y=ax2+c的圖象和性質(zhì)

1、拋物線拋物線y=ax2+c的圖象和性質(zhì)的圖象和性質(zhì) 1.拋物線拋物線y=ax2的頂點是原點的頂點是原點, 對稱軸是對稱軸是y軸軸. 2.當當a0時，拋物線時，拋物線y=ax2在在x軸的上方軸的上方(除頂點外除頂點外), 它的開口向上它的開口向上,并且向上無限伸展；并且向上無限伸展； 當當a0時時,在對稱軸的左側(cè)在對稱軸的左側(cè),y隨著隨著x的增大而減??；在的增大而減??；在 對稱軸右側(cè)對稱軸右側(cè),y隨著隨著x的增大而增大的增大而增大.當當x=0時函數(shù)時函數(shù)y的值最小的值最小. 當當a0a0 圖圖 象象 開口方向開口方向 頂點坐標頂點坐標 對稱軸對稱軸 增增 減減 性性 極值極值 x y O y x

2、 O 向上向上向下向下 (0 ,0)(0 ,0) y軸y軸 當當x0時，時， y隨著隨著x的增大而增大。的增大而增大。 當當x0時，時， y隨著隨著x的增大而減小。的增大而減小。 x=0時,y最小=0 x=0時,y最大=0 拋物線y=ax2 (a0)的形狀是由|a|來確定的,一般說來, |a|越大,拋物線的開口就越小. 例例2. 2. 在同一直角坐標系中在同一直角坐標系中, ,畫出二次函數(shù)畫出二次函數(shù)y=xy=x2 2+1+1 和和y=xy=x2 2 的圖像 的圖像 解解: :先列表先列表 x x-3-3-2 -2 -1 -10 01 1 2 23 3 y=xy=x2 2+1+1 y=xy=x

3、2 2 10105 52 21 12 25 51010 9 94 41 10 01 14 49 9 然后描點畫圖然后描點畫圖, ,得到得到y(tǒng)= xy= x2 21,y=x1,y=x2 2的圖像的圖像. . x.-2-1012 y=x241014 y=x2+1 8 6 4 2 -2 -4 y -10-5510 xO y=x2 y=x2+1 5 2 1 2 5 函數(shù)函數(shù)y=x2+1的圖象與的圖象與y=x2的的 圖象的位置有什么關(guān)系圖象的位置有什么關(guān)系? 函數(shù)函數(shù)y=x2+1的圖的圖 象可由象可由y=x2的圖的圖 象沿象沿y軸向軸向上上平移平移 1個單位長度得到個單位長度得到. 函數(shù)函數(shù)y=x2+1

4、的圖的圖 象與象與y=x2的圖象的圖象 的形狀相同嗎的形狀相同嗎? 相同相同 1 2 3 4 5x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o-1-2-3-4-5 (1) (1) 拋物線拋物線y=xy=x2 2+1,y=x+1,y=x2 2的開口方向、的開口方向、 對稱軸、頂點各是什么對稱軸、頂點各是什么? ? (2)(2)拋物線拋物線y=xy=x2 2+1 +1 與拋物線與拋物線y=xy=x2 2有什么有什么 關(guān)系關(guān)系? ? 拋物線拋物線y=xy=x2 2+1:+1:開口向上開口向上, , 頂點為頂點為(0,1).(0,1).對稱軸是對稱軸是y y軸軸, , 拋物線拋物線y=xy=x2

5、 2: :開口向上開口向上, , 頂點為頂點為(0, 0(0, 0). ).對稱軸是對稱軸是y y軸軸, , y=xy=x2 2+1+1 y=xy=x2 2 例例2.2.在同一直角坐標系中在同一直角坐標系中, ,畫出二次函數(shù)畫出二次函數(shù)y=xy=x2 2 -2 -2 和和y=xy=x2 2 的圖像 的圖像 解解: :先列表先列表 x x-3-3-2 -2 -1 -10 01 1 2 23 3 y=xy=x2 2 -2 -2 y=xy=x2 2 7 72 2-1 -1-2-2-1 -12 27 7 9 94 41 10 01 14 49 9 然后描點畫圖然后描點畫圖, ,得到得到y(tǒng)= xy= x

6、2 2 -2,y=x -2,y=x2 2的圖像的圖像. . 8 6 4 2 -2 -4 y -10-5510 xO x.-2-1012 y=x241014 y=x2-2 y=x2 y=x2-2 2 -1 -2 -1 2 函數(shù)函數(shù)y=x2-2的圖象的圖象 可由可由y=x2的圖象的圖象 沿沿y軸向軸向下下平移平移2 個單位長度得到個單位長度得到. 函數(shù)函數(shù)y=x2-2的圖象與的圖象與y=x2的的 圖象的位置有什么關(guān)系圖象的位置有什么關(guān)系? 函數(shù)函數(shù)y=x2+1的圖的圖 象與象與y=x2的圖象的圖象 的形狀相同嗎的形狀相同嗎? 相同相同 1 2 3 4 5x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7、 y o-1-2-3-4-5 (1) (1) 拋物線拋物線y=xy=x2 2+1,y=x+1,y=x2 2的開口方向、的開口方向、 對稱軸、頂點各是什么對稱軸、頂點各是什么? ? (2)(2)拋物線拋物線y=xy=x2 2+1 +1 與拋物線與拋物線y=xy=x2 2有什么有什么 關(guān)系關(guān)系? ? 拋物線拋物線y=xy=x2 2+1:+1:開口向上開口向上, , 頂點為頂點為(0,1).(0,1).對稱軸是對稱軸是y y軸軸, , 拋物線拋物線y=xy=x2 2: :開口向上開口向上, , 頂點為頂點為(0, 0(0, 0). ).對稱軸是對稱軸是y y軸軸, , y=xy=x2 2+1+1 y

8、=xy=x2 2 (2)(2)拋物線拋物線y=xy=x2 2+1,y=x+1,y=x2 21 1與拋物線與拋物線y=xy=x2 2的異同點的異同點: : 1 2 3 4 5x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o-1-2-3-4-5 y=xy=x2 2+1+1 拋物線拋物線y=xy=x2 2 拋物線拋物線 y=xy=x2 21 1 向向上上平移平移 1 1個單位個單位 拋物線拋物線y=xy=x2 2 向向下下平移平移 1 1個單位個單位 y=xy=x2 21 1 y=xy=x2 2 拋物線拋物線 y=xy=x2 2+ +1 1 相同點：相同點： 形狀大小相同形狀大小相同 開口方向相

9、同開口方向相同 對稱軸相同對稱軸相同 不同點：不同點： 頂點的位置不同，頂點的位置不同， 拋物線的位置也不拋物線的位置也不 同同 例例3.3.在同一直角坐標系中在同一直角坐標系中, ,畫出二次函畫出二次函 數(shù)數(shù)y=-xy=-x2 2 和和y=-xy=-x2 2 +3 +3， y=-xy=-x2 2 -2 -2的圖像的圖像 函數(shù)函數(shù)y=ax2 (a0)和函數(shù)和函數(shù)y=ax2+c (a0)的圖象形的圖象形 狀狀 ，只是位置不同；當，只是位置不同；當c0時，函數(shù)時，函數(shù)y=ax2+c 的圖象可由的圖象可由y=ax2的圖象向的圖象向 平移平移 個單位得到，個單位得到， 當當c0時，函數(shù)時，函數(shù)y=ax

10、2+c的圖象可由的圖象可由y=ax2的圖象的圖象 向向 平移平移 個單位得到。個單位得到。 4 2 -2 -4 -6 -8 y -10-5510 x O y=-x2-2 y=-x2+3 y=-x2函數(shù)函數(shù)y=-x2-2的圖的圖 象可由象可由y=-x2的圖的圖 象沿象沿y軸向軸向下下平移平移 2個單位長度得到個單位長度得到. 函數(shù)函數(shù)y=-x2+3的圖的圖 象可由象可由y=-x2的圖的圖 象沿象沿y軸向軸向上上平移平移 3個單位長度得到個單位長度得到. 圖象向上移還是向下移圖象向上移還是向下移,移多少個移多少個 單位長度單位長度,有什么規(guī)律嗎有什么規(guī)律嗎? 上加下減上加下減 相同相同 上上c 下

11、下|c| 拋物線拋物線y=axy=ax2 2與與y=axy=ax2 2c c之間的關(guān)系是：之間的關(guān)系是： 形狀大小相同，開口方向相同，對稱軸相同，形狀大小相同，開口方向相同，對稱軸相同， 而頂點位置和拋物線的位置不同而頂點位置和拋物線的位置不同 拋物線之間的平移規(guī)律：拋物線之間的平移規(guī)律：(c0) 拋物線拋物線y=axy=ax2 2 拋物線拋物線 y=axy=ax2 2c c 向向上上平移平移 c c個單位個單位 拋物線拋物線y=axy=ax2 2 向向下下平移平移 c c個單位個單位 拋物線拋物線 y=axy=ax2 2+ +c c (1)函數(shù)函數(shù)y=4x2+5的圖象可由的圖象可由y=4x2

12、的圖象的圖象 向向 平移平移 個單位得到；個單位得到；y=4x2-11的圖象的圖象 可由可由 y=4x2的圖象向的圖象向 平移平移 個單位得到。個單位得到。 （3）將拋物線）將拋物線y=4x2向上平移向上平移3個單位，所得的個單位，所得的 拋物線的函數(shù)式是拋物線的函數(shù)式是 。 將拋物線將拋物線y=-5x2+1向下平移向下平移5個單位個單位,所得的所得的 拋物線的函數(shù)式是拋物線的函數(shù)式是 。 (2)將函數(shù)將函數(shù)y=-3x2+4的圖象向的圖象向 平移平移 個單位可得個單位可得 y=-3x2的圖象；將的圖象；將y=2x2-7的圖象向的圖象向 平移平移 個個 單位得到可由單位得到可由 y=2x2的圖象

13、。將的圖象。將y=x2-7的圖象的圖象 向向 平移平移 個單位可得到個單位可得到 y=x2+2的圖象。的圖象。 上上5 下下11 下下4 上上7 上上9 y=4x2+3 y=-5x2-4 當當a0時，拋物線時，拋物線y=ax2+c的開口的開口 ，對稱軸，對稱軸 是是 ，頂點坐標是，頂點坐標是 ，在對稱軸的左側(cè)，在對稱軸的左側(cè)，y隨隨x的的 增大而增大而 ，在對稱軸的右側(cè)，在對稱軸的右側(cè),y隨隨x的增大而的增大而 ， 當當x= 時，取得最時，取得最 值，這個值等于值，這個值等于 ； 當當a0a0 開口方向開口方向 頂點坐標頂點坐標 對稱軸對稱軸 增增 減減 性性 極值極值 向上向上向下向下 (0

14、 ,c) (0 ,c) y軸y軸 當當x0時，時， y隨著隨著x的增大而增大。的增大而增大。 當當x0時，時， y隨著隨著x的增大而減小。的增大而減小。 x=0時,y最小=0 x=0時,y最大=0 拋物線y=ax2 +c (a0)的圖象可由y=ax2的圖象通過上 下平移得到. （4）拋物線）拋物線y=-3x2+5的開口的開口 ，對稱軸是，對稱軸是 ， 頂點坐標是頂點坐標是 ，在對稱軸的左側(cè)，在對稱軸的左側(cè)，y隨隨x的增大的增大 而而 ，在對稱軸的右側(cè)，在對稱軸的右側(cè)，y隨隨x的增大而的增大而 ， 當當x= 時，取得最時，取得最 值，這個值等于值，這個值等于 。 6.二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+

15、c (a0)的圖象經(jīng)過點的圖象經(jīng)過點A（1，-1），），B （2，5），則函數(shù)），則函數(shù)y=ax2+c的表達式為的表達式為 。若。若 點點C(-2,m),D（n ,7）也在函數(shù)的圖象上，則點）也在函數(shù)的圖象上，則點C的坐的坐 標為標為 點點D的坐標為的坐標為 . （5）拋物線）拋物線y=7x2-3的開口的開口 ，對稱軸是，對稱軸是 ， 頂點坐標是頂點坐標是 ，在對稱軸的左側(cè)，在對稱軸的左側(cè)，y隨隨x的增大的增大 而而 ，在對稱軸的右側(cè)，在對稱軸的右側(cè)，y隨隨x的增大而的增大而 ， 當當x= 時，取得最時，取得最 值，這個值等于值，這個值等于 。 下下y軸軸 (0,5) 減小減小 增大增大 0大

16、大 5 上上y軸軸 (0,-3) 減小減小 增大增大 0 小小 -3 y=2x2-3 (-2,5) )7 ,5()7 ,5( 或或 說出下列二次說出下列二次 函數(shù)的開口方向、函數(shù)的開口方向、 對稱軸及頂點坐標對稱軸及頂點坐標 (1) y=5x2 (2) y=-3x2 +2 (3) y=8x2+6 (4) y= -x2-4 向上，向上，y軸軸 （0, 0) 向下，向下，y軸軸 （0, 2) 向上，向上，y軸軸 （0, 6) 向下，向下，y軸軸 （0, - 4) 3 3、按下列要求求出拋物線的解析式：、按下列要求求出拋物線的解析式： （1 1）拋物線）拋物線y=axy=ax2 2c c形狀與形狀與

17、y=-2xy=-2x2 2+3+3 的圖象形狀相同，但開口方向不同，頂?shù)膱D象形狀相同，但開口方向不同，頂 點坐標是（點坐標是（0 0，1 1）, ,求拋物線的解析式。求拋物線的解析式。 （2 2）拋物線）拋物線y=axy=ax2 2c c對稱軸是對稱軸是y y軸，頂軸，頂 點（點（0 0，-3-3），且經(jīng)過（），且經(jīng)過（1 1，2 2），求拋），求拋 物線的解析式物線的解析式. . (1)已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=3x2+4,點點A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4)在其圖象上在其圖象上,且且x2 x40, 0 x3|x1|, |x3|x4|, 則則 (

18、 ) x1x2x3x4 y1 y4 y3 y2 A.y1y2y3y4 B.y2y1y3y4 C.y3y2y4y1 D.y4y2y3y1 B x2 x1 B A o y x （2）已知二次）已知二次函數(shù)函數(shù)y=ax2+c ，當，當x取取x1,x2(x1 1x2, x1,x2分別是分別是A,B兩點的橫坐標兩點的橫坐標)時，函數(shù)值相等，時，函數(shù)值相等， 則當則當x取取x1 1+ +x2時，函數(shù)值為時，函數(shù)值為 （ ） A. a+c B. a-c C. c D. c D )0(a x a A o y x C o y x B o y x D o y x (3) 函數(shù)y=ax2-a與y= 在同一直角坐標系中的圖象可能是 （ ）A 3.05m