高等數(shù)學：D7_4一階線性微分方程

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 一階線性微分方程 第四節(jié) 一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程 *二、伯努利方程二、伯努利方程 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程 一階線性微分方程標準形式:)()( d d xQyxP x y 若 Q(x) 0, 0)( d d yxP x y 若 Q(x) 0, 稱為非齊次方程非齊次方程 . 1. 解齊次方程 分離變量 xxP y y d)( d 兩邊積分得CxxPylnd)(ln 故通解為 xxP Cy d)( e 稱為齊次方程齊次方程 ; 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xxP Cy d)( e 對應齊次方程通

2、解 齊次方程通解非齊次方程特解 xxP C d)( e 2. 解非齊次方程)()( d d xQyxP x y 用常數(shù)變易法常數(shù)變易法:,e)()( )( xxP xuxy d 則 xxP u d)( e)(xP xxP u d)( e)(xQ 故原方程的通解 xxQ xxPxxP de)(e d)(d)( CxxQy xxPxxP de)(e d)(d)( y 即 即 作變換 xxP uxP d)( e)( xxP xQ x ud)( e)( d d CxxQu xxP de)( d)( 兩端積分得 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 解方程 .) 1( 1 2 d d 2 5 x x

3、y x y 解解: 先解 ,0 1 2 d d x y x y 即 1 d2d x x y y 積分得,ln1ln2lnCxy即 2 ) 1( xCy 用常數(shù)變易法常數(shù)變易法求特解. ,) 1()( 2 xxuy則 ) 1(2) 1( 2 xuxuy 代入非齊次方程得 2 1 ) 1( xu 解得Cxu 2 3 ) 1( 3 2 故原方程通解為 Cxxy 2 3 2 ) 1( 3 2 ) 1( 令 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0 例例2. 有一電路如圖所示, ,sintEE m 電動勢為 電阻 R 和電 . )(ti L E R Q 解解: 列方程 .

4、已知經過電阻 R 的電壓降為R i 經過 L的電壓降為 t i L d d 因此有 ,0 d d iR t i LE即 L tE i L R t i m sin d d 初始條件: 0 0 t i 由回路電壓定律: 其中電源 求電流感 L 都是常量, 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解方程: L tE i L R t i m sin d d 0 0 t i CxxQey xxPxxP d d)(d)( e)( 由初始條件: 0 0 t i得 222 LR LE C m )(ti t L R d e t L Em sin t L R m CtLtR LR E e)cossin( 222 t t L

5、 R de d C 利用一階線性方程解的公式可得 L E R Q 目錄 上頁 下頁 返回 結束 t L R m LR LE ti e)( 222 )cossin( 222 tLtR LR Em t L R m LR LE ti e)( 222 )sin( 222 t LR Em 暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流 則令,arctan R L 因此所求電流函數(shù)為 解的意義: L E R Q 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0d 2d 3 y y x yyx x 例例3. 求方程的通解 . 解解: 注意 x, y 同號,d2 d , 0,x x x yx此時不妨設 yy x y x2 d d 2 y yP 2 1 )

6、( y yQ 1 )( 由一階線性方程通解公式通解公式 , 得 ex y y 2 d e 1 ( y y y 2 d 故方程可變形為 y y 1 y 1 lndCy 所求通解為 )0(eCCy y x y C yln 這是以 x為因變量 y 為自變量的一階 線性方程 Cylnd)0(C 目錄 上頁 下頁 返回 結束 *二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的標準形式: )1,0()()( d d nyxQyxP x y n n y以 )()( d d 1 xQyxP x y y nn 令, 1 n yz x y yn x z n d d )1 ( d d 則 )(

7、)1 ()()1 ( d d xQnzxPn x z 求出此方程通解后, 除方程兩邊 , 得 換回原變量即得伯努利方程的通解. 解法解法: (線性方程) 伯努利 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 求方程 2 )ln( d d yxa x y x y 的通解. 解解: 令, 1 yz 則方程變形為 xa x z x z ln d d 其通解為ez 將 1 yz 1)ln( 2 2 x a Cxy x x d 1 exa)ln( x x d 1 Cx d 2 )ln( 2 x a Cx 代入, 得原方程通解: 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結 1. 一階線性方程)()( d d

8、 xQyxP x y 方法1 先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法. 方法2 用通解公式 CxxQy xxPxxP de)(e )()(dd , 1 n yu 令 化為線性方程求解. 2. 伯努利方程 n yxQyxP x y )()( d d )1,0(n 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 注意用變量代換將方程化為已知類型的方程 例如, 解方程 yxx y 1 d d yx y x d d , yxu, xuy 1 d d d d x u x y 法法1. 取 y 作自變量: 線性方程 法法2. 作變換 則 代入原方程得 , 1 1 d d ux u u u x u1 d d 可分離變量方程

9、目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習 判別下列方程類型: x y yxy x y x d d d d ) 1( )ln(ln d d )2(xyy x y x 0d2d)()3( 3 yxxxy 0d)(d2)4( 3 yxyxy yxxyxydd)2ln()5( 提示提示: x x y y yd d 1 可分離 變量方程 x y x y x y ln d d 齊次方程 22 1 d d 2 x y xx y 線性方程 22 1 d d 2 y x yy x 線性方程 2 ln2 d d y x x y xx y 伯努利 方程 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P315 1 (3)

10、, (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ; *8 (1) , (3) , (5) 作業(yè) 第五節(jié) 習題課1 目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題 1. 求一連續(xù)可導函數(shù) )(xf使其滿足下列方程: ttxfxxf x d)(sin)( 0 提示提示: 令 txu uufxxf x d)(sin)( 0 則有 xxfxfcos)()( 0)0(f 線性方程 )esin(cos 2 1 )( x xxxf 利用公式可求出 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 設有微分方程, )(xfyy 其中 )(xf 10,2 x 1,0 x 試求此方程滿足初始條件0 0 x y 的連續(xù)解. 解解:

11、1) 先解定解問題 10, 2xyy 0 0 x y 利用通解公式, 得 x y d e 1 d de2Cx x )e2(e 1 C xx x C e2 1 利用0 0 x y得2 1 C 故有) 10(e22 xy x 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2) 再解定解問題 1,0 xyy 1 1 e22) 1 ( yy x 此齊次線性方程的通解為 ) 1(e 2 xCy x 利用銜接條件得) 1(e2 2 C 因此有 ) 1(e) 1(e2 xy x 3) 原問題的解為 y 10),e1 (2 x x 1,e) 1(e2 x x ) 10(e22 xy x ( 雅各布第一 伯努利 ) 書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用, 伯努利伯