微積分學(xué)：第七章 無窮級數(shù)(1)

1、1 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) ( 1 ) 2 公元前五世紀(jì)公元前五世紀(jì),以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno)用他用他 的無窮、連續(xù)以及部分和的知識的無窮、連續(xù)以及部分和的知識,引發(fā)出以下著名的悖論：引發(fā)出以下著名的悖論： 如果讓阿基里斯如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜和烏龜 之間舉行一場賽跑之間舉行一場賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始米開始,假定阿假定阿 基里斯能夠跑得比烏龜快基里斯能夠跑得比烏龜快10倍倍,也永遠(yuǎn)也追不上烏龜也永遠(yuǎn)也追不上烏龜.齊諾的理齊諾的理 論依據(jù)是：當(dāng)

2、比賽開始的時(shí)候論依據(jù)是：當(dāng)比賽開始的時(shí)候,阿基里斯跑了阿基里斯跑了1000米米,此時(shí)烏龜此時(shí)烏龜 仍然前于他仍然前于他100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個(gè)米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個(gè)100米時(shí)米時(shí),烏龜仍然前烏龜仍然前 于他于他10米米, 如此分析下去如此分析下去, ,顯然阿基里斯離烏龜越來越近顯然阿基里斯離烏龜越來越近, ,但卻是永遠(yuǎn)但卻是永遠(yuǎn) 也追不上烏龜?shù)囊沧凡簧蠟觚數(shù)? .這個(gè)結(jié)論顯然是這個(gè)結(jié)論顯然是荒謬荒謬的的, ,但奇怪的是但奇怪的是, ,這種推理這種推理 在邏輯上卻沒有任何毛病在邏輯上卻沒有任何毛病. .那么那么, ,問題究竟出在哪兒呢？問題究竟出在哪兒呢？ 齊諾悖論齊諾悖論阿基里斯與烏龜

3、阿基里斯與烏龜 3 第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)的概念和性質(zhì) 無窮級數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分無窮級數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分, , 它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值 計(jì)算的一種工具計(jì)算的一種工具. . 一、無窮級數(shù)的概念一、無窮級數(shù)的概念 計(jì)算圓的面積計(jì)算圓的面積 R 正六邊形的面積正六邊形的面積 正十二邊形的面積正十二邊形的面積 1 a 21 aa 正正 形的面積形的面積 n 23 n aaa 21 n aaaA 21 即即 4 1 1、級數(shù)的定義：、級數(shù)的定義： n n n uuuuu 321 1 (常數(shù)項(xiàng)

4、常數(shù)項(xiàng))無窮級數(shù)無窮級數(shù) n i inn uuuuS 1 21 級數(shù)的級數(shù)的前前 n 項(xiàng)部分和數(shù)列項(xiàng)部分和數(shù)列 , 11 uS , 212 uuS , 3213 uuuS , 21nn uuuS 一般項(xiàng)一般項(xiàng) 5 2 2、級數(shù)的收斂與發(fā)散：、級數(shù)的收斂與發(fā)散： 對對于于級級數(shù)數(shù) 1n n u, ,如如果果它它的的前前 n 項(xiàng)項(xiàng)部部分分和和數(shù)數(shù)列列 n S收收斂斂 如如果果數(shù)數(shù)列列 n S沒沒有有極極限限, ,則則稱稱該該無無窮窮級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散. . 即即 SSn n lim, , Su n n 1 定義定義 (設(shè)極限為設(shè)極限為S ) , 則稱則稱該該無窮級數(shù)無窮級數(shù)收斂收斂, , 且稱且稱

5、S 為該為該級數(shù)級數(shù)的的和和，并，并記為記為 6 若若級級數(shù)數(shù) 1n n u收收斂斂，則則其其部部分分和和 n S可可以以看看作作 1n n u的的近近似似值值， 因此稱因此稱 111nm m n m m n nnn uuuSSR 為這個(gè)級數(shù)的為這個(gè)級數(shù)的余項(xiàng)余項(xiàng)， 并稱并稱| n R為用為用 n S去代替去代替 S 所產(chǎn)生的所產(chǎn)生的誤差誤差(或或余項(xiàng)余項(xiàng)) Su n n 1 7 解解 )12)(12( 1 nn un, ) 12 1 12 1 ( 2 1 nn )12()12( 1 53 1 31 1 nn Sn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1

6、 1( 2 1 nn ) 12 1 1( 2 1 n . 2 1 , 且和為且和為級數(shù)收斂級數(shù)收斂 ,)( 2 1 n 例例1 1 討論無窮級數(shù)討論無窮級數(shù) )12()12( 1 53 1 31 1 nn 的收斂性的收斂性. . 8 討討論論級級數(shù)數(shù) 1 ) 1 1ln( n n 的的斂斂散散性性. . nnln) 1ln( , 所所以以 解解 例例2 2 ) 1 1ln( n un )1ln( n nnSnln) 1ln(2ln3ln1ln2ln n 所以級數(shù)發(fā)散所以級數(shù)發(fā)散. . 9 解解，如如果果1 q 12 n n aqaqaqaS， q aqa n 1 ,1|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q0lim n

7、 n q q a Sn n 1 lim ,1|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q n n qlim n n Slim 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散 例例3 3 討論等比級數(shù)討論等比級數(shù)( (幾何級數(shù)幾何級數(shù)) ) 12 1 1n n n aqaqaqaaq)0( a 的收斂性的收斂性. . 10 ，如如果果1| q ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q naSn 發(fā)散發(fā)散 aaaa級級數(shù)數(shù)變變?yōu)闉?,lim 不不存存在在 n n S 發(fā)散發(fā)散 綜上所述綜上所述, , q a 1 發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng) 收收斂斂當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 時(shí)時(shí) ,1| ,1| 1 1 q q aq n n 12 1 1n n n aqaqaqaaq )0( a 11 公

8、元前五世紀(jì)公元前五世紀(jì),以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno)用他用他 的無窮、連續(xù)以及部分和的知識的無窮、連續(xù)以及部分和的知識,引發(fā)出以下著名的悖論：引發(fā)出以下著名的悖論： 如果讓阿基里斯如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜和烏龜 之間舉行一場賽跑之間舉行一場賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始米開始,假定阿假定阿 基里斯能夠跑得比烏龜快基里斯能夠跑得比烏龜快10倍倍,也永遠(yuǎn)也追不上烏龜也永遠(yuǎn)也追不上烏龜.齊諾的理齊諾的理 論依據(jù)是：當(dāng)比賽開始的時(shí)候論依據(jù)是：當(dāng)比賽開始的時(shí)候,阿基里斯跑了

9、阿基里斯跑了1000米米,此時(shí)烏龜此時(shí)烏龜 仍然前于他仍然前于他100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個(gè)米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個(gè)100米時(shí)米時(shí),烏龜仍然前烏龜仍然前 于他于他10米米, 如此分析下去如此分析下去, ,顯然阿基里斯離烏龜越來越近顯然阿基里斯離烏龜越來越近, ,但卻是永遠(yuǎn)但卻是永遠(yuǎn) 也追不上烏龜?shù)囊沧凡簧蠟觚數(shù)? .這個(gè)結(jié)論顯然是這個(gè)結(jié)論顯然是荒謬荒謬的的, ,但奇怪的是但奇怪的是, ,這種推理這種推理 在邏輯上卻沒有任何毛病在邏輯上卻沒有任何毛病. .那么那么, ,問題究竟出在哪兒呢？問題究竟出在哪兒呢？ 齊諾悖論齊諾悖論阿基里斯與烏龜阿基里斯與烏龜 12 如果我們從級數(shù)的角度來分析這個(gè)問

10、題如果我們從級數(shù)的角度來分析這個(gè)問題, ,齊諾的這個(gè)悖論齊諾的這個(gè)悖論 就會不攻自破就會不攻自破. . 設(shè)設(shè)烏烏龜龜?shù)牡乃偎俣榷葹闉関, ,則則阿阿基基里里斯斯的的速速度度為為1 10 0v, ,他他跑跑完完1 10 00 00 0米米所所化化 的的時(shí)時(shí)間間為為 vv 100 10 1000 , ,在在這這段段時(shí)時(shí)間間里里, ,烏烏龜龜又又爬爬了了100 100 v v米米, , 阿阿基基里里斯斯為為跑跑完完這這段段路路又又花花費(fèi)費(fèi)時(shí)時(shí)間間 vv 10 10 100 , ,此此時(shí)時(shí)烏烏龜龜又又在在他他前前面面 1 10 0 米米處處, , ,依依次次類類推推, ,阿阿基基里里斯斯需需要要追追趕

11、趕的的全全部部路路程程為為 101001000 這這是是一一個(gè)個(gè)公公比比為為1 10 1 q的的幾幾何何級級數(shù)數(shù), ,易易求求得得它它的的和和為為 ， 9 1 1111 9 10000 10 1 1 1000 13 也就是說也就是說, ,如果賽程比這個(gè)距離短如果賽程比這個(gè)距離短, ,則烏龜勝；如果賽程恰好則烏龜勝；如果賽程恰好 等于這個(gè)距離等于這個(gè)距離, ,則雙方平分秋色； 否則則雙方平分秋色； 否則, ,阿基里斯就要在距離起點(diǎn)阿基里斯就要在距離起點(diǎn) 9 1 1111處追上并超過烏龜處追上并超過烏龜. . ， 9 1 1111 9 10000 10 1 1 1000 14 把循環(huán)小數(shù)把循環(huán)小數(shù)

12、232323. 0表示成分?jǐn)?shù)表示成分?jǐn)?shù) 解解 例例4 4 232323. 0 32 100 23 100 23 100 23 (公公比比為為 100 1 的的等等比比級級數(shù)數(shù),收收斂斂) 100 1 1 100 23 . 99 23 15 二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 設(shè)設(shè) k 是非零常數(shù)是非零常數(shù), 則級數(shù)則級數(shù) 1n n a與級數(shù)與級數(shù) 1n n ak具有相具有相 同的斂散性，且當(dāng)同的斂散性，且當(dāng) 1n n a收斂時(shí)，等式收斂時(shí)，等式 11n n n n akak成立成立 性質(zhì)性質(zhì)1 證證 設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù) 1n n a收收斂斂, 且且Sa n n 1 , 又又設(shè)設(shè) 1n n

13、a與與 1n n ak的的部部分分和和分分別別為為 nn S 及及， n i in ak 1 n i i ak 1 , n Sk n n n n Sk limlim ,limSkSk n n 16 n i in ak 1 n i i ak 1 , n Sk n n n n Sk limlim ,limSkSk n n 所以級數(shù)所以級數(shù) 1n n ak收斂，且收斂，且 11n n n n akak 反之，若反之，若 1n n ak收斂（收斂（0 k） ， 則則 11 1 n n n n aak k 也收斂也收斂 17 設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù) 1n n a、 1n n b及及 1 )( n nn ba的部分

14、和分別為的部分和分別為 nnn BA 及及,， 如如果果級級數(shù)數(shù) 1n n a、 1n n b都都收收斂斂, ,則則 1 )( n nn ba .)( 111 n n n n n nn baba也收斂也收斂, ,且有且有 性質(zhì)性質(zhì)2 證證 且且 ,lim,limBBAA n n n n n i iin ba 1 )( n i i n i i ba 11 n n lim)(lim nn n BA ,limlimBABA n n n n .)( 111 n n n n n nn baba此此即即 , nn BA 18 說明：說明： (1) (1) 不能由不能由 1 )( n nn ba收斂推出收斂

15、推出 1n n a、 1n n b收斂；收斂； (2) (2) 若若 1n n a收斂收斂, ,而而 1n n b發(fā)散發(fā)散, ,則則 1 )( n nn ba必發(fā)散必發(fā)散. . 證證假假設(shè)設(shè) 1 )( n nn ba收收斂斂, , 由由 nnnn abab )(, , 而而已已知知 1n n a收收斂斂, , 由由上上述述性性質(zhì)質(zhì)得得 1n n b收收斂斂, , 矛盾矛盾. . 所以所以 1 )( n nn ba 發(fā)散發(fā)散. . 19 性質(zhì)性質(zhì)3 去掉、添加或改變級數(shù)中的有限項(xiàng)去掉、添加或改變級數(shù)中的有限項(xiàng), ,不會影不會影 響它的斂散性響它的斂散性. . 這是因?yàn)?，這是因?yàn)?，去掉、添加或改?/p>

16、級數(shù)中的有限項(xiàng)去掉、添加或改變級數(shù)中的有限項(xiàng) 后所得數(shù)列的部分和數(shù)列與原級數(shù)的部分和數(shù)列只后所得數(shù)列的部分和數(shù)列與原級數(shù)的部分和數(shù)列只 相差一個(gè)常數(shù)，所以具有相同的斂散性。相差一個(gè)常數(shù)，所以具有相同的斂散性。 注意：注意：原原級數(shù)級數(shù)若若收斂收斂，則，則改變級數(shù)中的有限項(xiàng)改變級數(shù)中的有限項(xiàng)后，后， 一般要改變它的和一般要改變它的和. . 20 性質(zhì)性質(zhì)4若若級級數(shù)數(shù) 1n n a收收斂斂, ,則則必必有有0lim n n a. . 證證 , 1 nnn SSa )(limlim 1 nn n n n SSaSS .0 1 limlim n n n n SS 設(shè)設(shè) 1n n a的的部部分分和和數(shù)

17、數(shù)列列為為 n S，且且SSn n lim， 此此定定理理說說明明，0lim n n a是是級級數(shù)數(shù) 1n n a收收斂斂的的必必要要條條件件. . 21 說明說明： 1 1、如果級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零、如果級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零, ,則級數(shù)發(fā)散；則級數(shù)發(fā)散； 1 )1( 4 3 3 2 2 1 1 n n n 例例如如 級數(shù)級數(shù)發(fā)散；發(fā)散；,0 n a所以所以,1| n a n 2 cos 8 cos 4 cos 2 cos ，再再如如 ,01 2 coslim n 級數(shù)級數(shù)發(fā)散。發(fā)散。 若若級級數(shù)數(shù) 1n n a收收斂斂, ,則則必必有有0lim n n a. . 22 2 2、必要條件不充分

18、：、必要條件不充分： 若若0lim n n a, ,級數(shù)卻不一定收斂級數(shù)卻不一定收斂. . 再舉一個(gè)重要例子：再舉一個(gè)重要例子： 1 1 3 1 2 1 1 1 n nn , , 0 1 lim n n , ,但但級級數(shù)數(shù)是是否否收收斂斂? ? 如如 1 ) 1 1ln( n n : : , )(0) 1 1ln( n n 但級數(shù)發(fā)散。但級數(shù)發(fā)散。 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) 23 討論討論 nnn SS nn 2 1 2 1 1 1 2 n n 2 ）（ nn n SS 2 limSS ,0 , 2 1 0 便有便有 于是于是 矛盾，矛盾， 1 1 3 1 2 1 1 1 n nn , , 調(diào)和級數(shù)調(diào)

19、和級數(shù) , 2 1 假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂，其和為假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂，其和為 S ， 所以級數(shù)發(fā)散。所以級數(shù)發(fā)散。 24 1 1. . 0 ) 4 5 3 1 ( n nn 6 49 . . 例例5 5 判斷下列級數(shù)的斂散性：判斷下列級數(shù)的斂散性： 因?yàn)橐驗(yàn)? 3 1 0 n n 0 4 1 n n 都收斂，都收斂， 故原級數(shù)收斂，故原級數(shù)收斂，解解 且和為且和為 0 ) 4 5 3 1 ( n nn 00 4 1 5 3 1 n n n n 4 1 1 5 3 1 1 1 25 2 2. . 1 100 5 1 10321 n n 3 3. . n2 1 6 1 4 1 2 1 1 1 2 1 n

20、n 收斂；收斂； 發(fā)散。發(fā)散。 例例5 5 判斷下列級數(shù)的斂散性：判斷下列級數(shù)的斂散性： 26 第二節(jié)第二節(jié) 正項(xiàng)級數(shù)及其判別法正項(xiàng)級數(shù)及其判別法 1 1、定義：、定義：，中中各各項(xiàng)項(xiàng)均均有有如如果果級級數(shù)數(shù)0 1 n n n aa 這種級數(shù)稱為這種級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù). . 2 2、正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件：、正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件： 定理定理 一、正項(xiàng)級數(shù)的收斂問題一、正項(xiàng)級數(shù)的收斂問題 正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)收收斂斂的的充充分分必必要要條條件件是是它它的的部部分分和和 數(shù)數(shù)列列 n S有有上上界界. . 這這是是因因?yàn)闉? n a, ,所所以以 n S單單調(diào)調(diào)不不減減, ,因因此此它它有有極

21、極限限當(dāng)當(dāng) 且且僅僅當(dāng)當(dāng)它它有有上上界界. . 27 且且), 2, 1( nba nn , 證明證明 , 1 n k kn aA設(shè)設(shè) , nn ba . 1 也收斂也收斂從而從而 n n a 均均為為正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11n n n n ba 則則 ( (1 1) ) 若若 1n n b收收斂斂, ,則則 1n n a收收斂斂； ( (2 2) ) 若若 1n n a發(fā)發(fā)散散，則則 1n n b發(fā)發(fā)散散. . 定理定理 , 1 n k kn bB , nn BA (1)(1) ), 2 , 1( n 因?yàn)橐驗(yàn)?1n n b收斂，所以收斂，所以 n B有上界有上界 M， , MBA

22、nn 所所以以 n A也也有有上上界界 M， 二、比較判別法二、比較判別法 28 (2)是是(1)的等價(jià)命題的等價(jià)命題. 從某項(xiàng)起從某項(xiàng)起, ,恒有恒有 nn bka , ,)0( k. . 注注：定理的條件可放寬為：定理的條件可放寬為： 且且), 2, 1( nba nn , 證明證明 均均為為正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11n n n n ba 則則 ( (1 1) ) 若若 1n n b收收斂斂, ,則則 1n n a收收斂斂； ( (2 2) ) 若若 1n n a發(fā)發(fā)散散，則則 1n n b發(fā)發(fā)散散. . 定理定理 二、比較判別法二、比較判別法 29 判斷級數(shù)判斷級數(shù) 1 2 1 s

23、in n n 的收斂性的收斂性. . 因因?yàn)闉?nn 2 1 2 1 sin0 , , 而而 1 2 1 n n 收斂收斂, , 解解 例例1 1 所以原級數(shù)收斂所以原級數(shù)收斂. . , |sin|xx Rx 30 討論討論 p- -級數(shù)級數(shù) 1 1 n p n 的收斂性的收斂性( (0 p).). o y x )1( 1 p x y p 1234 當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí), , 而而調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù) 1 1 n n 發(fā)發(fā)散散, , 當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí), ,用用積積分分判判別別法法： 當(dāng)當(dāng)nxn 1時(shí)時(shí), , pp xn 11 , , n n pp n x n 1 d1 n n p x x 1 d 解解 例

24、例2 2 ， nn p 11 故原級數(shù)發(fā)散；故原級數(shù)發(fā)散； 于是有于是有 31 故故當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí), , 1 1 n p n 收斂收斂. . n n pp n x n 1 d1 n n p x x 1 d 所以所以 n k k k p n k p x xk 2 1 2 d 11 x x n p d 1 1 ) 1 1( 1 1 1 p np , 1 1 p 于是于是, 1 1 1 1 1 pk S n k p n 32 總結(jié)總結(jié): : 發(fā)散發(fā)散 收斂收斂 10 1 1 1 p p n n p 重要參考級數(shù)：重要參考級數(shù)：幾何級數(shù)幾何級數(shù), , p- -級數(shù)級數(shù), , 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù). . 比

25、較：比較： 發(fā)散發(fā)散 收斂收斂 ， ， 10 1 d 1 1 p p x x p 33 因因?yàn)闉?nn 1 1 1 , , 而而 2 1 n n 發(fā)發(fā)散散, , （但但 2 1 1 n n 如如何何？） 因因?yàn)闉?22 1 1 1 nn , , 而而 1 2 1 n n 收收斂斂, , （但但 2 2 1 1 n n 如如何何？） 解解 例例3 3 2 1 1 n n 例例4 4 1 2 1 1 n n 解解 所以原級數(shù)發(fā)散。所以原級數(shù)發(fā)散。 所以原級數(shù)收斂。所以原級數(shù)收斂。 34 設(shè)設(shè)N ，當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí)，恒恒有有0 n a、0 n b，則則 (1) 若若 0lim c b a n n n

26、，則則正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù) 1n n a與與 1n n b同同斂斂散散； (2) 若若0lim n n n b a ，則當(dāng)，則當(dāng) 1n n b收斂時(shí)，收斂時(shí)， 1n n a也收斂；也收斂； (3) 若若 n n n b a lim，則當(dāng)，則當(dāng) 1n n b發(fā)散時(shí)，發(fā)散時(shí)， 1n n a也發(fā)散也發(fā)散. 比較判別法的極限形式：比較判別法的極限形式： 證略證略 35 而而 2 1 n n 發(fā)散發(fā)散, , 例例5 5 1 1 1 n n ，1 1 1 1 lim nn n 例例6 6 2 2 1 1 n n ，1 1 1 1 lim 22 nn n 例例7 7 1 2 1 1 n n n ，1 1 1 1

27、 lim 2 n n n n 例例8 8 1 2 ) 1 1ln( n n ，1 1 ) 1 1ln(lim 22 nn n 所以原級數(shù)發(fā)散。所以原級數(shù)發(fā)散。 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散 收斂收斂 36 常用等價(jià)無窮?。撼Ｓ玫葍r(jià)無窮小：,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x ,sinxx ,)1ln(xx ,tanxx )0(1)1 ( xx ,1ex x , 2 1 cos1 2 xx ,arcsinxx ,arctanxx 37 例例9 9 解解 設(shè)設(shè)常常數(shù)數(shù)0 p, ,試試判判別別級級數(shù)數(shù) 1 1 ln n p p n n 的的斂斂散散性性。 1 11 lnlim pp p n nn n 所以所以原原級數(shù)級數(shù)當(dāng)當(dāng)1 p

28、時(shí)時(shí)收斂收斂，當(dāng)當(dāng)10 p 時(shí)時(shí)發(fā)散發(fā)散。 例例1010 1 )cos1( n n 2 1 )cos1(lim nn n 2 2 1 )( 2 1 lim nn n , 2 2 解解 0,)1ln( xxx 0, 2 1 cos1 2 xxx 所以原級數(shù)收斂。所以原級數(shù)收斂。 而級數(shù)而級數(shù) 3 2 1 n n 收斂收斂， 38 例例1111 解解,2 1 )1e (lim 2 n n n 而而級級數(shù)數(shù) 3 1 n n 發(fā)發(fā)散散， 0,1e xx x 所以原級數(shù)發(fā)散。所以原級數(shù)發(fā)散。 3 2 )1e ( n n 39 例例1212 解解 2/32 1ln lim nn n n 而級數(shù)而級數(shù) 3

29、2/3 1 n n 收斂，收斂， 所以原級數(shù)收斂。 所以原級數(shù)收斂。 2 2 ln n n n 2/1 ln lim n n n ,0 40 而而 1 3 1 n n 收斂收斂, , 例例1313 1 3 1 n n n ，1 3 1 3 1 lim nn n n nn n n3 1 3 1 lim n n n n 3 3 lim n nn 3 1 1 lim n n n 3 lim x x x 3 lim 3ln3 1 lim x x .0 .1 所以原級數(shù)收斂。所以原級數(shù)收斂。 41 討討論論 2 1 n n an 的的斂斂散散性性)0( a. . ( (1 1) ) 當(dāng)當(dāng)1 a時(shí)時(shí), ,

30、 而而 2 1 n n a 收收斂斂, , (2) (2) 當(dāng)當(dāng)10 a時(shí)時(shí), , 例例1414 解解，1 11 lim nn n aan ,1 11 lim n an n n 所以原級數(shù)收斂。所以原級數(shù)收斂。 所以原級數(shù)發(fā)散。所以原級數(shù)發(fā)散。 42 試試證證：均均收收斂斂與與設(shè)設(shè)正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù), 11 n n n n vu 證證 11 均均收收斂斂，與與 n n n n vu , ) 1 ( 2 1 2 n u n u n n , )( 2 1 nnnn vuvu 收收斂斂。 1 n n n u 例例1515 ，收斂收斂 1 2 1 n n 由基本不等式由基本不等式 ，收斂收斂且已知且已知

31、 1 n n u . 1 收斂收斂 n nnv u , )( 1 收收斂斂 n n n vu 也也收收斂斂。收收斂斂， 11n n n nn n u vu 43 三、比值判別法三、比值判別法 (達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾 DAlembert 判別法判別法) 設(shè)設(shè) 1n n a是是正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù), , 若若 n n n a a 1 lim, ,則則 （1 1）當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí)，級級數(shù)數(shù)收收斂斂； （2 2）當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí)，級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散； （3 3）當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí)，此此法法不不能能確確定定級級數(shù)數(shù)收收斂斂性性. . , 1 1 發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù) n n , 1 1 2 收收斂斂級級數(shù)數(shù) n n 1 證略證略.

32、 . 44 ! 1 )!1( 1 limlim 1 n n a a n n n n 因?yàn)橐驗(yàn)?1 1 lim n n 0 例例16 16 判別級數(shù)下列級數(shù)的斂散性判別級數(shù)下列級數(shù)的斂散性 1 ! 1 )1( n n 1 2 )2( n n n n n a a n n n n n n 2 2 1 limlim 1 1 因?yàn)橐驗(yàn)?n n n 1 lim 2 1 所以級數(shù)收斂所以級數(shù)收斂. . 解解 解解 ,1 2 1 ,1 所以級數(shù)收斂所以級數(shù)收斂. . 45 n n n n n n n n n n n n a a! 3 )1( ! )1(3 limlim 1 1 1 因?yàn)橐驗(yàn)?n n n n n

33、 )1( 3 lim e 3 1 ! 3 )3( n n n n n 所以級數(shù)發(fā)散所以級數(shù)發(fā)散. . 解解 ,1 n n n ) 1 1( 3 lim n n n n n n n n n n n n a a! 2 )1( ! )1(2 limlim 1 1 1 因?yàn)橐驗(yàn)?n n n n n )1( 2 lim e 2 1 ! 2 )4( n n n n n 所以級數(shù)收斂所以級數(shù)收斂. . 解解 n n n ) 1 1( 2 lim ,1 46 1 ) 1 1( 1 2 lim n n nn n 解解 練習(xí)：練習(xí)： 1 1 ! )1( n n n n 12 ! )1( )1( ! )2( lim

34、 nn n n n n n n n n a a 1 lim e 2 所以級數(shù)收斂所以級數(shù)收斂. . ,1 47 n n n n n n n n n n n n a a! e )1( ! )1(e limlim 1 1 1 n n n n n )1( e lim e e 1 ! e )5( n n n n n 收斂？收斂？ 解解 ,1 n n n ) 1 1( e lim n n n n n n a a )1( e 1 n n ) 1 1( e ,1 , 1nn aa 故通項(xiàng)不趨于故通項(xiàng)不趨于0， 所以級數(shù)發(fā)散所以級數(shù)發(fā)散 48 實(shí)際上實(shí)際上, ,且和為且和為 2 1 S. . 1 )12)(1

35、2( 1 )6( n nn 解解 )32)(12( )12)(12( limlim 1 nn nn a a n n n n 所以用比值法無法判斷所以用比值法無法判斷. . 用比較法用比較法, ,， 4 11 )12)(12( 1 lim 2 nnn n ,1 而級數(shù)而級數(shù) 1 2 1 n n 收斂，收斂， 所以原級數(shù)收斂。所以原級數(shù)收斂。 49 假假設(shè)設(shè)0 , ,討討論論 1 1 n p n n 的的收收斂斂性性. . （1 1）若若1 , ,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂； （2 2）若若 1 , ,則則級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散； （3 3）若）若1 , , 原 原級級數(shù)數(shù)為為 1 1 1 n p n , ,

36、 所所以以1 p時(shí)時(shí)收收斂斂, , 1 p時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散. . 例例1717 解解 n p p n n n n n n na a 1 1)1( limlim 1 1 1)1( 1 lim p p n n n ， ,1 1 1 1 lim pp n nn 50 設(shè)設(shè) 1n n a是是正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù), , 如如果果 n n n alim, ,則則 根值判別法根值判別法 (柯西柯西Cauchy判別法判別法)： （1 1）當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí)，級級數(shù)數(shù)收收斂斂； （2 2）當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí)，級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散； （3 3）當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí)，此此法法不不能能確確定定級級數(shù)數(shù)收收斂斂性性. . 證略證略. . 51 例例1

37、818 解解 12 limlim n n a n n n n 2 1 1 ) 12 ( n n n n ，1 所以級數(shù)收斂所以級數(shù)收斂. . 例例1919 1 12 ) 13 ( n n n n 解解 n n n n n n n n a 12 ) 13 (limlim 9 1 ，1 所以級數(shù)收斂所以級數(shù)收斂. . 52 1 2 n n n 例例2020 所以級數(shù)收斂所以級數(shù)收斂. .解解 2 limlim n n n n n n a ,1 2 1 n n n lim x x x 1 lim x x x ln lim e xx 1 lim e .1e 0 53 第三節(jié)第三節(jié) 任意項(xiàng)級數(shù)審斂法任意

38、項(xiàng)級數(shù)審斂法 一、交錯(cuò)級數(shù)的收斂性判別法一、交錯(cuò)級數(shù)的收斂性判別法 定義：定義：正、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為正、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯(cuò)級數(shù)交錯(cuò)級數(shù). . n n n a 1 1 )1( 定理定理( (萊布尼茨判別法萊布尼茨判別法) ) )0( n a其中其中 （1 1） 1 nn aa, ,即即 n a單調(diào)減少；單調(diào)減少； （2 2）0lim n n a, , 則則交交錯(cuò)錯(cuò)級級數(shù)數(shù) 1 1 )1( n n n a收收斂斂, , 且其和且其和 1 aS ，級數(shù)的級數(shù)的 稱稱萊布尼茨萊布尼茨 型級數(shù)型級數(shù) 如果交錯(cuò)級數(shù)如果交錯(cuò)級數(shù) 滿足條件滿足條件 n n n a 1 1 ) 1( 余余項(xiàng)項(xiàng) n R的的

39、絕絕對對值值 1 | nn aR 54 即即 2m S有有上上界界, , 故故 2m S收收斂斂, , 記記 SS m m 2 lim, , 顯然有顯然有 1 uS . . 而而 12212 mmm aSS, , 所所以以 SSn n lim, 且其和且其和 1 aS . . ,)()()( 21243212mmm aaaaaaS 證證 所以所以 2m S單調(diào)單調(diào)不不減減； 另一方面另一方面, , mmmm aaaaaaaaS 21222543212 )()()( , 1 a 由條件由條件(2)可知可知, ,lim 12 SS m m 即原級數(shù)收斂即原級數(shù)收斂, , 而而余項(xiàng)余項(xiàng) n R仍仍是

40、是一一個(gè)個(gè)萊萊布布尼尼茨茨型型級數(shù)級數(shù)，所以所以有有 1 | nn aR 由條件由條件(1)可知可知, , 212kk aa 55 注意：注意：萊布尼茲判別法所給的條件只是交錯(cuò)級數(shù)收斂的萊布尼茲判別法所給的條件只是交錯(cuò)級數(shù)收斂的 充分條件，而非必要條件充分條件，而非必要條件. . n n n a 1 1 )1()0( n a 定理定理( (萊布尼茨判別法萊布尼茨判別法) ) （1 1） 1 nn aa, ,即即 n a單調(diào)減少；單調(diào)減少； （2 2）0lim n n a, , 則則交交錯(cuò)錯(cuò)級級數(shù)數(shù) 1 1 )1( n n n a收收斂斂, , 且其和且其和 1 aS ，級數(shù)的級數(shù)的 如果交錯(cuò)級

41、數(shù)如果交錯(cuò)級數(shù) 滿足條件滿足條件 n n n a 1 1 ) 1( 余余項(xiàng)項(xiàng) n R的的絕絕對對值值 1 | nn aR 56 n 1 單單調(diào)調(diào)減減少少, , 且且 0 1 lim n n , , 1 1 1 )1( n p n n 例例1 1 解解這是交錯(cuò)級數(shù)這是交錯(cuò)級數(shù), , 由由萊布尼茨萊布尼茨定理知，級數(shù)收斂。定理知，級數(shù)收斂。 一般地，一般地， 稱為交錯(cuò)稱為交錯(cuò) p - - 級數(shù)級數(shù). 當(dāng)當(dāng)0 p時(shí)時(shí)， ,0 1 lim 1 p n p nn 單單調(diào)調(diào)減減少少且且 所以級數(shù)收斂。所以級數(shù)收斂。 證明證明級數(shù)級數(shù) 1 1 1 )1( n n n 收斂收斂。 57 例例2 2 解解這是交

42、錯(cuò)級數(shù)這是交錯(cuò)級數(shù), , 證明級數(shù)證明級數(shù) 1 ln )1( n n n n 收斂。收斂。 由由萊布尼茨萊布尼茨定理，定理，級數(shù)收斂級數(shù)收斂. . 設(shè)設(shè) x x xf ln )( , , , ln1 )( 2 x x xf 從從3 x開開始始, ,0)( x f, , 即即)(xf單單調(diào)調(diào)下下降降, , 所所以以數(shù)數(shù)列列 n nln 的的單單調(diào)調(diào)減減少少； n n n ln lim x x x ln lim x x 1 lim ,0 58 判判別別級級數(shù)數(shù) 2 1 )1( n n n n 的的收收斂斂性性. . 解解, 1 )( x x xf設(shè)設(shè) )2( x , 1 )(單單調(diào)調(diào)減減少少故故函

43、函數(shù)數(shù) x x xf 1 limlim n n a n n n 又又, 0 由萊布尼茨定理知級數(shù)收斂由萊布尼茨定理知級數(shù)收斂. 所所以以數(shù)數(shù)列列 1n n 單單調(diào)調(diào)減減少少, , 例例3 3 2 )1(2 )1( )( xx x xf則則,0 59 二、任意項(xiàng)級數(shù)的二、任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂絕對收斂與與條件收斂條件收斂 定義：定義：正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù). . 例例如如, , 1 2 1 1 )1( n n n 絕絕對對收收斂斂, , 而而 1 1 1 )1( n n n 條件收斂條件收斂. . 定義定義 若若 1 | n n a收斂收斂,

44、,則稱則稱 1n n a絕對收斂絕對收斂； 若若 1 | n n a發(fā)散發(fā)散, , 但但 1n n a收斂收斂, ,則稱則稱 1n n a條件收斂條件收斂. . 60 若若 1n n a絕對收斂絕對收斂, ,則則 1n n a本身也收斂本身也收斂. . 證明證明 定理：定理： , |2|0 nnn aaa 如如果果級級數(shù)數(shù) 1n n a絕絕對對收收斂斂，即即 1 | n n a收收斂斂， 則則 1 |2 n n a也也收收斂斂， 由由比比較較判判別別法法得得正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù) 1 )| ( n nn aa收收斂斂 , |)| ( nnnn aaaa 而而 由級數(shù)性質(zhì)知，級數(shù)由級數(shù)性質(zhì)知，級數(shù) 1

45、n n a收斂收斂 61 上定理的作用：上定理的作用： 任意項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù) ( (1 1) ) 定定理理不不可可逆逆, , 如如 1 1 1 ) 1( n n n 收收斂斂, , 但但 1 1 n n 發(fā)散發(fā)散; ; (2) (2) 若若 1 | n n a發(fā)散發(fā)散, , 不不能能推推出出 1n n a發(fā)發(fā)散散, , 但但如如果果是是用用比比值值判判別別法法或或根根值值判判別別法法判判定定 1 | n n a發(fā)發(fā)散散, , 則直接可以斷定則直接可以斷定 1n n a發(fā)散，發(fā)散， 從從而而 n a也也不不趨趨向向于于零零. . 說明：說明： 一一般般項(xiàng)項(xiàng) | n a不不趨趨向向于于零零, , 這是因?yàn)樗鼈兊囊罁?jù)是這是因?yàn)樗鼈兊囊罁?jù)是 如上例；如上例； 62 因?yàn)橐驗(yàn)?22 1sin nn n , , 而而 1 2 1 n n 收斂收斂, , 例例4 4 判定下列級數(shù)是絕對收斂、條件收斂或發(fā)散判定下列級數(shù)是絕對收斂、條件收斂或發(fā)散. . 1 2 sin )1( n n n 解解 故原級數(shù)絕對收斂故原級數(shù)絕對收斂. . 1 2 ) 1 1( 3 1 )1( )2( n n n n n 解解 n n n n n n a) 1 1( 3 1 lim|lim 3 e ，1 故級