第08講-正方形的性質(zhì)與判定-學(xué)案

1、第08講 正方形的性質(zhì)與判定一、平行四邊形的性質(zhì)與判定1、 平行四邊形的定義：兩線對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點(diǎn)連成的線段叫做它的對(duì)角線。2、 平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等,對(duì)角相等,對(duì)角線互相平分。3、 平行四邊形的判別方法：平行四邊形中有4條判定定理：簡記為一組兩組兩條一組（對(duì)邊平行且相等）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形兩組（對(duì)邊平行、對(duì)邊相等）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形兩條（對(duì)角線相互平分）兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形二、菱形的性質(zhì)與判定：1、 菱形的定義： 有一組鄰邊相等的平行四邊形

2、叫做菱形，菱形是特殊的平行四邊形。2、 菱形的性質(zhì)：（1）對(duì)邊平行，四邊相等。（2）對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)。（3）對(duì)角線互相垂直平分且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。四邊形abcd是菱形ab=bc=cd=daacbd 四邊形abcd是菱形3、菱形的判定：（1） 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（2） 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形。平行四邊形abcd四邊形abcd是菱形acbdb（3） 四條邊都相等的四邊形。ab=bc=cd=daabcd是菱形（4） 菱形的面積=邊長高=對(duì)角線的乘積的一半。三、矩形的性質(zhì)與判定：矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（矩形是特殊的平行四邊形）。矩形的性質(zhì)：矩形具有平

3、行四邊形的一切性質(zhì)。（1） 邊：對(duì)邊平行且相等。（2） 角：四個(gè)角都是直角。（3） 對(duì)角線：互相平分且相等。矩形的判定：（1） 有一個(gè)角是直角的平行四邊形。（2） 對(duì)角線相等的平行四邊形。（3）有三個(gè)角是直角的四邊形。推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 典例分析例1、下列說法正確的是（）a對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是菱形b對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形c對(duì)角線互相垂直的四邊形是平行四邊形d對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形例2、已知：如圖，mon=45，oa1=1，作正方形a1b1c1a2，面積記作s1；再作第二個(gè)正方形a2b2c2a3，面積記作s2；繼續(xù)作第三個(gè)正方形a3b3

4、c3a4，面積記作s3；點(diǎn)a1、a2、a3、a4在射線on上，點(diǎn)b1、b2、b3、b4在射線om上，依此類推，則第6個(gè)正方形的面積s6是（）a256b900c1024d40963例3、如圖，正方形abcd的對(duì)角線ac與bd相交于點(diǎn)o，acb的角平分線分別交ab、bd于m、n兩點(diǎn)，若am=2，則正方形的邊長為（）a4b3c2+d例4、如圖，正方形aefg的頂點(diǎn)e，g在正方形abcd的邊ab，ad上，連接bf，df則be：cf的值為例5、如圖，正方形abcd中，以對(duì)角線bd為邊作菱形bdfe，使b，c，e三點(diǎn)在同一直線上，連接bf，交cd與點(diǎn)g（1） 求證：cg=ce；（2） 若正方形邊長為4，求

5、菱形bdfe的面積 舉一反三1、 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形a1b1c1d1、d1e1e2b2、a2b2c2d2、d2e3e4b3、a3b3c3d3，按圖示的方式放置，其中點(diǎn)b1在y軸上，點(diǎn)c1、e1、e2、c2、e3、e4、c3，在x軸上，已知正方形a1b1c1d1的邊長為1，b1c1o=60，b1c1b2c2b3c3，則正方形a2016b2016c2016d2016的邊長是（）2016d（）20152、 如圖，在正方形abcd中，e、f分別是邊bc、cd上的點(diǎn)，eaf=45，ecf的周長為4，則正方形abcd的邊長為（）a2b3c4d553、 如圖，四邊形abcd是正方形，以cd為邊

6、作等邊三角形cde，be與ac相交于點(diǎn)m，則amd的度數(shù)是（）a75b60c54d67.54、 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)a的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)b的坐標(biāo)是（4，0），以ab為邊作正方形abcd，連接od，db則dob的面積是5、 如圖，設(shè)四邊形abcd是邊長為1的正方形，以正方形abcd的對(duì)角線ac為邊作第二個(gè)正方形acef，再以第二個(gè)正方形的對(duì)角線ae為邊作第三個(gè)正方形aegh，如此下去，記正方形abcd的邊長a1=1，依上述方法所作的正方形的邊長依次為a2，a3，a4，, 則an=6、 如圖，四邊形abcd是邊長為a的正方形，點(diǎn)g、e分別是邊ab、bc的中點(diǎn)，aef=90，且ef交正方

7、形外角的平方線cf于點(diǎn)f（1） 證明：ageecf；（2） 求aef的面積典例分析例1、下列說法不正確的是（）a有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形b對(duì)角線相等的菱形是正方形c對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形d一組鄰邊相等的矩形是正方形例2、如圖，在abc中，點(diǎn)e，d，f分別在邊ab、bc、ca上，且deca，dfba下列四個(gè)判斷中，不正確的是（）a四邊形aedf是平行四邊形b如果bac=90，那么四邊形aedf是矩形c如果ad平分bac，那么四邊形aedf是菱形d如果adbc且ab=ac，那么四邊形aedf是正方形例3、如圖，點(diǎn)e在正方形abcd的對(duì)角線ac上，且ec=3ae，直角三角形feg的兩

8、直角邊ef、eg分別交bc、dc于點(diǎn)m、n若正方形abcd的邊長為a，則重疊部分四邊形emcn的面積為例4、已知：如圖，在abc中，ab=ac，d是的bc邊的中點(diǎn)，deac，dfab，垂足分別是e、f（1） 求證：de=df；（2） 只添加一個(gè)條件，使四邊形edfa是正方形，并給出證明 舉一反三1、 菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)是（）a對(duì)角線相等且互相平分b對(duì)角線相等且互相垂直平分c對(duì)角線互相平分d四條邊相等，四個(gè)角相等2、 如圖，有一塊邊長為4的正方形塑料模板abcd，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)落在a點(diǎn)，兩條直角邊分別與cd交于點(diǎn)f，與cb延長線交于點(diǎn)e則四邊形aecf的面積是3、

9、 如圖，過正方形abcd的頂點(diǎn)d作deac交bc的延長線于點(diǎn)e（1） 判斷四邊形aced的形狀，并說明理由；（2） 若bd=8cm，求線段be的長a對(duì)角線互相垂直b對(duì)角線相等c對(duì)角線互相平分d對(duì)角相等2、如圖，正方形aefg的邊ae放置在正方形abcd的對(duì)角線ac上，ef與cd交于點(diǎn)m，得四邊形aemd，且兩正方形的邊長均為2，則兩正方形重合部分（陰影部分）的面積為（）a 4+4 b b4+4 c c84d d+1 3、如圖，正方形abcd的邊長為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)d落在bc邊上的點(diǎn)e處，折痕為gh若be：ec=2：1，則線段ch的長是（）a3b4c5d64、已知：如圖，點(diǎn)e，f，p，q

10、分別是正方形abcd的四條邊上的點(diǎn)，并且af=bp=cq=de求證：（1）ef=fp=pq=qe；（2）四邊形efpq是正方形優(yōu)學(xué)學(xué)霸1【閱讀發(fā)現(xiàn)】如圖，在正方形abcd的外側(cè)，作兩個(gè)等邊三角形abe和adf，連結(jié)ed與fc交于點(diǎn)m，則圖中adedfc，可知ed=fc，求得dmc=【拓展應(yīng)用】如圖，在矩形abcd（abbc）的外側(cè)，作兩個(gè)等邊三角形abe和adf，連結(jié)ed與fc交于點(diǎn)m（1） 求證：ed=fc（2） 若ade=20，求dmc的度數(shù)1、如圖，正方形abgd中，ab=ad=6，梯形abcd中，dedc交ab于e，df平分edc交bc于f，連結(jié)ef（1）證明：ef=cf；套路揭密：（

11、1） 考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法；（2） 幾何圖形中，仔細(xì)分析圖形的構(gòu)成并熟練掌握各種性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。1、 如圖，在正方形abcd中，e、f分別是邊bc、cd上的點(diǎn)，eaf=45，ecf的周長為4，則正方形abcd的邊長為（）a2b3c4d52、 如圖，四邊形abcd是正方形，以cd為邊作等邊三角形cde，be與ac相交于點(diǎn)m，則amd的度數(shù)是（）a75b60c54d67.53、 如圖，e是邊長為1的正方形abcd的對(duì)角線bd上一點(diǎn)，且be=bc，p為ce上任意一點(diǎn)，pqbc于點(diǎn)q，prbe于點(diǎn)r，則pq+pr的值是（）cd 4、如圖，將正方形oabc放在平面直角坐標(biāo)系中，o是原點(diǎn)，a的坐標(biāo)為（，1），則點(diǎn)c的坐標(biāo)為（）a（，1）b（1，）c（1，）d（1，）5、 如圖，在rtabc中，abc=90，ab=6，bc=8，以斜邊ac為邊作正方形acde，連