時(shí)，復(fù)數(shù)z a bi 叫做虛數(shù)；當(dāng)a0 且 b0 時(shí)， zbi 叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng) a b 0 時(shí)， z 就是實(shí)數(shù) 0高中數(shù)學(xué) .復(fù)數(shù)Page 1 of 166 復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：N 苘ZQ 苘 RC7 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等這

3、就是說，如果 a ，a ，b，d ，c ， dR ，那么 abicdiac ， bd二、復(fù)數(shù)的幾何意義1 復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：復(fù)數(shù) z a bi( a ，b R ) 與有序?qū)崝?shù)對(duì)a ，b是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 點(diǎn) Z 的橫坐標(biāo)是 a ，縱坐標(biāo)是 b ，復(fù)數(shù) za bi( a ，bR ) 可用點(diǎn) Z a ，b 表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x 軸叫做實(shí)軸，y 軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)2 對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為0 ，0 ，它所確定的復(fù)數(shù)是z 0 0i 0 表示是實(shí)數(shù)除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)3復(fù)數(shù) z a

4、bi一一對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) Z (a ，b)這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法三、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1 復(fù)數(shù) z1 與 z2 的和的定義：z1z2abicdiacbd i2 復(fù)數(shù) z1 與 z2 的差的定義：z1 z2a bic dia cb d i3 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律: z1z2z2z14 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律: ( z1z2 )z3z1(z2 z3 )5 乘法運(yùn)算規(guī)則：設(shè) z1a bi ， z2cdi ( a 、 b 、 c 、 dR )是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積 z1 z2a bicdiacbdbc ad i其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相

5、乘，在所得的結(jié)果中把i 2 換成1，并且把實(shí)部與虛部分別合并兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)6 乘法運(yùn)算律：（1） z1 z2 z3z1 z2 z3（2） (z1 z2 ) z3z1 ( z2 z3 )高中數(shù)學(xué) .復(fù)數(shù)Page 2 of 16（3） z1 z2z3z1 z2z1 z37 復(fù)數(shù)除法定義：滿足 cdixyiabi的復(fù)數(shù) xyi ( x 、 yR )叫復(fù)數(shù) abi 除以復(fù)數(shù) cdi 的商，記為：(a bi)cdi或者 abicdi8 除法運(yùn)算規(guī)則：設(shè)復(fù)數(shù) abi( a 、 bR ) ，除以 cdi( c ， dR )，其商為 xyi （ x 、 yR ) ，即 ( a bi)cdixyi

6、xyicdicxdydxcyi cxdydxcy iabixacbdcxdyac2d2由復(fù)數(shù)相等定義可知，解這個(gè)方程組，得dxcybbc，yadc2d 2于是有 :(abi)cdiacbdbcadi2222cdcd利用cdicdic22abi 的分母有理化得：d于是將 cdi原式abi(abi)( cdi) acbi(di)(bcad)icdi(cdi)( cdi)c2d 2(acbd )(bcad)iacbdbcadc2d2c2d2c2d2 i ( (abi)cdiacbdbcadc2d22d2 ic點(diǎn)評(píng) : 是常規(guī)方法，是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而復(fù)

7、數(shù) cdi 與復(fù)數(shù) cdi ，相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的32 的對(duì)偶式32 ，它們之積為1是有理數(shù)，而cdicdic2d 2 是正實(shí)數(shù)所以可以分母實(shí)數(shù)化把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法9 共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。虛部不等于0 的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)高中數(shù)學(xué) .復(fù)數(shù)Page 3 of 16例題精講1 復(fù)數(shù)的概念【例 1】 已知ai）12 bi (i 為虛數(shù)單位），那么實(shí)數(shù) a，b 的值分別為（iA2， 5B-3，1C -1 13D2，2【答案】 D【例 2 】 計(jì)算： i 0!+ i 1! + i 2! +L+ i100!（ i 表示虛數(shù)單位）【答

8、案】 952i【解析】 i41 ，而 4 | k ! （ k4 ），故 i 0!+ i 1! + i 2! +L + i100!i i ( 1) ( 1) 1 97 95 2i【例 3 】 設(shè) z(2t 25t 3)(t 22t 2)i ， tR ，則下列命題中一定正確的是（）A z 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) Z 在第一象限B z 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) Z 在第四象限C z 不是純虛數(shù)D z 是虛數(shù)【答案】 D【解析】 t 22t 2(t 1)210 【例 4 】 在下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小；若 ( x21)(x23 x2)i 是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x1； z 是虛數(shù)的一個(gè)充要條件是zzR ；若 a

9、 ，b 是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，則( ab)(ab)i 是純虛數(shù)； zR 的一個(gè)充要條件是zz z1 的充要條件是z1 zA1B 2C3D4【答案】 B【解析】 復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)， 可以比較大小， 錯(cuò)； x1時(shí)，( x21)( x23x2)i0 ， 錯(cuò)； z 為實(shí)數(shù)時(shí)，也有 zzR ， 錯(cuò)； ab0 時(shí)，(ab)(ab)i0 ， 錯(cuò)； 正確 2 復(fù)數(shù)的幾何意義【例 5 】 復(fù)數(shù) zm2i （ m R ， i 為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于（）12i高中數(shù)學(xué) .復(fù)數(shù)Page 4 of 16A 第一象限B 第二象限C第三象限D(zhuǎn) 第四象限【答案】 Am2i(m2i )(12i )1【解析】 由已知

10、z2i(12i )(12i )( m 4) 2(m 1)i 在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)如果在第一象限，則15m40 ，而此不等式組無解即在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限m10【例6】 若3，5，復(fù)數(shù)(cossin)(sincos )i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）4 4A 第一象限B 第二象限C第三象限D(zhuǎn) 第四象限【答案】 B【解析】 結(jié)合正、余弦函數(shù)的圖象知，當(dāng)3，5時(shí)，cos sin0 ，sincos044【例 7 】 如果復(fù)數(shù) z 滿足 zi z i2 ，那么 zi 1的最小值是（）A 1B 2C 2D 5【答案】 A【解析】 設(shè)復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Z ，因?yàn)?ziz i 2 ，所以點(diǎn) Z

11、的集合是y 軸上以 Z1 (0 ，1) 、 Z2 (0 ， 1) 為端點(diǎn)的線段z i 1 表示線段 Z1Z2 上的點(diǎn)到點(diǎn) ( 1， 1) 的距離此距離的最小值為點(diǎn)Z2(0 ， 1)到點(diǎn) ( 1， 1)的距離，其距離為1【例 8 】 滿足 z1 及 z1z3的復(fù)數(shù) z 的集合是（）22A 13 i ， 13 iB 11 i ，11 i22222222C22 i ， 22 iD 13 i ，13 i22222222【答案】 D【解析】 復(fù)數(shù) z 表示的點(diǎn)在單位圓與直線x1131，與點(diǎn)3 ，的距離上（ z2z表示 z 到點(diǎn)002222相等，故軌跡為直線x1 ），故選 D2【例 9 】 已知復(fù)數(shù)( x

12、2)yi( x ，yR )的模為3 ，則y的最大值為_yx高中數(shù)學(xué) .復(fù)數(shù)Page 5 of 16OCx【答案】3【解析】 x2yi3 ， ( x2)2y23 ，故 ( x，y) 在以 C (2 ，0) 為圓心，3 為半徑的圓上，y 表示圓上的點(diǎn) ( x， y) 與x原點(diǎn)連線的斜率如圖，由平面幾何知識(shí)，易知y 的最大值為3 x【例 10】復(fù)數(shù) z 滿足條件： 2 z1zi ，那么 z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是（）A 圓B橢圓C雙曲線D 拋物線【答案】 A【解析】 A ；設(shè) zxyi ，則有 (2 x1) 2 yi x( y 1)i ， (2 x 1)2(2 y)2x2( y 1)2 ，225 ，故為圓

13、化簡(jiǎn)得：x2y1339【點(diǎn)評(píng)】 zz0的幾何意義為點(diǎn)z 到點(diǎn) z0 的距離； zz0r (r0) 中 z 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為以復(fù)數(shù)z0 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，半徑為r 的圓上的點(diǎn)z 2【例 11】復(fù)數(shù) z1 ， z2 滿足 z1 z20， z1 z2z1z2，證明：10 2z2【解析】 設(shè)復(fù)數(shù) z1 ， z2 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1 ， Z 2 ，由 z1z2z1 z2uuuuruuuur知，以 OZ1 ，OZ2為鄰邊的平行四邊形為矩形，uuuuruuuurz1z122i2k20OZ1OZ 2 ，故可設(shè)z2ki(k R， k0) ，所以 z22k也可設(shè) z1a bi ，z2cdi ，則由向量 (a ，

14、b) 與向量 (c ，d ) 垂直知 acbd0 ，z1abi( acbd )(bc ad )ibcad2z12i 0 ，故z10z2cdic2d2c2d22z22z【例 12】已知復(fù)數(shù) z1， z2 滿足 z17 1 ， z271 ，且 z1z24 ，求 z1 與 z1 z2的值z(mì)2【答案】47i ； 43【解析】 設(shè)復(fù)數(shù) z1， z2 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1， Z2，由于 (71)2(71)242 ，222故 z1z2z1z2 ，uuuuruuuuruuuuruuuur，則 z17147故以 OZ1， OZ2為鄰邊的平行四邊形是矩形，從而OZ1OZ 2ii ；z2713z1z2z1z24

15、 高中數(shù)學(xué) .復(fù)數(shù)Page 6 of 16【例 13】已知 z1 ，z2C ， z1z21 ， z1z23 ，求 z1z2 【解析】 設(shè)復(fù)數(shù) z1，z2 ， z1z2 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1 ，Z2，Z3，由 z1z2uuuuruuuur1知，以 OZ1，OZ2 為鄰邊的平行四邊形是菱形，記O 所對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)為P ，由 z1z23知，PZ O120（可由余弦定理得到） ，故Z OZ60，112從而 z1z21【例 14】已知復(fù)數(shù) z 滿足 z(23i)z(23i)4 ，求 dz 的最大值與最小值【答案】 dmax221 ， d min13【解析】設(shè) zx2y21 yi ，則 ( x，y) 滿足

16、方程 ( x 2)42dx2y2x241(x2)23x828 ，33又 1 x 3 ，故當(dāng) x 1，y0 時(shí)， dmin1 ；當(dāng) x8 ，y2 5時(shí)，有 d max2 213333 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算【例 15】已知 mR ，若 (mmi) 664i ，則 m 等于（）A 2B2C2D 4【答案】 B【解析】 (mmi) 6m6 (2i) 38im664im68m2 【例 16】計(jì)算： (22i )12( 2 3i )100( 13i )9(123i )100【答案】 511【解析】 原式212 (1i)12(i2 3)100212 (2i) 6193 i) 910029( 13 i) 9( i)

17、1002151129 (1 i(i23)2222【例 17】已知復(fù)數(shù) z1cos i ， z2sini ，則 z1z2 的最大值為（）A 3B 26D 3C22【答案】 A【解析】 z1 z2 (cosi)(sini)(cossin1)(cossin )i(cos sin 1)2(cos sin )2高中數(shù)學(xué) .復(fù)數(shù)Page 7 of 16cos2 sin 221sin2 2 2 ，4故當(dāng) sin21 時(shí)，z113z2 有最大值242【例 18】對(duì)任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)z ，定義集合 M z w | w zn ，n N （）設(shè) z 是方程 x1M z 若在 M z 中任取兩個(gè)數(shù)，求其和0 的一個(gè)根，

18、試用列舉法表示集合x為零的概率 P ；（ 2）若集合 M z 中只有 3個(gè)元素，試寫出滿足條件的一個(gè)z 值，并說明理由【答案】（ 1） 1 ；（ 2） z13i 322【解析】 （ 1） z 是方程 x21 0的根， zi 或 zi ，不論 zi 或 zi ， M z i ，i2，i3 ，i4 i ， 1， i ，1，于是 P212C43（2）取 z13 i ，則 z13 i 及 z 1 232222于是 M z z，z2 ，z3 或取 z13 i （說明：只需寫出一個(gè)正確答案）22【例 19】解關(guān)于 x 的方程x25 x6( x2)i0 【答案】 x1 3 i ，x2225x 60x或x 3

19、【解析】 錯(cuò)解：由復(fù)數(shù)相等的定義得x2x20x2x 2分析： “bic diac，且bd成立 ”的前提條件是 a ，b ，c ，dR ，但本題并未告訴x 是a否為實(shí)數(shù)法一：原方程變形為x2(5i) x62i0，(5i) 24(62i)2i(1i) 2 由一元二次方程求根公式得x1(5i)(1i)3i ， x2(5i)(1i)2 22原方程的解為x13i ， x22 法二：設(shè) xabi( a ，bR ) ，則有 (abi) 25(abi)6( abi2)i0，225ab6)(2 ab5ba2)i0a2b25a b 6 0(ab2ab5ba20，由 得： a5b2a3a2，代入 中解得：b或b，2

20、b110高中數(shù)學(xué) .復(fù)數(shù)Page 8 of 16故方程的根為x13i ，x22 【例 20】已知 z1x2ix21，z(x2a)i，對(duì)于任意 xR ，均有zz成立，試求實(shí)數(shù)a 的取值范212圍【答案】 a11，2【解析】 z1z2 ， x4x21( x2a )2 ， (12a)x2(1a 2 )0對(duì) xR 恒成立當(dāng) 12a0 ，即 a1時(shí)，不等式恒成立；2當(dāng) 12a0 時(shí)，12a01 a1 4(12a)(1a 2 ) 02綜上， a1 ，12【例 21】關(guān)于 x 的方程 x2(2ai )xai1 0有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍【答案】 a1【解析】 誤： 方程有實(shí)根，(2 ai )24(1ai

21、)4a250 解得 a 5 或 a 5 22析：判別式只能用來判定實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2bxc0( a0) 根的情況，而該方程中 2a i與 1ai 并非實(shí)數(shù)正：設(shè) x0 是其實(shí)根，代入原方程變形為x022ax01 (ax0 )i0 ，由復(fù)數(shù)相等的定義，得x022ax0 101x0a 0，解得 a22xk0 的根分別為，且22 ，求實(shí)數(shù) k 的值【例 22】設(shè)方程 x【答案】 k1或 k3【解析】 若，為實(shí)數(shù)，則44k 0 且2)2()244 4k (2 2) 2 ，(解得 k1若，為虛數(shù)，則44k0 且，共軛，2() 2() 2444k (22) 2 ，解得 k3 綜上， k1或 k3 【

22、例 23】用數(shù)學(xué)歸納法證明： (cosisin )ncos( ) isin(n)，n N n高中數(shù)學(xué) .復(fù)數(shù)Page 9 of 16并證明 (cosisin) 1cosisin，從而 (cosisin) ncos(n )isin( n ) 【解析】 n 1時(shí)，結(jié)論顯然成立；若對(duì) nk 時(shí)，有結(jié)論成立，即(cosisin)kcos(k)isin( k) ，則對(duì) nk 1， (cosisin)k1(cosisin)(cosisin)k由歸納假設(shè)知，上式(cosisin)cos(k )isin( k )(coscosksinsin k )icossin( k )sin cos kcos(k1)isi

23、n( k1) ，從而知對(duì) nk1，命題成立綜上知，對(duì)任意 nN，有 (cosisin)ncos(n )isin( n)，nN 易直接推導(dǎo)知：(cosisin)(cosisin )(cos()isin()(cosisin)cos0isin0 1故有 (cosisin) 1cosisin(cosisin)n(cosisin) n(cos()isin() ncos( n )isin(n)cos(n)isin( n) 【例 24】若 cosisin是方程 xna1 xn1a2 xn 2Lan 1 xan0 （ a1 ，a2，L，anR ）的解，求證： a1 sina2 sin 2L an sin n0

24、 【解析】 將解代入原方程得：(cosisin)na1 (cosisin)n 1Lan0 ，將此式兩邊同除以(cosisin)n ，則有：1a1 (cosisin) 1a2 (cosisin) 2Lan (cosisin) n0 ，即1a1 (cosisin)a2 (cos2isin 2 )Lan (cos nisin n )0，(1a1 cosa2 cos2Lan cos n )i( a1 sina2 sin 2Lan sin n)0 ，由復(fù)數(shù)相等的定義得a1 sina2 sin 2Lan sin n0【例 25】設(shè) x 、 y 為實(shí)數(shù)，且xy2i5，則 xy =_1 i11 3i【答案】

25、4【解析】 由 xy2i5知， x (1i )y (12i)5(1 3i ) ，1 i11 3i2510即 (5 x2 y5)(5x4y15)i0，5x2 y50x1，故 xy4 故4 y15，解得y55x0高中數(shù)學(xué) .復(fù)數(shù)Page 10 of 16【例 26】已知z是純虛數(shù)，求z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡z 1【答案】以1 ，為圓心，1 為半徑的圓，并去掉點(diǎn)(0 ，0) 和點(diǎn) (1，0) 202【解析】 法一：設(shè) zxyi （ x ，yR ），則zxyix(x1)y2yi是純虛數(shù)，z 1 x 1 yi( x 1)2y2故 x2y2x0( y0) ，即z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以1 ，為圓心， 1為半徑的圓，并去掉點(diǎn)(0 ，0)和點(diǎn)(1，0)202法二：z是純虛數(shù)， zz0（ z0 且 z1）z1z11zzz0 ，