交通流模型的分析評價與模型的改進(jìn)

1、交通流模型的分析評價與模型的改進(jìn)鵬1 , 劉儒勛2張(1 . 昆明理工大學(xué) 理學(xué)院 ,云南 昆明 650093 ; 2 . 中國科技大學(xué) 數(shù)學(xué)系 ,安徽 合肥 230026)摘要 : 連續(xù)介質(zhì)模型和車輛跟馳理論是 20 世紀(jì) 50 年代后交通流研究領(lǐng)域中最有影響和代表的兩大理論 ,前者由于其宏觀性質(zhì)在應(yīng)用中得以較快地發(fā)展 ,后者因其微觀性可作為對前者的重要 補充. 本文通過對車輛跟馳規(guī)律的分析 ,進(jìn)一步揭示了兩種理論的內(nèi)在聯(lián)系 ,同時將這一領(lǐng)域的主要研究成果作了概括和分析評價 ,最后提出了交通流建模的一種新的觀點和一個改進(jìn)模型. 相 信本文的討論有助于較快地了解這一領(lǐng)域的研究工作 ,對交通流的

2、建模與數(shù)值模擬具有參考價 值.關(guān)鍵詞 : 車輛跟馳分析 ; 速度 - 密度假設(shè) ; 延遲時間 ; 動力學(xué)模型中圖分類號 : U 169161文獻(xiàn)標(biāo)識碼 :A文章編號 :1007 - 855 X(2000) 04 - 118 - 06交通流連續(xù)介質(zhì)模型簡介交通流連續(xù)介質(zhì)模型也稱流體力學(xué)模型 , 它通過對單向運動的交通流在某時刻 t , 在某一位置 x 的有 關(guān)變量的描述來把握交通的特性和本質(zhì). 這些變量為流量 q ( x , t ) : 它表示 t 時刻點 x 處單位時間通過的 車輛數(shù) ; 速度 u ( x , t ) : 它表示 t 時刻 x 點處的車流速度 ; 密度( x , t ) : 它

3、表示 t 時刻 x 點處單位長度所 有的車輛數(shù).因假設(shè)了流體的可壓縮性 , 所以流量 q ( x , t ) 與空間坐標(biāo) x 有關(guān) , 同時密度( x , t ) 與時間坐標(biāo) t 有 關(guān). 由流體力學(xué)守恒定律 , 可知在某點 ( x , t ) 處單位時間內(nèi)密度的增加 ( 或減少) , 等于單位距離內(nèi)流量的 減少 ( 或增加) . 于是有155 q5 t + 5 x= 0( 1)仍由流體力學(xué)的有關(guān)知識 , 還有上述三個交通變量的一個關(guān)系式q = u而關(guān)于第三個方程 , L - W 理論認(rèn)為速度應(yīng)該是密度的一個函數(shù) , 即假設(shè)u = ue ()代入 ( 2) 有( 2)( 3)q = ue ()

4、= q ()( 4)再代回到 ( 1) , 可得到密度滿足的微分方程55 q ()= 0( 5)+5 t5 x這一方程一般稱為速度 - 密度假設(shè)或者運動學(xué)模型 , 其特征是激波間斷的普遍存在 , 所以也稱間斷模型方程. 由于模型的第三個方程是建立在假設(shè)的基礎(chǔ)上 , 其合理性從一開始就受到懷疑. 實際上這一 假設(shè)可由下面的車輛跟馳分析推導(dǎo)出來 , 而且這種分析使這一假設(shè)的局限性變得非常直觀.幾十年來的交通流建模問題基本上就是圍繞著第三個方程進(jìn)行討論的 , 其合理性已不斷得到改進(jìn).但由于交通因素的復(fù)雜性與道路的多樣性 , 對這一問題的研究還遠(yuǎn)未達(dá)到完善的程度.車輛跟馳分析與速度 - 密度函數(shù)關(guān)系2

5、 車輛跟馳分析對空間變量是離散的 , 即它所關(guān)心的是行進(jìn)中每一單個車輛的運動軌跡. 參照文獻(xiàn) 收稿日期 :2000 - 04 - 29第一作者簡介 :張鵬 ,男 ,1963 年 12 月生 ,講師 ;主要研究方向 :計算流體力學(xué)第 4 期張鵬 ,劉儒勛 : 交通流模型的分析評價與模型的改進(jìn)119 2 , 我們假設(shè)行駛為單車道 , 方向由左至右 , 并將行進(jìn)中的某一車輛設(shè)定為頭車 , 其運動方程記為 x 1 ( t ) .以此為界 , 我們只關(guān)心該車及其之后車輛的運動情況 , 并將任意兩相鄰的前后車輛分別記為 x n ( t ) 和x n +1 ( t ) .記上述兩車的距離 ( 前車頭至后車頭

6、) 為 p n ( t ) = x n ( t ) - x n +1 ( t ) . 假設(shè)每一車輛的型號 、性能都大 致相同 , 車身長度為 L ; 若再假設(shè)不能超車 , 則有 L p n ( t ) 0) , 稱為預(yù)期指數(shù). 這樣由 (12b) 式所導(dǎo)出動量方程為 u - ue () 5d u( 13)= - 5 xd tKuhne 模型 6 ( 1984) 描述的動量方程如下u - ue ()2 552 ud u+ 5 x 2( 14)= -C0 5 xd t它的前兩項實際上可通過對 ( 12b) 式作適當(dāng)?shù)奶幚淼玫?, 第三項則考慮了粘性的影響.與車輛跟馳有關(guān)的“音速”,為粘性系數(shù).式中

7、 C0 表示直接Ro ss 7 ( 1988) 對于交通流的估計在很大程度 ( 一定的密度區(qū)域) 是比較樂觀的. 在他看來 , 駕駛員的第 4 期張鵬 ,劉儒勛 : 交通流模型的分析評價與模型的改進(jìn)121 行駛愿望是十分強烈的 , 只要密度尚未達(dá)到飽和 , 都“盡可能”地想以某個自由暢行速度 uf (f ree flowspeed) 進(jìn)行駕駛. Ro ss 也考慮了延遲時間 , 這樣我們只需在 ( 12b) 式中將 ue () 換為常數(shù)量 uf , 即可得到 u - u fd u m= -( 15)d tRo ss 對于“盡可能”的界限是通過引入道路最大允許流量 C 來設(shè)置的 , 即u Cq

8、C或( 15a)當(dāng)車流密度達(dá)到超飽和時 , Ro ss 認(rèn)為車流已處于一種不可壓縮的狀態(tài) , 這時流量與空間變量x 無關(guān)5 q = m= 0( 15b)5 xH. M . Zhang 8 ( 1998) 認(rèn)為 , 對于較低的密度情形 , 加速度的表示式只需考慮 ( 12b) 式的第一項. 而對高密度分布的情形 , 應(yīng)考慮包含平衡狀態(tài) , 即速度 密度假設(shè)模型作為其特殊情形. 根據(jù)這一思想 , 在( 12b) 式中若令 u = ue () , 其表達(dá)應(yīng)與 ( 11) 式完全一致 , 這樣就有對高密度分布情形的加速度表示d u 2 5 u - ued u- d= 0( 16)= -5 xd t對動

9、力學(xué)模型的評價與模型的改進(jìn)Payne 模型被編入著名的 FR EFL O 程序 (1979) . 數(shù)值實驗結(jié)果表明 ,對于一般情況的交通流描述 ,它 與實際比較接近 ,然而對于密度突然變化的交通情況其調(diào)節(jié)的過程過于緩慢. 此外該模型在高密度區(qū)存 在穩(wěn)定性問題 ,會產(chǎn)生奇高的密度值. Kuhne 模型雖較 Payne 模型有較大改進(jìn) ,但其有限的數(shù)值結(jié)果很難 說明其在應(yīng)用中的可靠程度.以上兩個代表模型中隱含了速度 密度關(guān)系假設(shè). Ro ss7 與 Michalopo ulo us9 都分別對此提出了批 評 ,指出這是以 Payne 為代表的這一類模型的根本缺陷. 這兩位學(xué)者的模型都是建立在對速度

10、 密度關(guān) 系假設(shè)的直接引用或是隱含的“批判”的基礎(chǔ)之上.在 Ro ss 模型中 ,駕駛員的行駛愿望是如此強烈 ,這無疑較好地還原了交通流的動力特性 ,因而也有一 些較好的數(shù)值計算結(jié)果. 尤其是對于因交通事故受阻和前方車道減少所產(chǎn)生的“瓶頸”( bot tleneck) 現(xiàn)象 , Ro ss 模型都能給出符合實際的描述.Michalopo ulo us 等人在后來的研究中進(jìn)一步認(rèn)為 ,延遲時間不應(yīng)是常數(shù). 一般來說 ,當(dāng)密度較大時 ,延 遲時間應(yīng)相對較小. 這使在高密度區(qū)反應(yīng)過慢的問題得到緩解.Newell 10 12 的研究似乎與 Payne 及其之后的動力學(xué)模型背道而馳 , 在他的模型中沒有

11、延遲時間. Newell 模型也始終沒有放棄對速度 密度假設(shè)的引用 ,其核心思想是在此基礎(chǔ)上提出了車流移動時所遵循的累計流量最小原則. 針對 Ro ss 等人的說法 ,Newell 認(rèn)為一些數(shù)值模擬的失敗 ( 如 Payne 模型) 是由于數(shù)值離散不當(dāng)所造成.Newell 等學(xué)者同時指出了 Ro ss 模型的缺陷. 事實上這幾乎是一目了然的 ,由 (16) 式可以看出 ,加速度 恒大于零 ,這使模型的描述為不斷加速的情形 ; 飽和密度時交通流不可壓縮的假定使得車流啟動是同時的 ,即當(dāng)某車啟動時 ,后面的車輛都將立即跟上 ,波速的傳播無限大.值得一提的是 ,吳正13 針對我國以低速混合交通為主的

12、情況 ,將一維管道流動的動量方程引入交通 流模型 ,并就有關(guān)參數(shù)建立了相應(yīng)的實測方法 ,其數(shù)值結(jié)果與我國的實際交通情況是符合的.綜合各主要模型的數(shù)值結(jié)果與學(xué)者們的分析討論 ,我們進(jìn)一步認(rèn)為 ,相對于速度 密度假設(shè)模型 ,引入延遲時間后一方面會加快了由較低密度區(qū)域車流向較高密度區(qū)域的車流運動 ,而對于相反的情形則起 抑制作用. 后一種效果與實際一般來說是不符合的 ,例如類似我國這種“爭先恐后”的城市交通狀況. 前一種作用當(dāng)密度不是很大時應(yīng)該是有道理的 ,但當(dāng)密度接近飽和時 ,必然會存在剎車過慢的問題. 為緩和 上述兩種作用 ,大多數(shù)動力學(xué)模型在加速度的表示中除 u ( x , t ) 一項 (一

13、般稱為松弛項) 外 ,又加入其它項(如粘性項 、壓力項等) 對加減速度的幅度進(jìn)行放大. 不過這些模型基本上未解決對高密度交通流的模擬5122 昆 明 理 工 大 學(xué) 學(xué) 報第 25 卷問題.H. M . Zhang8 的模型可能會是一個例外 ,或者說有較大改進(jìn). 因為其加速度表達(dá)式中的第二項正好 就是速度 密度假設(shè)模型的加速度. 這樣可清楚地看出 ,相對于速度 密度假設(shè)模型 ,它對由高密度向低密度移動的車流有加快流動的作用 ,同時對由低密度向高密度的車流移動有抑制的效果. 前一個作用與 實際情況是吻合的 ,而后一種作用也許能夠解決高密度交通流的數(shù)值模擬問題. 由于原文未給出數(shù)值結(jié)果 ,我們使用

14、了有限元方法對 H. M . Zhang 提出的模型方程給出兩個數(shù)值算例 ,其中將延遲時間取為密度量的一個單減函數(shù) ,數(shù)值結(jié)果與實際是較為吻合的. 不過這一模型的有效性仍需要更多數(shù)值模擬結(jié)果的檢 驗.然而 ,若純粹從數(shù)學(xué)建模的角度來看 ,延遲時間是一個根本不存在的量. 因為車流速度的改變對于時 間變量應(yīng)是一個連續(xù)甚至光滑的過程 ,速度的改變是在瞬間發(fā)生. 延遲時間 ( 例如取常數(shù)) 的引入實際上是將速度描述為時間的分段的階梯函數(shù) ,所以除速度取常數(shù)的情形外 ,激波間斷是注定要發(fā)生的 ,即使對 密度隨空間變量單減的情形也不例外. 相對于速度 密度假設(shè)模型 ,當(dāng)車流由低密度向高密度流動時 ,激波的

15、發(fā)生更加普遍但一般來說其尖銳性會得到緩和 ,但當(dāng)密度接近飽和時 ,激波的尖銳性可能反而會加 強 ,給數(shù)值求解帶來很大困難. 這就是這一類模型對高密度交通流進(jìn)行數(shù)值模擬時常常出現(xiàn)問題的重要原因.由以上分析 ,我們認(rèn)為不考慮延遲時間的建模方法應(yīng)是一條可行之路 , 并對此作了初步探索. 在(12a) 中取 = 0 , x = / , ue () , 由 ( 10) 式給出 , 并記 = - n m / m , 這樣可得到 5u = ue () -( 17) 5 x這里一般認(rèn)為 0 1 , 為無量綱常數(shù). 由前面的車輛跟馳分析及 ( 12) 式可看出 , 這意味著考察點的車流速度由它與前車之間某點處的

16、密度所決定. 將 ( 2) 式與上式代入 ( 1) , 如果記ue () = q () , a () =d q () / d, 我們有5255 q ()= 5 x 2+5 t5 x 25+ a ()55= 或5 t5 x5 x 2這是非線性波方程 ,或者一般的 Burgers 方程 ,其右端項為擴(kuò)散項 ,或者粘性項. 由建模分析過程或 ( 17) 式本身都可以看出 ,這一模型對車流的移動有與 H. M . Zhang 模型類似的加快和抑制效果 ,但其光滑性顯然 要好得多. 我們對該模型采用有限元方法模擬了紅綠燈間斷與交通事故現(xiàn)象 ,數(shù)值結(jié)果十分理想. 這將 在在另一篇文章中作詳細(xì)討論.參考文獻(xiàn)

17、 :1Light hill M H , Whit ham G B . On kinematics wave : I I. A t heory of t raffic flow o n lo ng crowded roads. Proc. Roy. Soc.Lo ndo n , Ser . , 1955 , A 22 : 317 345 .Pipes L A. An Operatio nal Analysis of Traffic DynamicsJ . Appl . Phys. , 1953 ,24 :274 281 .張鵬 ,劉儒勛. 紅綠燈間斷模型與特征線求解. 昆明理工大學(xué)學(xué)報 ,200

18、0 , 25 (3) :6570Pipes L A. Vehicle acceleratio ns in t he hydrodynamic t heory of t raffic flow , Transp . Res. 1969 , 3 : 229 234 .Payne H J . Models of f reeway t raffic and co nt rol . In : Bekey A. G. (ed. ) Mat hematical models of p ublic systems. Simula2tio n Council Proc. , L a Jola . 1971 ,

19、1 : 51 61 .Kuhne R D. Macroscopic Freeway Model for Dense Traffic - stop - start Waves and Incident Detectio n in : Volmuller J , Hamerslag R (eds. ) . Proc. 9t h Int . Symp . o n Transp n. and Traffic Theory. VNU Science Press , Ut recht , 1984 . 21 42 .Ross P. Traffic dynamics Transp n. Res , 1988

20、 , 22B : 421 435 .Zhang H M . A Theory of No nequilibrium Traffic Flows. Transp n. Res. - B , 1998 , 32 (7) : 485 498 .Michalopoulos P G , Yi P , Lyrintzis A S. Co ntinuum Modeling of t raffic Dynamics for Co ngested Freeway. Transp n. Res. ,23456789第 4 期張鵬 ,劉儒勛 : 交通流模型的分析評價與模型的改進(jìn)123 1993 , 27B : 31

21、5 332 .Newell G F. A Simplified Theroy of Kinematics Waves in Highway Traffic. Part I : General Theory , Transp n. Res. ,1993 , 27B : 281 287 .Newell G F. A Simplified Theroy of Kinematics Waves in Highway Traffic. Part I I : Queueing at Freeway Bot tlenecks , Transp n. Res. , 1993 , 27B : 289 303Ne

22、well G F. A Simplified Theroy of Kinematics Waves in Highway Traffic. Part I I I : Mutil - Destinaito n Flows , Transp n. Res. , 1993 , 27B : 305 313吳正. 低速混合型城市交通的流體力學(xué)模型. 力學(xué)學(xué)報 , 1994 , 26 (2) : 149157 .10111213Anal yses an d Remarks on Traff ic Fl o w Model al ong with Its ImprovementZHAN G Peng1 ,

23、LIU Ru - xun2(1 . The Faculty of Sciences , Kunming U niversit y of Science and Technology , Kunming 650093 ,China ;2 . Depart ment of Mat hematics ,U niversity of Science and Technology of China , Hefei 230026 ,China)Abstract : Since 1950s , Co ntinuum Mo dels and Car Follow Theo ry have been t he mo st influential and rep re2 sentative t heo ries in t he t raffic research . The fo r mer has been developed rapidly in applicatio ns due to it s