從平面到空間的類比推理(20210404174214)

1、共享知識(shí)分享快樂專題一：從平面到空間的類比推理類比是數(shù)學(xué)命題推廣的基本方法之一，法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾經(jīng)說過：“即使在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比.”類比推理就是在兩類不同事物之間進(jìn)行對(duì)比，找出若干相同或相似點(diǎn)之后，推測在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模 式從邏輯上說，類比推理就是將命題的外延擴(kuò)大.類比推理一般具有如下三個(gè)特點(diǎn)：(1) 類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性，推測正在研究的事物的屬性，是以舊有的認(rèn) 識(shí)為基礎(chǔ)，類比出新的結(jié)果；(2) 類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性；(3) 類比的結(jié)果是猜測性的，因此，類比推理得出的結(jié)論不一定正確，有待證明，但

2、它卻 有探索、發(fā)現(xiàn)的功能，有助于我們揭示自然界的奧秘.類比推理的一般步驟是：(1) 找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；(2) 用一類對(duì)象的已知特征去推測另一類對(duì)象的特征，從而抽象、概括出一個(gè)猜想；(3) 檢驗(yàn)猜想.近幾年來，在全國各地的模擬試題和高考試題中，陸續(xù)出現(xiàn)了從平面到空間的類比推 理題，這些題目立意新穎，內(nèi)涵深刻，大多以填空題的形式出現(xiàn)，不需要嚴(yán)格的證明，只 需要猜想出正確的結(jié)論即可，旨在考查學(xué)生觀察-分析-比較-聯(lián)想-類比-,mm猜0想的探索能力和創(chuàng)新意識(shí)，歸納起來，主要有以下幾種類型：一、平面幾何定理類比到立體幾何定理平面是空間的一部分，因此，平面中的不少結(jié)論都可以類比拓展到

3、空間中去數(shù)學(xué)家 波利亞曾指出：“類比是一個(gè)偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的 類比問題”類比方法：“直線”類比為“ ”，“角”類比為“ ”，“角的兩邊”類比為卑微如螻蟻、堅(jiān)強(qiáng)似大象共享知識(shí)分享快樂例1:對(duì)于平面幾何中的命題：“如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”在立體幾何中，類比上述命題，可以得到命題：“ ”其真假性是我們所熟悉的從平面幾何定理到立體幾何定理還有不少類比的實(shí)例，例如：(1) 平幾：平行于同一直線的兩直線平行；立幾：平行于同一平面的兩平面平行.(2) 平幾：垂直于同一直線的兩直線平行；立幾：垂直于同一平面的兩直線平行；垂直于同一直線的兩平面平行

4、.(3) 平幾：如果一條直線垂直于兩平行直線中的一條直線，那么它也和另一條直線垂直；立幾：如果一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面，那么它也和另一個(gè)平面垂直； 如果一個(gè)平面垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面，那么它也和另一個(gè)平面垂直.(4) 平幾：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；立幾：如果一個(gè)二面角的兩個(gè)面與另一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別平行，那么這兩個(gè)二面角 相等或互補(bǔ).二、平面幾何圖形類比到空間幾何體點(diǎn)、線、面是構(gòu)成空間幾何體的基本元素，構(gòu)成幾何體離不開平面圖形，有不少幾何 體的底面或側(cè)面是一些相類似的平面幾何圖形，因此，平面中某些特殊幾何圖形的性質(zhì)也 可以類比推廣到

5、相對(duì)應(yīng)的特殊空間幾何體中去.(一) 平面中的三角形類比到空間中的 1 直角三角形類比到類比方法1: “直角三角形的直角邊長、斜邊長”類比為“ ”.例2(2003廣東卷)在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè) ABC的兩邊AB、AC互相垂直， 則AB2 +AC 2= BC2 ”，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底 面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐 A-BCD的三個(gè)側(cè)面 ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則 .變式：在厶ABC中，AB丄AC , AD丄BC , D為垂足，貝U AB 2=BD BC(射影定理).類卑微如螻蟻、堅(jiān)強(qiáng)似大象共享知識(shí)分享快樂似地，三棱錐

6、A-BCD中，AD丄平面 ABC , AO丄平面 BCD , O為垂足，且 O在厶BCD內(nèi)，貝U Sa ABC， Sa BCO， Sa BCD 三者之間滿足關(guān)系式 .類比方法2: “直角三角形的直角邊長、斜邊上的高”類比為“ ”.例3（2008深圳調(diào)研理）在Rt ABC中，兩直角邊分別為 a、b，設(shè)h為斜邊上的高，111則 飛 22，由此類比：三棱錐 SABC中的三條側(cè)棱 SA、SB、SC兩兩垂直，且h2a2 b2長度分別為a、b、c,設(shè)棱錐底面 ABC上的高為h,則有結(jié)論.變式：Rt ABC的兩直角邊分別為 a、b,則其內(nèi)切圓半徑r （- -） 1 r ;a b V a b由此類比：三棱錐

7、S-ABC中的三條側(cè)棱 SA、SB、SC兩兩垂直，且長度分別為a、b、c,則其內(nèi)切球半徑 R=。2 .正三角形類比到類比方法1: “正三角形的高”類比為“ ”.例4平面幾何中，有結(jié)論：“正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值，且定值等于該正三角形邊長的 倍”.類比這一結(jié)論，將其拓展到空間，可得到結(jié)論：例5（2008韶關(guān)調(diào)研理）已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的1/3,把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是 .類比方法2: “正三角形的中心”類比為“ ”.例6在平面內(nèi)，自一點(diǎn) O至多能引3條射線OA、OB、OC,使它們兩兩成等角，且兩兩所成的角為1200.類比到空間，自一點(diǎn) 0至多能引 條射線

8、，使它們兩兩成等角，且兩兩所成的角為 .3 一般三角形類比到 類比方法1: “三角形的面積”類比為“ ” .例7（2008梅州一模文）已知 ABC的三邊長為a, b, c,內(nèi)切圓半徑為r（用Saabc表示 ABC的面積），則Saabc =r（a+b+c） /2;類比這一結(jié)論有：若三棱錐 A BCD的內(nèi)切球半徑為R,則三棱錐體積加 Va-bcd=.例8（2004廣東卷）教材P78練習(xí)3例9若點(diǎn)D在厶ABC內(nèi)，則有結(jié)論S obc OA S oac OB S oab OC 0，把命題類比推廣到空間，若點(diǎn)O在四面體 ABCD 內(nèi)，則有結(jié)論： 。類比方法2: “三角形的高”類比為“ ”.例10（2008

9、汕頭一模理）設(shè)P是厶ABC內(nèi)一點(diǎn)， ABC三邊上的高分別為 hA，hB,he，P到三邊的距離依次為la,lbJc，則有 S 土 丄=；類比到空間，設(shè)PhAhB he是三棱錐 A-BCD內(nèi)一點(diǎn)，四頂點(diǎn)到對(duì)面的距離分別為hA，hB，he，hD，P到這四個(gè)面的距離依次為la,lb,lc,ld ，則有.（二）平面中的特殊四邊形類比到空間中的特殊 1. 平行四邊形類比到類比方法：“平行四邊形的邊、對(duì)角線”分別類比為“ ”.例11平面幾何中，有結(jié)論：“平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和”.類比這一結(jié)論，將其拓展到空問，可得到結(jié)論： 。2 .矩形類比到類比方法1: “矩形的邊、對(duì)角線”類比為“

10、”.例12若P是矩形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，則有結(jié)論 PA2+PC2 =PB2 +PD2成立，類比到空間，若P是長方體ABCD-A 1B1C1D1內(nèi)任意一點(diǎn)，則有結(jié)論 成立.2 2 cos cos例13矩形ABCD的對(duì)角線 AC與邊AB和AD所成的角分別為，則1，把它類比推廣到長方體中，試寫出一個(gè)相應(yīng)的真命題：類比方法2: “矩形的外接圓”類比為“ ”.例14設(shè)矩形ABCD的外接圓半徑為r，P是矩形ABCD的外接圓上任意一點(diǎn)，則PA2+PB類比方法2: “圓的內(nèi)接矩形”類比為“ ”.例i6通過圓與球的類比，由“半徑為R的圓的內(nèi)接矩形中，正方形的面積最大，最大值為 2 .”猜想關(guān)于球的相應(yīng)命題為：

11、梯形類比到類比方法i : “平行于梯形上、下底的線段”類比為“ ” ,“梯形的上、下底邊長”類比為“ ”.例 i7 已知梯形 ABCD 中，AB=a ,CD=b(ab) ,E、F是腰 AD、BC 上兩點(diǎn)，且 EF/AB/CD ,+PC2+PD2為定值 ;類比到空間，設(shè)長方體 ABCD-A 1B1C1D1的外接球半徑為R，P是長方體ABCD-A iBiCiDi的外接球上任意一點(diǎn)，則 PA2 +PB2 +PC2 + PAi2 +PB12 +PCi2 +PDi2 為定值(三) 平面中的特殊平面圖形類比到空間中的特殊旋轉(zhuǎn)體i .圓類比到球圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，球是空間中到定點(diǎn)的距離

12、等于定長的點(diǎn)的集合；用任意一個(gè)平面去截球，截面都是圓，這些都決定了圓與球有很深厚的淵源.類比方法i: “圓的面積”類比為“球的體積”.例i5(2006湖北卷)半徑為r的圓的面積S(r)= r2，周長C(r)=2 r，若將r看作(0, +R)上的變量，則(r2)=2 r， 式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓 的周長函數(shù)對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0, + s)上的變量，請(qǐng)你寫出類似于的若線段EF將梯形的面積二等分，則EF類比上述結(jié)論，若圓臺(tái)的兩底半式子 ： ， 式可以用語言敘述為：徑為R ,r(R r)，作平行于底的截面，若截面將圓臺(tái)的側(cè)面積二等分，則截面半徑為 若截面將圓臺(tái)的體積二

13、等分，則截面半徑為 .類比方法2 :“梯形的上、下底邊長”類比為“平行于梯形上、下底的線段長”類比為“ ”.例18已知梯形 ABCD中，AB=a，CD =b(ab)，E、F是腰AD、BC上兩點(diǎn)，且 EF / AB / CD，且EF到CD與AB的距離之比為 m： n,則可推算出EF=一nb .類比上m n述結(jié)論，若圓臺(tái)的上、下底面積為Si、S2： (Si S2), 個(gè)平行于底面的截面到圓臺(tái)上、下底面的距離之比為 m： n,若此截面的面積為 So，則S0與Si、S2的關(guān)系式為 .三、平面向量類比到空間向量由于空間向量是平面向量在空間的推廣，空間向量基本定理也是平面向量基本定理的 推廣，因此，兩者之間必然存在著廣泛而深刻的聯(lián)系，它們?cè)诩?、減、數(shù)乘、數(shù)量積方面 具有相同的運(yùn)算律，而它們的坐標(biāo)運(yùn)算則非常相似.類比方法1: “平面向量的二維坐標(biāo)運(yùn)算”類比為“空間向量的三維坐標(biāo)運(yùn)算”例19設(shè)向量a=(xi, yi), b=(x2, y2：),則由平面向量數(shù)量積公式可得|a b | |a | |b |,即有不等式：(xi x2+yiy2)2 0,那以該函數(shù)在x(0 ,.a上是減函數(shù)，在.a , +8)上是增函數(shù).2b(I)如果函數(shù)y x (x0)的值域?yàn)? , +8)，求