隨機(jī)實驗報告1 Poisson過程模擬

1、數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院實 驗 報 告實驗項目名稱 隨機(jī)數(shù)及poisson過程的模擬 所屬課程名稱 隨機(jī)過程 實 驗 類 型 綜合 實 驗 日 期 2014.3.26 班 級 學(xué) 號 姓 名 成 績 一、實驗概述：【實驗?zāi)康摹?通過模擬產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，進(jìn)一步編程實現(xiàn)對possion過程樣本軌道的模擬。掌握生成隨機(jī)變量的方法，深入了解poisson過程的性質(zhì)。【實驗原理】1、隨機(jī)變量的生成（逆函數(shù)法）：利用均勻分布并結(jié)合分布函數(shù)的逆變換，生成分布函數(shù)為f（x）的變換：若u是0,1區(qū)間上的均勻分布，f（x）為任一給定的分布函數(shù)，定義，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)為f（x）;2、poisson過程的模擬：（1）利用事

2、件發(fā)生的間隔時間是獨立同分布的隨機(jī)變量序列，（2）給定事件發(fā)生次數(shù)的條件下，事件發(fā)生的時刻與該區(qū)間上對應(yīng)的均勻分布的順序統(tǒng)計量相同【實驗環(huán)境】硬件環(huán)境 windows 7 microsoft corporationinter(r)core(tm) i3 cpu軟件環(huán)境軟件環(huán)境 matlab 7.0二、實驗內(nèi)容：【實驗方案】1、 利用求逆函數(shù)的方法生成指數(shù)分布隨機(jī)變量；2、 （a）利用獨立同分布的指數(shù)分布序列模擬強(qiáng)度為1的poisson過程；（b）利用均勻分布的順序統(tǒng)計量模擬強(qiáng)度為1的poisson過程【實驗過程】（實驗步驟、記錄、數(shù)據(jù)、分析）1.利用求逆函數(shù)的方法生成指數(shù)分布隨機(jī)變量；步驟一：

3、我們知道一個指數(shù)分布的概率密度函數(shù)是： 其中 0是分布的一個參數(shù)，常被稱為率參數(shù)（rate parameter）。即每單位時間發(fā)生該事件的次數(shù)。指數(shù)分布的區(qū)間是0,)。 如果一個隨機(jī)變量x呈指數(shù)分布，則可以寫作：x exponential（）。累積分布函數(shù):累積分布函數(shù)可以寫成：所以在 時該分布函數(shù)的逆變換為：步驟二：生成均勻分布在0,1上的隨機(jī)數(shù) matlab里生成0，1上的均勻隨機(jī)數(shù)的語句是：rand(1,1); rand(n,m)。步驟三：生成服從參數(shù)為 lambda 的指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)生成有連續(xù)分布函數(shù)隨機(jī)數(shù)的一般方法是用反函數(shù)法。設(shè)g(y)=f-1(y)，如果u(1)., u(n)

4、是服從（0，1）上均勻分布的隨機(jī)數(shù)，那么g(u(1), ., g(u(n)就是分布函數(shù)為f(x)的隨機(jī)數(shù)。例：生成一組參數(shù)為1的服從指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)lambda=1;x=rand(1,10);y=-(log(1-x)/lambda結(jié)果為： y= 0.6863 ,2.3003 ,1.7239 ,1.0354 ,1.7036 ,1.0795 ,0.4185 ,0.3421 ,0.4173 ,0.7637對于如何驗證這組隨機(jī)量是否滿足參數(shù)為1的指數(shù)分布，2， （a）利用獨立同分布的指數(shù)分布序列模擬強(qiáng)度為1的poisson過程；我們知道計數(shù)過程n(t),t0 是參數(shù)為的poisson 過程，如果每次事

5、件發(fā)生的時間間隔為 相互獨立，且服從同一參數(shù)為的指數(shù)分布。因此只需產(chǎn)生n個同指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)，將其作為，即可模擬poisson過程。假設(shè)我們要產(chǎn)生20個服從參數(shù)為1的指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)，則可用以下編程實現(xiàn)：lambda=1;n=20;x=0 -log(rand(1,n)./lambda;再利用matlab中的cumsum函數(shù)與stairs函數(shù)，便可得出一條滿足參數(shù)為1的poisson分布的樣本路徑。stairs(cumsum(x),0:n);如圖：（b）利用均勻分布的順序統(tǒng)計量模擬強(qiáng)度為1的poisson過程首先引入定理1. 設(shè)n(t),t0是計數(shù)過程， 為第n個事件與第n-1個事件的時間間隔，

6、 獨立同分布且分布函數(shù)為f（x）,若f(0)=0，且對任意的 0s0，產(chǎn)生服從參數(shù)為的泊松分布的隨機(jī)數(shù)n:2. 假定 n0,獨立的產(chǎn)生n個在服從0,t上的均勻分布的隨機(jī)數(shù)，將這n個數(shù)按從小到大的順序排列的 ；3. 我們可以在用作為過程的第i 個點發(fā)生時間而得到過程在0,t上的一條軌道。 利用matlab編程實現(xiàn)：lambda=1;tmax=20;npoints=poissrnd(lambda*tmax);if (npoints0) arrt=0;sort(rand(npoints,1)*tmax);else arrt=0;endstairs(arrt,0:npoints); 我們可得到：【實驗

7、結(jié)論】（結(jié)果）利用不同發(fā)布模擬出了poisson發(fā)布過程的軌道，畫出圖形?！緦嶒炐〗Y(jié)】（收獲體會）通過本次實驗學(xué)習(xí)了如何利用編程實現(xiàn)對possion過程樣本軌道的模擬。掌握了生成隨機(jī)變量的方法，深入了解poisson過程的性質(zhì)。三、指導(dǎo)教師評語及成績：評 語評語等級優(yōu)良中及格不及格1.實驗報告按時完成,字跡清楚,文字?jǐn)⑹隽鲿?邏輯性強(qiáng)2.實驗方案設(shè)計合理3.實驗過程（實驗步驟詳細(xì),記錄完整,數(shù)據(jù)合理,分析透徹）4實驗結(jié)論正確. 成 績： 指導(dǎo)教師簽名： 批閱日期：附錄1：源 程 序1.lambda=1;n=20;x=0 -log(rand(1,n)./lambda;stairs(cumsum(x),0:n);2.lambda=1;tmax=20;npoin