《有理數(shù)及其運算》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識講解

1、有理數(shù)及其運算全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高） 責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1理解有理數(shù)及其運算的意義，提高運算能力2能用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，會比較有理數(shù)的大?。唤柚鷶?shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，會求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對值3體會轉(zhuǎn)化、歸納等思想；掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及混合運算并能解決簡單的實際問題4 會用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、有理數(shù)的相關(guān)概念 1有理數(shù)的分類： （1）按定義分類： （2）按性質(zhì)分類：要點詮釋：（1）用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量；（2）有理數(shù)“0”的作用：作用舉例表示數(shù)的性質(zhì)0是自然數(shù)、是有理數(shù)表示沒有3個蘋果用+3表示，沒有蘋果用0表示表示某種狀態(tài)

2、表示冰點表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的界點0非正非負(fù)，是一個中性數(shù)2數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線要點詮釋：（1）一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，數(shù)軸上的點不都表示的是有理數(shù)，如（2）在數(shù)軸上，右邊的點所對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點所對應(yīng)的數(shù)大3相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互稱為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0 要點詮釋：（1）一對相反數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點位于原點兩側(cè)，并且到原點的距離相等，這兩點是關(guān)于原點對稱的（2）求任意一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“”號即可（3）多重符號的化簡：數(shù)字前面“”號的個數(shù)若有偶數(shù)個時，化簡結(jié)果為正，若有奇數(shù)個時，化簡結(jié)果為負(fù)4絕對值：（1)代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它

3、本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0 數(shù)a的絕對值記作 （2)幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離要點二、有理數(shù)的運算 1 法則：（1）加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)（2）減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)即a-b=a+(-b) （3）乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘任何數(shù)同0相乘，都得0（4）除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)即ab=a(b0) （5）乘方運算的符號法則：負(fù)數(shù)的

4、奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0 (6)有理數(shù)的混合運算順序：先乘方，再乘除，最后加減；同級運算，從左到右進(jìn)行；如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行要點詮釋：“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用：（1）多重負(fù)號的化簡，這里奇偶指的是“”號的個數(shù)，例如：（3）=3，+（3）=3（2）有理數(shù)乘法，當(dāng)多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號，例如：（3）（2）（6）=36，而（3）（2）6=36（3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如： ， 2運算律：

5、（1）交換律: 加法交換律:a+b=b+a； 乘法交換律:ab=ba；（2）結(jié)合律: 加法結(jié)合律： (a+b)+c=a+(b+c)； 乘法結(jié)合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac要點三、有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：（1）數(shù)軸比較法；（2）法則比較法：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而?。?3) 作差比較法（4）作商比較法；（5)倒數(shù)比較法要點四、科學(xué)記數(shù)法 把一個大于10的數(shù)表示成的形式（其中1，是正整數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法例如：200 000=【典型例題】類型一、有理數(shù)相關(guān)概念1已知x與y互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，|

6、x+y |+（a-1）20，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值【思路點撥】 (1)若有理數(shù)x與y互為相反數(shù)，則x+y0，反過來也成立 (2)若有理數(shù)m與n互為倒數(shù)，則mn1，反過來也成立【答案與解析】解：因為x與y互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，（a-1）20， 所以x+y0，mn1，a1， 所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010 a2-(0+1)a+02009+(-1)2010 a2-a+1 a1，原式12-1+11【總結(jié)升華】要全面正確地理解倒數(shù)，絕對值，相反數(shù)等概念舉一反三：【高清課堂：有理數(shù)的復(fù)習(xí)與提高 357129 復(fù)習(xí)例

7、題2】【變式1】選擇題（1）已知四種說法： |a|=a時，a0； |a|=-a時， a0，則（ ） aab0 ca0且b0 da0且b0，-2a0，又-a-2a，所以|a|-2a綜上所述：當(dāng)a0時， |a|-2a；當(dāng)a0時，|a|-2a（3）【總結(jié)升華】在解題中合理利用數(shù)學(xué)思想，是解決問題的有效手段數(shù)形結(jié)合“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使問題簡單化，具體化；分類討論中注意分類的兩條原則：分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，而且分類要做到不重不漏；轉(zhuǎn)化思想就是把“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識”，將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知” 類型四、規(guī)律探索 6下面兩個多位數(shù)1248624，6248624都是按照如下方法得到的：將第1位數(shù)字乘以2

8、，若積為一位數(shù)，將其寫在第2位；若積為兩位數(shù)，則將其個位數(shù)字寫在第2位對第2位數(shù)字再進(jìn)行如上操作得到第3位數(shù)字，后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字進(jìn)行如上操作得到的當(dāng)?shù)?位數(shù)字是3時，仍按如上操作得到一個多位數(shù)，則這個多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和是( ) a495 b497 c501 d503【思路點撥】多位數(shù)1248624是怎么來的？當(dāng)?shù)?個數(shù)字是1時，將第1位數(shù)字乘以2得2，將2寫在第2位上，再將第2位數(shù)字2乘以2得4，將其寫在第3位上，將第3位數(shù)字4乘以2的8，將8寫在第4位上，將第4位數(shù)字8乘以2得16，將16的個位數(shù)字6寫在第5位上，將第5位數(shù)字6乘以2得12，將12的個位數(shù)字2寫在第6位上，再將第6位數(shù)字2乘以2得4，將其寫在第7位上，以此類推根據(jù)此方法可得到第一位是3的多位數(shù)后再求和【答案】a【解析】按照法則可以看出此數(shù)為362 486 248，后面6248循環(huán)，所以前100位的所有數(shù)字之和是3+(6+2+4+8)24+6+2+4495，所以選a【總結(jié)升華】特例助思，探究規(guī)律，這類題主要是通過觀察分析，從特殊到一般來總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并表示出來舉一反三：【變式】世界上著名的萊布尼