[高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件]2011年高考數(shù)學(xué)第一輪章節(jié)復(fù)習(xí)課件(35

1、 第四節(jié) 數(shù)列求和 常用數(shù)列求和的方法常用數(shù)列求和的方法 1.公式法公式法 直接應(yīng)用等差數(shù)列，等比數(shù)列的求和公式，以及正整數(shù)的平直接應(yīng)用等差數(shù)列，等比數(shù)列的求和公式，以及正整數(shù)的平 方和公式，立方和公式等公式求解方和公式，立方和公式等公式求解. 2.倒序相加法倒序相加法 如果一個(gè)數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列an，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于首末，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于首末 兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫和倒著寫的兩個(gè)式子相加，就兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫和倒著寫的兩個(gè)式子相加，就 得到一個(gè)常數(shù)列的和，進(jìn)而求出數(shù)列的前得到一個(gè)常數(shù)列的和，進(jìn)而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和項(xiàng)和. 3.錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法 如果一個(gè)數(shù)列

2、的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì) 應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的，此時(shí)可把式子應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的，此時(shí)可把式子Sna1a2an的兩的兩 邊同乘以公比邊同乘以公比q，得到，得到qSna1qa2qanq，兩式錯(cuò)位相，兩式錯(cuò)位相 減整理即可求出減整理即可求出Sn. 4.裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵 消，于是前消，于是前n項(xiàng)和就變成了首尾少數(shù)項(xiàng)之和項(xiàng)和就變成了首尾少數(shù)項(xiàng)之和. 5.分組求和法分組求和法 一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是

3、由若干個(gè)等差或等比或可求和的 數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相 加減加減. 1.數(shù)列數(shù)列(1)nn的前的前2010項(xiàng)的和項(xiàng)的和S2010為為 () A.2010 B.1005 C.2010 D.1005 解析：解析：S20101234520092010 (12)(34)(20092010)1005. 答案：答案：D 2.若數(shù)列若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為an2n2n1，則數(shù)列，則數(shù)列an的前的前n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 () A.2nn21 B.2n 1 n21 C.2n 1 n22 D.2nn22 答案：答案：C 解析：解析：Sn

4、 2n 1 2n2. 3.數(shù)列數(shù)列 ，其前，其前n項(xiàng)之和為項(xiàng)之和為 ，則在平面直角坐，則在平面直角坐 標(biāo)系中，直線標(biāo)系中，直線 (n1)xyn0在在y軸上的截距為軸上的截距為 () A.10 B.9 C.10 D.9 a an n= 解析：解析：數(shù)列數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為 所以所以n9，于是直線，于是直線(n1)xyn0即為即為10 xy90， 所以在所以在y軸上的截距為軸上的截距為9. 答案：答案：B 4.數(shù)列數(shù)列1, 前前10項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為 . 解析：解析： =(1+4+7 +28) 答案：答案： 5.設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn.若若S972，則，則a2a

5、4a9 . 解析：解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)得由等差數(shù)列的性質(zhì)得 S99a572，a58，a2a4a9a1a5a93a524. 答案：答案：24 1.數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然 后通過對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差或等比或可求數(shù)列前后通過對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差或等比或可求數(shù)列前 n項(xiàng)和的數(shù)列來求之項(xiàng)和的數(shù)列來求之. 2.常見類型及方法常見類型及方法 (1)anknb，利用等差數(shù)列前，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接求解；項(xiàng)和公式直接求解； (2)anaqn 1，利用等比數(shù)列前 ，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接求解；項(xiàng)和公式直接求解； (3)anb

6、ncn，數(shù)列，數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，是等比數(shù)列或等差數(shù)列， 采用分組求和法求采用分組求和法求an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和. 【注意注意】應(yīng)用等比數(shù)列前應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意公比項(xiàng)和公式時(shí)，要注意公比q 的取值的取值. 求數(shù)列求數(shù)列 的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn. 將各式變形，使其呈現(xiàn)出某種特點(diǎn)，再利用等將各式變形，使其呈現(xiàn)出某種特點(diǎn)，再利用等 差、等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求和差、等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求和. 【解解】 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， Sn (n ) (123n)( ) 1 . 1.求下面數(shù)列的前求下面數(shù)列的前n項(xiàng)和：項(xiàng)和： 11， 4， 7， 3n2， 解：解：前前

7、n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn(11)( 4)( 7) ( 3n2) (1 )147(3n2)， 設(shè)設(shè)S11 ， 當(dāng)當(dāng)a1時(shí)，時(shí)，S1n； 當(dāng)當(dāng)a1時(shí)，時(shí)，S1 ， S2147(3n2) . 當(dāng)當(dāng)a1時(shí)，時(shí)，SnS1S2n ； 當(dāng)當(dāng)a1時(shí)，時(shí)，SnS1S2 . 1.一般地，如果數(shù)列一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)是等比數(shù)列，求數(shù) 列列anbn的前的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法. 2.用乘公比錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意用乘公比錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意 (1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的

8、情形； (2)在寫出在寫出“Sn”與與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊” 以便下一步準(zhǔn)確寫出以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式的表達(dá)式. 【注意注意】利用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和利用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和. 若公比是個(gè)參數(shù)若公比是個(gè)參數(shù)(字母字母)，則應(yīng)先對(duì)參數(shù)加以討論，一般情，則應(yīng)先對(duì)參數(shù)加以討論，一般情 況下分等于況下分等于1和不等于和不等于1兩種情況分別求和兩種情況分別求和. 數(shù)列數(shù)列an滿足滿足a11，a22，an 2 (1cos2 )an sin2 ，n1,2,3， (1)求求a3、a4可利用可利用a1、

9、a2遞推，求遞推，求an時(shí)需先化簡(jiǎn)時(shí)需先化簡(jiǎn) 遞推關(guān)系；遞推關(guān)系； (2)用錯(cuò)位相減法求用錯(cuò)位相減法求. (1)求求a3，a4的值，并求數(shù)列的值，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)設(shè)bn Snb1b2bn，求，求Sn. 【解解】(1)當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，a3(1cos2 )a1sin2 a112， 當(dāng)當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，a4(1cos2 )a2sin2 2a24. 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，cos2 0，sin2 1， 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，an 2 an1， a11，a2n 1 n. 當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，cos2 1，sin2 0， 當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí)an 2 2an， a2

10、2，a2n2n. 2 n 2 n Sn (2)由由(1)可知可知bn ， Sn ， Sn . 得：得：(1 )Sn ， Sn 1 Sn2 . 2.(2010泉州模擬泉州模擬)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn2n2，bn為等為等 比數(shù)列，且比數(shù)列，且a1b1，b2(a2a1)b1. (1)求數(shù)列求數(shù)列an和和bn的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)設(shè)cn 求數(shù)列求數(shù)列cn的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Tn. 解：解：(1)當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，a1S12； n2時(shí)，時(shí)，anSnSn 1 2n22(n1)24n2，當(dāng)，當(dāng)n1時(shí)，時(shí)， 滿足滿足an4n2， 故故an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為an4n2， 即即a

11、n是是a12，公差，公差d4的等差數(shù)列的等差數(shù)列. 設(shè)設(shè)bn的公比為的公比為q，則，則b1qdb1，d4， q= 故故bnb1qn 1 2 即即bn的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為bn= Tnc1c2cn 1341542(2n1)4n 1， ， 4Tn14342543(2n3)4n 1 (2n1)4n. 兩式相減得兩式相減得 3Tn12(4142434n 1) (2n1)4n (6n5)4n5. Tn (6n5)4n5. 1 (21)4, n n (2) n c 1.利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第 一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)

12、，后面也剩兩項(xiàng)，一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)， 再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)， 使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等. 2.一般情況如下，若一般情況如下，若an是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，則 此外根式在分母上時(shí)可此外根式在分母上時(shí)可 考慮利用有理化因式相消求和考慮利用有理化因式相消求和. 3.常見的拆項(xiàng)公式有：常見的拆項(xiàng)公式有： (1) (2) (3) (4) 已知數(shù)列已知數(shù)列an，bn滿足：滿足：a1 ，anbn1， bn 1 (1)求求b1，b2，b3，b

13、4； (2)求數(shù)列求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (3)設(shè)設(shè)Sna1a2a2a3a3a4anan 1，求 ，求Sn. 由由anbn1易得易得 bn+1 構(gòu)造新數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列 【解解】(1)bn 1 ， a1 ，b1 ， b2 ，b3 ，b4 . (2)bn 1 1 1， 1 ， 數(shù)列數(shù)列 是以是以4為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，為公差的等差數(shù)列， 4(1)3,nn 12231 12 1. 33 1 (3)1, 3 n nn nnn n b nn ab n Sa aa aa a 3.已知函數(shù)已知函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x) 6x2.

14、數(shù)列數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)，點(diǎn)(n，Sn)(nN*)均在函均在函 數(shù)數(shù)yf(x)的圖象上的圖象上. (1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)設(shè)bn ，Tn是數(shù)列是數(shù)列bn的前的前n項(xiàng)和，求使得項(xiàng)和，求使得Tn 對(duì)所有對(duì)所有nN 都成立的最小正整數(shù) 都成立的最小正整數(shù)m. 解：解：(1)依題意可設(shè)依題意可設(shè)f(x)ax2bx(a0)， 則則f(x)2axb. 由由f(x)6x2得得a3，b2， f(x)3x22x. 又由點(diǎn)又由點(diǎn)(n，Sn)(nN )均在函數(shù) 均在函數(shù)yf(x)的圖象上，的圖象上， 得得Sn3n22n. 當(dāng)當(dāng)n2時(shí)，時(shí)， anSnSn 1 (3n2

15、2n)3(n1)22(n1) 6n5； 當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，a1S1312211615. 所以所以an6n5(nN ). （2）由（）由（1）得）得bn= 故故Tn= 因此，使得因此，使得 成立的成立的m必須必須 且僅需滿足且僅需滿足 即即m10，故滿足要求的最小正整數(shù)，故滿足要求的最小正整數(shù) m為為10. (N*)n 數(shù)列求和與不等式、函數(shù)等其他知識(shí)的綜合問題可以數(shù)列求和與不等式、函數(shù)等其他知識(shí)的綜合問題可以 很好地考查邏輯推理能力，近幾年的新課標(biāo)高考試題中此很好地考查邏輯推理能力，近幾年的新課標(biāo)高考試題中此 類問題時(shí)有出現(xiàn)，因此，這類綜合題有可能成為高考的命類問題時(shí)有出現(xiàn)，因此，這類綜合題有可

16、能成為高考的命 題方向題方向.2009年全國(guó)卷年全國(guó)卷第第20題綜合考查了數(shù)列的遞推公式、題綜合考查了數(shù)列的遞推公式、 等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n項(xiàng)和以及分組求和和錯(cuò)位相減法求和等基礎(chǔ)項(xiàng)和以及分組求和和錯(cuò)位相減法求和等基礎(chǔ) 知識(shí)知識(shí). (2009全國(guó)卷全國(guó)卷)在數(shù)列在數(shù)列an中，中，a11，an 1 (1 )an (1)設(shè)設(shè)bn ，求數(shù)列，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列求數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn. 解解(1)由已知得由已知得b1a11，且，且 ， (1分分) 即即bn 1 bn ，(2分分) 從而從而b2b1 ， b3b2 ， bnbn 1 (n2)， (4分分) 于是于是bnb1 2 (n2) 又又b11，故所求的通項(xiàng)公式，故所求的通項(xiàng)公式bn2 . (6分分) (