力矩功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理

1、4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 第一節(jié) 4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 力的空間累積效應(yīng)：力的空間累積效應(yīng)： 力的功、動(dòng)能、動(dòng)能定理力的功、動(dòng)能、動(dòng)能定理 力矩的空間累積效應(yīng)：力矩的空間累積效應(yīng)： 力矩的功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、動(dòng)能定理力矩的功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、動(dòng)能定理 4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 力力 的元功的元功 力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的功用力矩的功來(lái)計(jì)算力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的功用力矩的功來(lái)計(jì)算 若在某變力矩 的作用下，剛體由 轉(zhuǎn)到 ， 作的總功為作的總功為 二、力矩的

2、功率二、力矩的功率 一力矩作功一力矩作功 4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 剛體中任一質(zhì)元 的速率 該質(zhì)元的動(dòng)能 對(duì)所有質(zhì)元的動(dòng)能求和 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J J 得得 4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 回憶質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 由由 力矩的元功力矩的元功 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 則則 合外力矩的功合外力矩的功轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量 稱為 四、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理四、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 2021-5-76 含平動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題 機(jī)械 外 力 非保守內(nèi)力 力矩 力矩 動(dòng)勢(shì) 動(dòng)勢(shì) 平動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)

3、轉(zhuǎn)動(dòng) 系統(tǒng)（輪、繩、重物、地球）左例 忽略 摩擦 外 力 力矩 非保守內(nèi)力矩 力 平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)勢(shì)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)勢(shì) 可求 或 此外 勢(shì) 力矩功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 例例1 留聲機(jī)的轉(zhuǎn)盤繞通過(guò)盤心垂直盤面的留聲機(jī)的轉(zhuǎn)盤繞通過(guò)盤心垂直盤面的 軸以角速率軸以角速率 作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)放上唱片后，唱片將作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)放上唱片后，唱片將 在摩擦力作用下隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)設(shè)唱片的半徑在摩擦力作用下隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)設(shè)唱片的半徑 為為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，它與轉(zhuǎn)盤間的摩擦系數(shù)為，它與轉(zhuǎn)盤間的摩擦系數(shù)為 ，求：，求： ( (1) )唱片與轉(zhuǎn)盤間的摩擦力矩；唱片

4、與轉(zhuǎn)盤間的摩擦力矩； ( (2) )唱片達(dá)到角速唱片達(dá)到角速 度度 時(shí)需要多長(zhǎng)時(shí)間；時(shí)需要多長(zhǎng)時(shí)間；( (3) )在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤的在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤的 驅(qū)動(dòng)力矩做了多少功？驅(qū)動(dòng)力矩做了多少功？ 4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 R lr R mg fdd d 2 o 解解 ( (1) ) 如圖取面如圖取面 積元積元ds = drdl，該面元，該面元 所受的摩擦力為所受的摩擦力為 此力對(duì)點(diǎn)此力對(duì)點(diǎn)o的力矩為的力矩為 lrr R mg frdd d 2 r dr dl f d 4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)

5、能定理 于是，在寬為于是，在寬為dr的的 圓環(huán)上，唱片所受的摩圓環(huán)上，唱片所受的摩 擦力矩為擦力矩為 )2(d d 2 rrr R mg M Rmgrr R mg M 3 2 d 2 R 0 2 2 rr R mg d 2 2 2 R r dr dl f d o 4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 ( (3) ) 由由 可得在可得在 0 到到 t 的時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為的時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為 ( (2) ) 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律求由轉(zhuǎn)動(dòng)定律求 ，( (唱片唱片J=mR2/2) R g J M 3 4 g R t 4 3 g R 8 3 2 （作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)）（作

6、勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)） 2 2 0 2 驅(qū)動(dòng)力矩做的功為驅(qū)動(dòng)力矩做的功為 22 4 1 mRMW 由由 可求得可求得t 0 4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 例例2 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 l , 質(zhì)量為質(zhì)量為m 的竿可繞支點(diǎn)的竿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)一自由轉(zhuǎn)動(dòng)一 質(zhì)量為質(zhì)量為m、速率為、速率為v 的子彈射的子彈射 入竿內(nèi)距支點(diǎn)為入竿內(nèi)距支點(diǎn)為a 處，使竿的處，使竿的 偏轉(zhuǎn)角為偏轉(zhuǎn)角為30o . 問(wèn)子彈的初速問(wèn)子彈的初速 率為多少率為多少? ? 解子彈、竿組成一系統(tǒng)，應(yīng)用角動(dòng)量守恒解子彈、竿組成一系統(tǒng)，應(yīng)用角動(dòng)量守恒 ) 3 1 ( 22 malmamv o a m v

7、30 22 3 3 maml am v 4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 o a m v 30 mamalmmalmg6)3)(2)(32( 22 v 222 ) 3 1 ( 2 1 malm )30cos1 ( 2 o l gm)30cos1 ( o mga 射入竿后，以子彈、細(xì)射入竿后，以子彈、細(xì) 桿和地球?yàn)橄到y(tǒng)，桿和地球?yàn)橄到y(tǒng)，E E =常量常量 4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 作作 業(yè)業(yè)第第144頁(yè)頁(yè) 4 - 30 4 - 314 - 36 2021-5-714 第 四 章 剛 體 的 轉(zhuǎn) 動(dòng)

8、 力矩功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 2021-5-715 一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué) 二、力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律二、力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律-轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 )()(ttt角位移角位移 )(t 角坐標(biāo)角坐標(biāo) tt t d d lim 0 角速度矢量角速度矢量 方向方向: :右手螺旋方向右手螺旋方向 P(t+dt) z . O x P(t) r . d t er v 2 rara nt n 2 t erera 1、力矩力矩M的概念的概念. . FrM 上式中, 是力的是力的作用點(diǎn)相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的位矢 r 角加速度角加速度 tt 2 2 d d d d 力矩功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 2021

9、-5-716 t JJM d d 3、轉(zhuǎn)動(dòng)定理轉(zhuǎn)動(dòng)定理. . 2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. . 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量,它定義為 2 j j jr mJ mrJd 2 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與以下三個(gè)因素有關(guān)：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與以下三個(gè)因素有關(guān)： iii）與轉(zhuǎn)軸的位置）與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)有關(guān) i）與剛體的體密度）與剛體的體密度 有關(guān)有關(guān) ii）與剛體的幾何形狀及體密度）與剛體的幾何形狀及體密度 的分布有關(guān)的分布有關(guān) 平行軸定理: 2 mdJJ CO d C O m 力矩功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 2021-5-717 三、力矩的時(shí)間累積作用三、力矩的時(shí)間累積作用 2、角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理. . 1

10、、角動(dòng)量角動(dòng)量. . 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 prL 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量 JL t L M d d 微分形式 12 d 2 1 LLtM t t 沖量矩沖量矩 tM t t d 2 1 積分形式 沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理 力矩功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 2021-5-718 3、角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律. . 若作用于物體的合外力矩 ,則角動(dòng)量守恒: 0M恒矢量L 對(duì)質(zhì)點(diǎn)有:恒矢量 mrL 對(duì)剛體有: 恒矢量 JL 三、力矩的空間累積作用三、力矩的空間累積作用 1、力矩作功力矩作功. . 在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下,若剛體受到的力矩為M,角位移為d, 則M作的元功為 MddW 0

11、Md W 若剛體轉(zhuǎn)過(guò)角, M作功為 力矩的功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、動(dòng)能定理力矩的功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、動(dòng)能定理 力矩功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 2021-5-719 3、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理. . 2、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能. . 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能 2 2 1 JEK J和分別是剛體的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量和角速度 2 1 2 2 2 1 2 1 d 2 1 JJMW 合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量 力矩功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 2021-5-720 4、剛體系統(tǒng)的功能原理剛體系統(tǒng)的功能原理. . 對(duì)于包含有剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的系統(tǒng),機(jī)械能守恒定律仍然成立 機(jī)械 外 力 非保守內(nèi)力 力矩 力矩

12、動(dòng)勢(shì) 動(dòng)勢(shì) 平動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng) 5、剛體系統(tǒng)的機(jī)械能定恒剛體系統(tǒng)的機(jī)械能定恒. . 外 力 非保守內(nèi)力 力矩 力矩 常量 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能系統(tǒng)勢(shì)能 EEE 力矩功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 2021-5-721 （1）考試重點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)及剛體繞質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)及剛體繞 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量守恒定律。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量守恒定律。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí) 動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用 （2）課后P-143: 1-5選擇題； （3）課后布置的習(xí)題 力矩功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 第四章補(bǔ)充例題第四章補(bǔ)充例題 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 物理學(xué)物理學(xué)

13、第五版第五版 22 1一飛輪半徑為一飛輪半徑為0.2 m、轉(zhuǎn)速為、轉(zhuǎn)速為 150 rmin-1，因受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng)，因受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng) 30 s 停止轉(zhuǎn)動(dòng)試求：停止轉(zhuǎn)動(dòng)試求：( (1) )角加速度和角加速度和 在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；( (2) )制動(dòng)制動(dòng) 開始后開始后 t = 6 s 時(shí)飛輪的角速度；時(shí)飛輪的角速度；( (3) )t = 6 s 時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向 加速度和法向加速度加速度和法向加速度 第四章補(bǔ)充例題第四章補(bǔ)充例題 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 物理學(xué)物理學(xué) 第五版第五版 23 飛輪飛輪 30

14、 s 內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度 rad75 2 2 0 2 2 0 srad 6 t 解解 （1）,srad5 1 0 0 t = 30 s 時(shí)，時(shí)， 設(shè)設(shè)，飛輪作勻減速運(yùn)動(dòng)，飛輪作勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，時(shí)， t = 0 s 轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù) r5 .37 2 75 2 N 0 0 第四章補(bǔ)充例題第四章補(bǔ)充例題 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 物理學(xué)物理學(xué) 第五版第五版 24 （2）s6t 時(shí)，飛輪的角速度時(shí)，飛輪的角速度 1 0 srad4)6 6 5( t （3）s6t時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度大小時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度大小 2 sm52420 .rv 該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度該點(diǎn)

15、的切向加速度和法向加速度 2 t sm1050) 6 (20 .ra 222 n sm631)4(20 .ra 第四章補(bǔ)充例題第四章補(bǔ)充例題 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 物理學(xué)物理學(xué) 第五版第五版 25 2 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)棒，的均勻細(xì)棒， 可在水平桌面上繞通過(guò)其一端的豎直固定軸可在水平桌面上繞通過(guò)其一端的豎直固定軸 轉(zhuǎn)動(dòng)，已知細(xì)棒與桌面的摩擦因素為轉(zhuǎn)動(dòng)，已知細(xì)棒與桌面的摩擦因素為 ,求求 棒轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到的摩擦力矩的大小棒轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到的摩擦力矩的大小 x o dx x 第四章補(bǔ)充例題第四章補(bǔ)充例題 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 物理學(xué)物理學(xué) 第五版第五版 26

16、 解解 x l m mdd )d(dmgxM mgLxx l mg mgxM L 2 1 dd 0 x o dx x 第四章補(bǔ)充例題第四章補(bǔ)充例題 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 物理學(xué)物理學(xué) 第五版第五版 27 3 如圖：一定滑輪兩端分別懸掛質(zhì)量如圖：一定滑輪兩端分別懸掛質(zhì)量 都是都是m的物塊的物塊A和和B，圖中，圖中R和和r，已知滑輪，已知滑輪 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，求，求A、B兩物體的加速度及兩物體的加速度及 滑輪的角加速度滑輪的角加速度 解解 Ra ra JrFRF mamgF maFmg 2 1 TT 1T 2T 12 1 2r R F 1 T F 2 T FT1 FT2

17、mgmg A B 第四章補(bǔ)充例題第四章補(bǔ)充例題 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 物理學(xué)物理學(xué) 第五版第五版 28 解得解得 22 1 )( mrmRJ rRmgr ra 2T2 mamgF 22 2 )( mrmRJ rRmgR Ra 1T1 mamgF 22 )( mrmRJ rRmg 第四章補(bǔ)充例題第四章補(bǔ)充例題 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 物理學(xué)物理學(xué) 第五版第五版 29 5 一輕繩繞在有水平軸的定滑輪上，滑一輕繩繞在有水平軸的定滑輪上，滑 輪質(zhì)量為輪質(zhì)量為m，繩下端掛一物體，物體所受重，繩下端掛一物體，物體所受重 力為力為G, 滑輪的角加速度為滑輪的角加速度為1，若將物體去

18、掉，若將物體去掉 而以與而以與G相等的力直相等的力直 接向下拉繩子，滑輪接向下拉繩子，滑輪 的角加速度的角加速度2 將將 ( (A) ) 不變不變 ( (B) ) 變小變小 ( (C) ) 變大變大 ( (D) ) 無(wú)法判斷無(wú)法判斷 G 1 12 2 RR 第四章補(bǔ)充例題第四章補(bǔ)充例題 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 物理學(xué)物理學(xué) 第五版第五版 30 解解JGRJGR 22 選（選（C） JRFJRF T11T 12 T FG又 G 1 12 2 FT G FT RR 第四章補(bǔ)充例題第四章補(bǔ)充例題 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 物理學(xué)物理學(xué) 第五版第五版 31 6輕繩一端輕繩一端 系著質(zhì)量為系著質(zhì)量為m的質(zhì)的質(zhì) 點(diǎn)，另一端穿過(guò)光點(diǎn)，另一端穿過(guò)光 滑水平桌面上的小滑水平桌面上的小 孔孔O用力拉著，質(zhì)用力拉著，質(zhì) 點(diǎn)原來(lái)以等速率作半徑為點(diǎn)原來(lái)以等速率作半徑為r 的圓周運(yùn)動(dòng)，問(wèn)的圓周運(yùn)動(dòng)，問(wèn) 當(dāng)拉動(dòng)繩子向正下方移動(dòng)到半徑為當(dāng)拉動(dòng)繩子向正下方移動(dòng)到半徑為r