2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 6.3 等比數(shù)列及其前n項和課件 理 新人教A版

1、6.3等比數(shù)列及其前n項和 第六章數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 NEIRONGSUOYIN 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí) 題型分類 深度剖析 課時作業(yè) 1基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí) PART ONE 知識梳理 1.等比數(shù)列的定義 一般地，如果一個數(shù)列， 那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ，通常用字母 表 示(q0). 2.等比數(shù)列的通項公式 設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q，則它的通項an . 3.等比中項 如果三個數(shù)x，G，y組成等比數(shù)列，則G叫做x和y的等比中項. ZHISHISHULIZHISHISHULI 從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一常數(shù) 公比 q a1qn1 4.等比

2、數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣：anam (n，mN). (2)若an為等比數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN)，則 . (4)在等比數(shù)列an中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，ank， an2k，an3k，為等比數(shù)列，公比為qk. qnm akalaman 5.等比數(shù)列的前n項和公式 等比數(shù)列an的公比為q(q0)，其前n項和為Sn， 當(dāng)q1時，Snna1； 6.等比數(shù)列前n項和的性質(zhì) 公比不為1的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等 比數(shù)列，其公比為 . qn 1.將一個等比數(shù)列的各項取倒數(shù)，所得的數(shù)列還是一個等比數(shù)列嗎？若是， 這兩個等比

3、數(shù)列的公比有何關(guān)系？ 【概念方法微思考】 提示仍然是一個等比數(shù)列，這兩個數(shù)列的公比互為倒數(shù). 2.任意兩個實數(shù)都有等比中項嗎？ 提示不是.只有同號的兩個非零實數(shù)才有等比中項. 3.“b2ac”是“a，b，c”成等比數(shù)列的什么條件？ 提示必要不充分條件.因為b2ac時不一定有a，b，c成等比數(shù)列，比如a0， b0，c1.但a，b，c成等比數(shù)列一定有b2ac. 基礎(chǔ)自測 JICHUZICEJICHUZICE 題組一思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)滿足an1qan(nN，q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列.() (2)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，bna2n1a2n，則數(shù)列

4、bn也是等比數(shù)列. () (3)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)n an是等差數(shù)列.() 123456 (5)數(shù)列an為等比數(shù)列，則S4，S8S4，S12S8成等比數(shù)列.() 題組二教材改編 123456 3.公比不為1的等比數(shù)列an滿足a5a6a4a718，若a1am9，則m的值為 A.8 B.9 C.10 D.11 解析由題意得，2a5a618，a5a69， a1ama5a69， m10. 123456 題組三易錯自糾 解析1，a1，a2，4成等差數(shù)列， 3(a2a1)41，a2a11. 又1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q， 123456 解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q， 8

5、a2a50，8a1qa1q40. q380，q2， 123456 11 6.一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機(jī)病毒開機(jī)時占據(jù)內(nèi)存1 MB，然后每3秒自身復(fù) 制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機(jī)_秒，該病毒占據(jù)內(nèi)存8 GB.(1 GB210 MB) 39 解析由題意可知，病毒每復(fù)制一次所占內(nèi)存的大小構(gòu)成一等比數(shù)列an， 且a12，q2，an2n， 則2n8210213，n13. 即病毒共復(fù)制了13次. 所需時間為13339(秒). 123456 2題型分類深度剖析 PART TWO 題型一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算 解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q， 自主演練自主演練 2.(2018全國)等比數(shù)列an中，a

6、11，a54a3. (1)求an的通項公式； 解設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1. 由已知得q44q2， 解得q0(舍去)，q2或q2. 故an(2)n1或an2n1(nN). (2)記Sn為an的前n項和，若Sm63，求m. 由Sm63得(2)m188， 此方程沒有正整數(shù)解. 若an2n1，則Sn2n1. 由Sm63得2m64，解得m6. 綜上，m6. (1)等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式共涉及五個量a1，an，q，n，Sn，已 知其中三個就能求另外兩個(簡稱“知三求二”). (2)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項和公式時，注意對q1和q1的分類討論. 思維升華 題型二等比數(shù)列的判定與證明 師生共

7、研師生共研 例1已知數(shù)列an滿足對任意的正整數(shù)n，均有an15an23n，且a18. (1)證明：數(shù)列an3n為等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式； 解因為an15an23n， 所以an13n15an23n3n15(an3n)， 又a18，所以a1350， 所以數(shù)列an3n是首項為5、公比為5的等比數(shù)列. 所以an3n5n， 所以an3n5n. 思維升華 跟蹤訓(xùn)練1(2018黃山模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，Sn1 4an2. (1)設(shè)bnan12an，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列； 證明由a11及Sn14an2， 有a1a2S24a12. a25，b1a22a13. ，得an14a

8、n4an1(n2)， an12an2(an2an1)(n2). bnan12an，bn2bn1(n2)， 故bn是首項b13，公比為2的等比數(shù)列. (2)求數(shù)列an的通項公式. 解由(1)知bnan12an32n1， 故an(3n1)2n2. 題型三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 師生共研師生共研 (2)(2018大連模擬)設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，S21，S45，則 S6等于 A.9 B.21 C.25 D.63 解析因為S210，所以q1， 由等比數(shù)列性質(zhì)得S2，S4S2，S6S4成等比數(shù)列， 即1(S65)(51)2， 所以S621，故選B. 思維升華 等比數(shù)列常見性質(zhì)的應(yīng)用 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)

9、用可以分為三類： (1)通項公式的變形. (2)等比中項的變形. (3)前n項和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征 即可找出解決問題的突破口. 跟蹤訓(xùn)練2(1)等比數(shù)列an各項均為正數(shù)，a3a8a4a718，則 _. 1 3 log a 2 3 log a 10 3 log a 20 解析由a3a8a4a718，得a4a79 所以 1 3 log a 2 3 log a 10 3 log a 5 12101 10 33 log() loga aaa a= (a4a7)5 2log331020. 3 log 5 3 log9 解析很明顯等比數(shù)列的公比q1， 關(guān)于等差(比)數(shù)列

10、的基本運(yùn)算在高考試題中頻繁出現(xiàn)，其實質(zhì)就是解 方程或方程組，需要認(rèn)真計算，靈活處理已知條件. 高頻小考點 GAOPINXIAOKAODIANGAOPINXIAOKAODIAN 等差數(shù)列與等比數(shù)列 解析已知等差數(shù)列an的首項和公差均不為0，且滿足a2，a5，a7成等比數(shù)列， (a14d)2(a1d)(a16d)， 10d2a1d，d0， 10da1， 例2已知an為等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足b12，b25，且an(bn1bn)an1， 則數(shù)列bn的前n項和為 A.3n1 B.3n1 解析b12，b25，且an(bn1bn)an1， a1(b2b1)a2，即a23a1， 又?jǐn)?shù)列an為等比數(shù)列， 數(shù)列a

11、n的公比為q3， 數(shù)列bn是首項為2，公差為3的等差數(shù)列， 3課時作業(yè) PART THREE 基礎(chǔ)保分練 1.已知等比數(shù)列an滿足a11，a3a716，則該數(shù)列的公比為 12345678910111213141516 2.已知遞增的等比數(shù)列an中，a26，a11，a22，a3成等差數(shù)列，則該 數(shù)列的前6項和S6等于 解析設(shè)數(shù)列an的公比為q，由題意可知，q1， 12345678910111213141516 整理可得2q25q20， 3.(2018滿洲里質(zhì)檢)等比數(shù)列an的前n項和為Sn32n1r，則r的值為 12345678910111213141516 解析當(dāng)n1時，a1S13r， 當(dāng)n2

12、時，anSnSn132n132n3 32n3(321)832n3832n231 A.5 B.3 C.5 D.3 12345678910111213141516 5.古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日 織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一 天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題 的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為 A.10 B.9 C.8 D.7 12345678910111213141516 解析設(shè)該女子第一天織布x尺， 6.若正項等比數(shù)列an滿足anan122n(nN)，則a6

13、a5的值是 12345678910111213141516 解析設(shè)正項等比數(shù)列an的公比為q0， anan122n(nN)， 21 2 2 n 11 2 2 9 2 2 7.已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且a12 018，a2a42a3，則S2 019 _. 12345678910111213141516 解析a2a42a3， a2a42a30，a22a2qa2q20， q22q10，解得q1. a12 018， 2 018 2 018. 12345678910111213141516 12345678910111213141516 現(xiàn)已知共得到1 023個正方形， 則有122n11 02

14、3， n10， 18 解得a53(舍負(fù))，即a1q43， 12345678910111213141516 S4S12S8， 12345678910111213141516 1q41q12(1q8)， (1)求b1，b2，b3； 將n1代入得，a24a1，而a11，所以a24. 將n2代入得，a33a2，所以a312. 從而b11，b22，b34. 12345678910111213141516 (2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由； 解bn是首項為1，公比為2的等比數(shù)列. 12345678910111213141516 又b11，所以bn是首項為1，公比為2的等比數(shù)列. (3)求an的

15、通項公式. 所以ann2n1. 證明b1a2a11. 12345678910111213141516 (1)令bnan1an，證明：bn是等比數(shù)列； 12345678910111213141516 (2)求數(shù)列an的通項公式. 當(dāng)n2時，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 12345678910111213141516 技能提升練 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 9 2 n a 解析由數(shù)列an的前n項和為Sn2n12， 則當(dāng)

16、n2時，anSnSn12n122n22n， a1S12，滿足上式， 12345678910111213141516 2 n a 2 n a n(n1)2n12， 當(dāng)n9時，T991021021 1121 024， 當(dāng)n8時，T8892925821 024的最小n的值為9. 拓展沖刺練 12345678910111213141516 15.已知等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)且公比大于1，前n項積為Tn，且a2a4a3， 則使得Tn1的n的最小值為 A.4 B.5 C.6 D.7 12345678910111213141516 解析an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a2a4a3， 又q1，a1a21(n3)， TnTn1(n4，nN)，T11，T2a1a21，T3a1a2a3a1a2T21，T4 a1a2a3a4a11， 故n的最小值為6，故選C. 123456