自動控制理論自考習(xí)題解答第5章穩(wěn)定性分析.

1、第五章 穩(wěn)定性分析5 1解：(1)系統(tǒng)的特征方程為12s(s 1)=0s2亠s亠2 = 0因為二階特征方程的所有項系數(shù)大于零，滿足二階系統(tǒng)的穩(wěn)定的充分必 要條件，即兩個特征根均在 S平面的左半面，所以此系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）系統(tǒng)的特征方程為1-0 = s2s 3 = 0 oS（s-1）因為二階特征方程的項系數(shù)出現(xiàn)異號，不滿足二階系統(tǒng)的穩(wěn)定的充分必 要條件，所以此系統(tǒng)不穩(wěn)定。（注：BIBO穩(wěn)定意旨控制系統(tǒng)的輸入輸出（外部）穩(wěn)定，系統(tǒng)穩(wěn)定的充 分必要條件是輸出與輸入之間傳遞函數(shù)的極點均在S平面的左半平面。若傳遞函數(shù)無零極點對消現(xiàn)象時，內(nèi)部穩(wěn)定與外部穩(wěn)定等價。此系統(tǒng)只含極點不 含零點，所以傳遞函數(shù)的極點和

2、特征方程的特征根等價，故直接可以用特征 根的位置判系統(tǒng)的穩(wěn)定性。）5 2解：（1）； 特征方程中所有項系數(shù)大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件；又； 三階系統(tǒng)的系數(shù)內(nèi)項乘積大于外項乘積 （20 10 1 50），滿足穩(wěn) 定的充分條件。該控制系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）； 特征方程中所有項系數(shù)大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件；特征方程中所有項系數(shù)大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件；列寫Routh表如下:1315s21 X35匯11 -29s_2工5 _1疋9-2= 9.50s09Routh表中第一列元素出現(xiàn)負(fù)號，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。并且其符號變化兩次, 故系統(tǒng)有兩個特征根在S平面的右半部。(3) ； 特征方程中所有項系數(shù)大于零，滿足穩(wěn)

3、定的必要條件;又； 三階系統(tǒng)的系數(shù)內(nèi)項乘積小于外項乘積 (20 8 1 300)，不滿足 穩(wěn)定的充分條件。該控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。(4) ； 特征方程中所有項系數(shù)大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件;列寫Routh表如下:1410126 (3)14;s43況4_1工3小=333010系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是25K(K 3)7 - K 3K-1.40 二 (K -0.41)(K3.41) 0K 0.41 0 亠K 0.41 cO或K +3.41 0K +3.41 cOk -0.41 a 0如K0.41由丿得：丿n K 0.41K +3.41 0K -3.41K-0.41 0中k0.41由*得：丿二 K 341K +

4、3.41 0k -3.41所以系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是K 0.415 5解：k(1) 系統(tǒng)的特征方程為1K0 =s3 11s2 24s K = 0s(s+3)(s+8)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是K 0 ；系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是11 24K = K 0；主子行列式為 糾=21 0 ；1 80結(jié)論：滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，所以該系統(tǒng)穩(wěn)定。(2)系統(tǒng)特征方程為 s4 - 20s3 75s2 - 250s 25 0所有項系數(shù)1, 20, 75，250, 250大于0；202500赫爾維茨主行列式為占=1752500；020250各階主子行列式為2025075結(jié)論：滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，所以該系統(tǒng)穩(wěn)定

5、5 7解：iljIm(b)(a) 題為1型系統(tǒng)，則在原點的開環(huán)極點數(shù)為Q開=1,開環(huán)傳遞函數(shù)不含右半平面極點，則P開=0。繪制輔助線：以原點為圓心、無窮大為半徑，起于實軸順時針旋轉(zhuǎn)90 *Q開=90與奈氏曲線起點相連成圭寸閉曲線。計算奈氏曲線 與(-1，j0 )點沿反時針方向所引射線的正負(fù)穿次：順時針穿次數(shù) b=1，逆時 針穿次數(shù)為a=0,貝U系統(tǒng)閉環(huán)在右半平面的極點數(shù) P閉=卩開-2(a-b) =2。結(jié)論：該系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個特征根在 S平面的右半平面。(b) 題為2型系統(tǒng)，則在原點的開環(huán)極點數(shù)為 Q開=2,開環(huán)傳遞函數(shù)不含 右半平面極點，則P開=0。繪制輔助線：以原點為圓心、無窮大為半徑，

6、起于 實軸順時針旋轉(zhuǎn)90 *Q開=90 *2=180與奈氏曲線起點相連成圭寸閉曲線。計 算奈氏曲線與(-1，j0 )點沿反時針方向所引射線的正負(fù)穿次：順時針穿次 數(shù)b=1,逆時針穿次數(shù)為a=1,則系統(tǒng)閉環(huán)在右半平面的極點數(shù) P閉=P開-2(a-b) =0。結(jié)論：該系統(tǒng)穩(wěn)定，所有特征根在 S平面的左半平面。解：(a)奈氏曲線起于實軸，故為0型系統(tǒng)，則在原點的開環(huán)極點數(shù)為 Q開=0， 不需加輔助線。開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面極點數(shù)為P開=2。計算奈氏曲線與(-1，j0 )點沿反時針方向所引射線的正負(fù)穿次：順時針穿次數(shù) b=1，逆時針 穿次數(shù)為a=0。貝U系統(tǒng)閉環(huán)在右半平面的極點數(shù) P閉=P開-2 (a

7、-b) =4。結(jié)論：該系統(tǒng)不穩(wěn)定，有4個特征根在S平面的右半平面。(b) 奈氏曲線起于實軸，故為0型系統(tǒng)，則在原點的開環(huán)極點數(shù)為 Q開=0,不需加輔助線。開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面極點數(shù)為P開=2。計算奈氏曲線與(-1 , j0 )點沿反時針方向所引射線的正負(fù)穿次：順時針穿次數(shù)b=0,逆時針穿次數(shù)為a=1。則系統(tǒng)閉環(huán)在右半平面的極點數(shù) P閉=P開-2 (a-b) =0。結(jié)論：該系統(tǒng)穩(wěn)定，所有特征根在 S平面的左半平面。(c) 奈氏曲線起于實軸，故為0型系統(tǒng)，則在原點的開環(huán)極點數(shù)為 Q開=0,不需加輔助線。開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面極點數(shù)為P開=1。計算奈氏曲線與（-1，j0 ）點沿反時針方向所引射線的

8、正負(fù)穿次：順時針穿次數(shù) b=1，逆時針 穿次數(shù)為a=0.5 （起于射線為半穿）。則系統(tǒng)閉環(huán)在右半平面的極點數(shù) P閉=P開 -2（ a-b） =1-2（ 0.5-1） =2。結(jié)論：該系統(tǒng)不穩(wěn)定，有2個特征根在S平面的右半平面。5 9解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為：G（jT=冷方法一：對應(yīng)的相角與幅值條件為:1G（j J = -180 tg a Gj)=(a )21-2依據(jù)相角裕量和穿越頻率的計算公式得:F41Y =180 +NG（j%） =tg a%|岳縱）2+1Gjc）| =2 =1=452 -ca% =1仲c)2 +1 =呎4=c =2=，c =1.19a 10.841.19方法二：依據(jù)相角裕量和幅

9、值在不同頻段的近似計算公式得:勺=180 ： + NG（j 時 c） =tg*a 灼 c =451120lg 2()L( ) =20lgG(j )aaa,120lg 廠 20lg()aa c =1L( c) =0 二旦=1 -ca 1注:穿越頻率剛好在轉(zhuǎn)折頻率處，計算誤差較大。 若穿越頻率遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)折 頻率時，計算精度較咼。(2)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為:G(j )K3(0.01 j-1)對應(yīng)的相角與幅值條件為:G(j ) =tg J0.01 G(j )K3(0.01 )2 1220 lg20 lgKK(0.01 )(亡 100)(，-100)依據(jù)相角裕量和穿越頻率的計算公式得:勺=180 + NG(j

10、cOc) =180：3tg0.01縱=45：KG (j 時 c) =3 = 1.(0.01%)2 +120.01 嘰=1K =(0.01c)212二飛=100 二 K 2.83可能注:若采用折線近似計算方法，由于穿越頻率剛好在轉(zhuǎn)折頻率處, 產(chǎn)生的計算誤差較大。5 10解：j -(0.2j-1)(0.051)(1) 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為：G(j )對應(yīng)的相角與幅值條件為:1 1_G(j，) - -90 -tg 0.2 -tg 0.05，L()20lgK20lgK 0.2 (，0二 00.004KK=100 時,所以K=10時，系統(tǒng)穩(wěn)定，可以計算相角裕量與幅值裕量; 系統(tǒng)不穩(wěn)定，不存在相角裕量與幅值

11、裕量。(4) 計算K=10時系統(tǒng)相角裕量與幅值裕量：計算穿越頻率20lg（，乞 5）L(怕)叱 20lg20lg(5 乞 50)0.2100.2 0.02 _50)根據(jù)穿越頻率所在頻段得:10L ( c) = 20 lg0軋0.2c 10 1 = .50 00.2K 1.20 . K : 6。該系統(tǒng)在 K=2時，系統(tǒng)穩(wěn)定，在K=20時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。(3) 計算K=2穩(wěn)定系統(tǒng)的相角裕量和幅值裕量 計算穿越頻率20lg-o2(y)L(豹)畑 20lg（1 二，了 二 5）20lg02：5)根據(jù)穿越頻率所在頻段得:2L ( c) = 20 lg0嘰尬C 2 1 = 2 -1.41灼Cc計算相角裕量1

12、 1= 180 G(j c) =180 -90 -tg -tg _0.2 c -1 1 =90 -tg 1.41 -tg (0.2 1.41)=90 -54.66 -15.75= 19.59相角等于-180時的角頻率G(j)二 -90 -tg0.2 r -tg，r = -18011Qtg 0.2 tg r = 901 - 0.2； r =0r = 5 二 2.24計算幅值裕量kg二-L( 1) ： -20 lg二-20 lg 2 二 7.96 dB1 _155 13解：（1）繪制開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖兩個積分環(huán)節(jié)；兩個一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率分別為 5、50；兩個一階慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率分別為 20

13、0、1000;（2）系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析：從Bode圖上看出，無論K值增大或減小，只使系統(tǒng)的幅頻特性曲線上下移動，但相頻特性曲線不變。由于該系統(tǒng)相頻特性曲線在-180線上方,且與-180線無交點，因此，該系統(tǒng)的幅值裕量始終為無窮，相角裕量始大 于零，所以無論K何值系統(tǒng)均穩(wěn)定。題5-13圖5 14解：(1)穩(wěn)定性分析： 系統(tǒng)特征方程為Ks(1 0.01s)(1 0.2s)=0.002s3 0.21s2 s K = 0系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是0 K : 105 該系統(tǒng)在K=10、20、40三種情形下均穩(wěn)定(2)計算K=10時，系統(tǒng)的相角裕量： 計算穿越頻率根據(jù)折線的幅值計算公式得：(乞 5)L) =

14、*20lg20lg-0.210(5 _100)-100)1020lg -co100c(5 一 _100)L(c) =20lg 蛍c 0.2；：c = 50 = 7.07計算相角裕量= 180 G(j ) =180 -90 -tg0.2 c -tg0.01 c3.11.:=90 -tg 0.2 7.07 -tg 0.01 7.07 =90 -54.66 -4.04 =31.3(3) 計算K=20時，系統(tǒng)的相角裕量：計算穿越頻率20L( c)=20lg0(57 100)國 c 0.2)cc 二 100 =10計算相角裕量事*0O-Od4= 180 G(j ) =180 -90 -tg0.2 c-tg 0.01 cs 11-=90 -tg 0.2 10-tg 0.01 10 = 20.86(4) 計算K=40時，系統(tǒng)的相角裕量：計算穿越頻率40L( c)=20lg0(5 乞100) c0.2cc = 200 =14.14計算相角裕量fLjO_OO彳d-180 G()=180 -90 -tg “0.2 ctg 0.01 c=90 -tg 0.2 14.14-tg 0.01 1