北京理工大學自動控制原理輔導班筆記——鐘海秋教授

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2、(1)必須穩(wěn)定，且有相位裕量和增益裕量(2)動態(tài)品質指標好。、%(3)穩(wěn)態(tài)誤差小，精度高二、結構圖簡化梅遜公式例1、解：方法一：利用結構圖分析：方法二：利用梅遜公式 其中特征式 式中： 為所有單獨回路增益之和 為所有兩個互不接觸的單獨回路增益乘積之和 為所有三個互不接觸的單獨回路增益乘積之和其中， 為第k條前向通路之總增益； 為從中剔除與第k條前向通路有接觸的項；n 為從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通路數(shù)目對應此例，則有：通路： ，特征式： 則： 例2：2002年備考題解：方法一：結構圖化簡繼續(xù)化簡：于是有：結果為其中=方法二：用梅遜公式 通路： 于是：三、穩(wěn)態(tài)誤差（1）參考輸入引起的誤差傳遞函數(shù)

3、：；擾動引起的誤差傳遞函數(shù)：（2）求參考輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差時。可以用 、疊加，也可以用終值定理：（3）求擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差 時，必須用終值定理：（4）對階躍輸入： ，如，則，（5）對斜坡輸入：，如，則，（6）對拋物線輸入：，如，則，例3：求：，令，求，令解：結構圖化簡：繼續(xù)化簡，有：當時，求得=。；當時，有求得=例4：令，求，令，求為了完全抵消干擾對輸出的影響，則解：求，用用梅遜公式： 則：，同理求得=若完全抵消干擾對輸出的影響，則干擾引起的輸出應該為零。即=0,故=0，所以例5：2002年題4其中 ，r(t)和n(t)分別是參考輸入和擾動輸入。(1)求誤差傳遞函數(shù) 和；(2)是否存在n10和

4、n20,使得誤差為零？(3)設r(t)和n(t)皆為階躍輸入，若誤差為零，求此時的n1和n2解：， ，n(s)為負 r(t)=t,要求=0.則系統(tǒng)應為型系統(tǒng),那么n1+n2=2. r(t)=1(t),n(t)= 1(t),要求=0,則n1+n2=1因為如,則而事實上：可見積分環(huán)節(jié)在部分中，而不在中。故n1=1，n2=0。就可以實現(xiàn)要求例6：如圖，當時，求穩(wěn)態(tài)輸出解：應用頻率法：，則 四、動態(tài)指標(1)二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標準形：(2)，越大，越小(3)，（=5%或2%）例7：如圖，要求，試確定參數(shù)k，t。解：，則， 。由，可得=？，t=？例8：求： 選擇，使得%20%，ts=1.8秒() 求、，

5、并求出時的穩(wěn)態(tài)誤差解： 由%20%，則，求得由，求得。，從而得、。 由傳遞函數(shù)：得，當時，頻率法一、基本概念：g(s)，輸入是正弦信號，穩(wěn)態(tài)輸出。如：，則二、 慣性環(huán)節(jié)jw0+u，0+，則：，注意：0+因為 ，（如圖3）則0+ ，（如圖4）求w1。因，故兩邊取正切： ，其中，（如圖5）0+ 增益裕量：，相位裕量：，如圖6注意：用求k；用求w1。例1：，t1t2，k=10，作出波德圖例2：2002年題1求：(1)寫出開環(huán)傳遞函數(shù)(2)計算系統(tǒng)的相位裕量和增益裕量(3)做出的nyquist曲線，并分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性解： 可見圖中，因為幅頻特性曲線在w1=0.5和w2=10時發(fā)生轉折，顯然w=2時

6、，曲線只在w1=0.5發(fā)生轉折，而未到w2=10。故w2=10不發(fā)生作用，所以，故 相位裕量：因為，則：則z=0，n=0，p=0。符合z=p+n，故穩(wěn)定三、nyquist判據(jù)z為閉環(huán)右半平面根數(shù)，p為開環(huán)右半平面根數(shù)，n為包圍-1圈數(shù)，順時針為正，逆時針為負。當符合z=p+n是系統(tǒng)穩(wěn)定。其中z=0例3：解：奈氏曲線如下圖。n=2，p=0，z=n+p=20，故不穩(wěn)定。例4：，如圖：n=2，p=0，z=n+p=20，故不穩(wěn)定。例5：，判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。分析：判斷穩(wěn)定性，用勞斯判據(jù)：相鄰系數(shù)必須為正，不能缺項如：。顯然缺s項，故不穩(wěn)定。勞斯陣列第一列全為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定。如果有一個負數(shù)，則變號次，即系

7、統(tǒng)有個有根，不穩(wěn)定。系統(tǒng)如果與虛軸有交點，則勞斯陣有一行全為，此行的上一行為輔助多項式，由輔助多項式可求出與虛軸的交點坐標。如，勞斯陣為：，則由于一行全為零。則系統(tǒng)與虛軸相交。輔助多項式為：，則與虛軸的交點為。解：勞斯陣：，可見系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個右根。例：，解：勞斯陣：，因為此處不能往下計算，換成。，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。例：2002年備考題單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)，要求： 畫出對數(shù)幅頻特性，求，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 加入矯正裝置，使擴大一倍，求矯正后系統(tǒng)傳遞函數(shù)和相位裕量。解： 開環(huán)傳遞函數(shù)應由所給的零極點形式化成時間常數(shù)形式：，由作圖可得，由勞斯判據(jù)可知，缺項，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。也可由，判定系統(tǒng)不穩(wěn)定。

8、也可由零極點判斷畫圖，不穩(wěn)定。 加入矯正裝置是，即（w1可由圖中按比例讀出），則。例8：2001年備考題求： 系統(tǒng)阻尼比=0.5時, =0時，求%，、（）解：，則=0時，則，于是，=%=例9設計型題，較易，主要考概念求：，使時，；使時，解： ，利用基本概念，不用計算 ，則故：。根軌跡法一、定義：。其中為根軌跡增益。開環(huán)放大倍數(shù)閉環(huán)特征方程的根隨參數(shù)而變化的軌跡，稱為根軌跡。其符合兩個條件：幾條規(guī)則：實軸上的根軌跡最小相位系統(tǒng)右邊有奇數(shù)個零極點時，有根軌跡非最小相位系統(tǒng)右邊有偶數(shù)個零極點時，有根軌跡根軌跡條數(shù)=max（n,m），起點為開環(huán)極點（），終點為開環(huán)零點（）漸進線條數(shù)：（n-m）條，與實

9、軸交點坐標：與實軸夾角：。分離點與會合點：使，并使0的點復數(shù)極點出射角：對非最小相位系統(tǒng)復數(shù)零點的入射角：對非最小相位系統(tǒng)與虛軸交點：（a）用勞斯判據(jù)確定，用輔助方程求得（b）代入閉環(huán)特征方程，由實部=0，虛部=0求得例1：解：漸進線（3條）：，由，則，得與虛軸的交點：方法一，勞斯陣：要與虛軸有交點，則有一行全零，即輔助方程：方法二將代入特征方程：，則與虛部的交點 根軌跡如下圖例2：解：漸進線一條。出射角分離點與會合點：，故：，則，得，可見根軌跡是圓弧。證明：取圓弧上一點。（應用輻角條件）兩邊取正切：可見是圓。例3：解：結構圖化簡,有:閉環(huán)特征方程為,由此畫根軌跡圖。也可以由，畫根軌跡。例4：

10、解：，則： =1，=9時，有一個分離點當9時，如取=10，則，根軌跡如上圖。離散系統(tǒng)分析方法一、采樣定理鏡像作用,采樣頻率二、開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)，特征方程。判斷穩(wěn)定性：用雙線性變換，將其代入特征方程中，再用勞斯判據(jù)。如果k給定，則直接解特征方程，若|z|1則不穩(wěn)定。，對參考輸入有：求時，可以用兩種方法：a）部分分式法；b）長除方法g(s)z變換公式：如：非線性系統(tǒng)分析方法g(s)注：1為sinwt；2為基波和高次諧波經(jīng)過g（s）后剩下的基波。一、分析方法：二、描述函數(shù)法：閉環(huán)特征方程：，則判斷是否包圍，包圍則系統(tǒng)不穩(wěn)定，不包圍則穩(wěn)定。如同，判斷是否包圍-1，包圍則不穩(wěn)定，不包圍則穩(wěn)定。負倒特

11、性：a點不穩(wěn)定,自激振蕩b點為穩(wěn)定自激振蕩，因有干擾時系統(tǒng)發(fā)散，則系統(tǒng)正好進入穩(wěn)定區(qū)，而系統(tǒng)穩(wěn)定時要衰減，則系統(tǒng)又回到b點右邊，又再次進入到不穩(wěn)定區(qū)，又要發(fā)散，然后又進入穩(wěn)定區(qū)，如此反復，則系統(tǒng)始終穩(wěn)定再b點附近。例1：如圖。其中：，判斷是否存在穩(wěn)定的自激振蕩？為消除自激振蕩如何調整？解：例2：解：，則合成為：則，變換成：再畫圖分析例3：2002年題5其中：。討論參數(shù)t為系統(tǒng)自激振蕩的影響設t=0.25sec，求輸出自激振蕩的振幅和頻率。解：，兩者相切時，即頻率特性g(jw)的虛部等于-1/n(x)，b點穩(wěn)定，a點不穩(wěn)定。此時，李雅普諾夫穩(wěn)定性理論一、李氏第一方法：線性化方法，線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)

12、只有一個；非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)有多個。雅可比矩陣：，判斷其穩(wěn)定性用特征多項式，然后用勞斯判據(jù)。如果線性系統(tǒng)穩(wěn)定，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，如果線性系統(tǒng)不穩(wěn)定，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果處于穩(wěn)定邊界（有純虛根），則不能判定非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李氏直接方法：1克拉索夫斯基方法；2變量梯度法（不考）二、對非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性問題的解題步驟：先用線性化方法：，由得，若：（1），則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處是不穩(wěn)定的；（2），則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處是漸進穩(wěn)定的。（3），中至少有一個實部為0，則此方法失效。否則，用克拉索夫斯基方法：，當q(x)正定時，即當主子式均大于零時，且當時，有：，則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進

13、穩(wěn)定。最后想到用李雅普諾夫第二方法：構造標量函數(shù)v(x)，例如：，要求v(0)=0，x0,v(x)0。步驟：1、構造；2、，將，代入，若為負定，半負定，有。則系統(tǒng)在處大范圍漸進穩(wěn)定。例1：使用李雅普諾夫方法判斷下述非線性系統(tǒng)在原點平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：線性化方法失效，則只好用克拉索夫斯基方法：，則且時，有，故此系統(tǒng)在原點處大范圍漸進穩(wěn)定。例2：試用李雅普諾夫方法判斷下述非線性系統(tǒng)在原點平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：用線性化方法：，狀態(tài)空間分析方法一、模型的建立則，即：令，則，如對，令則， 或例1：由傳遞函數(shù)來求，則，則，即例2：，有：即：可見-2為重根，則此為約當標準型。約當塊對應b陣中的行中有一列不

14、為零，則能控；約當塊對應c陣中的列中有一列不為零，則能觀。222-153二、對型題的解答步驟：判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性：，得，若則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。能控性判別矩陣：，若r(m)=n，即滿秩，為完全能控，否則不完全能控。能觀性判別矩陣：，若為滿秩，為完全能觀，否則不完全能觀。注意：如果a是對角陣且沒有重根時，則用直接觀察的方法判別能控、能觀便可。若b中對應的值不為0，則此狀態(tài)分量能控，若b中全不為0，則為完全能控。若c中對應的值不為0，則此狀態(tài)分量能觀，若c中全不為0，則完全能觀。如果a是對角陣且有重根，或是一般矩陣時，則必須用能控性判別矩陣m和能觀性判別矩陣n。狀態(tài)反饋：條件所調整的極點對應的狀

15、態(tài)分量必須能控。原理：，引入，則有解題方法：特征多項式=期望多項式，即。狀態(tài)觀測器條件：系統(tǒng)完全能觀，才可用狀態(tài)觀測器輸出可控性矩陣：，若滿秩，則輸出完全可控，否則輸出不完全可控。例3 、要求：(1)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性(2)判斷系統(tǒng)是否完全能控，完全能觀測，并指出各狀態(tài)分量的能控，能觀性(3)能否用線性狀態(tài)反饋將原有的極點-1，-2，3調整為-1，-2，-3？若能請計算出k1,k2,k3的值；若不能，請說明原因。(4)判斷系統(tǒng)的輸出可控性解：(1)顯然有+3特征根，則系統(tǒng)不穩(wěn)定(2)由b陣知不完全能控，x1,x3能控，x2不能控；由c陣知不完全能觀，x2,x3能觀，x1不能觀。(3)能，因為x3

16、時能控的，設，由，因此有(4)輸出可控性矩陣，秩為1，可控。例4 ：，要求：(1)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性(2)判斷系統(tǒng)是否完全能控，完全能觀測，并說明理由。(3)能否通過狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定？(4)能否應用狀態(tài)觀測器？解：（1）顯然0，系統(tǒng)不穩(wěn)定；=0邊界狀態(tài)；0時系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）因為-1時重根，由不是約當型，則用較穩(wěn)妥的方法，即用可控性矩陣。，則秩為2 ，為不完全能觀（3）狀態(tài)反饋要通過x3進行，則要能觀測x3才行。當c3不為0時，可以通過狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（4）系統(tǒng)完全能觀，才可應用狀態(tài)觀測器。例5：要求：(1)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性(2)判斷系統(tǒng)是否完全能控，完全能觀測，并說明理由。(3)能

17、否通過狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定？(4)能否應用狀態(tài)觀測器？解：（1）顯然有+1根，則系統(tǒng)不穩(wěn)定（2）不完全能控，x1可，x2不可不完全能觀，x1不可，x2可（3）因為x1能控，則可以改成-1，設故（4）不能，因為系統(tǒng)不完全能觀例6：要求：解：傳遞函數(shù)：，故三、狀態(tài)方程的解，狀態(tài)轉移矩陣如：，則齊次，則。采用變換的方法：,特別當如果有二重根，則如果有三重根，則分塊，有：注意：觀測器不考最后例1：設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試畫出nyquist圖，并確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：t1t2時，顯然n=1，p=0，z=n+p=1，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例2、要求：（1）求出閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式f(s)；(2)(3)(4)解：(1)特征方程為：，則特征多項式為：(2)零極點：，漸近線：，分離點：三條根軌跡匯合，因為此時k值相同。例3：=9，要求：(1)(2)(3)(4)解：(1) (2) (3) 由勞斯判據(jù)：，故當k15時，系統(tǒng)不穩(wěn)定，不能計算穩(wěn)