洛倫茲變換的詳細推導(dǎo)

1、精心整理第三節(jié)洛倫茲變換式教學(xué)內(nèi)容：1. 洛倫茲變換式的推導(dǎo)；2. 狹義相對論的時空觀：同時性的相對性、長度的收縮和時間的延緩; 重點難點：狹義相對論時空觀的主要結(jié)論。 基本要求：1. 了解洛倫茲坐標變換和速度變換的推導(dǎo)；2. 了解狹義相對論中同時性的相對性以及長度收縮和時間延緩概念；X 一 Vt3. 理解牛頓力學(xué)中的時空觀和狹義相對論中的時空觀以及兩者的差異。 、洛倫茲坐標變換的推導(dǎo)X vtt - VX C2t vx c211 =Ji-（V/C）2據(jù)狹義相對論的 兩個基本假設(shè)來推導(dǎo)洛侖茲變換式。1. 時空坐標間的變換關(guān)系作為一條公設(shè)，我們認為時間和空間都是 均勻的，因此時空坐標間的變換必須是

2、線性 的。對于任意事件P在S系和S系中的時空坐 標(x，y，z，t) (x，y，z，t)，因 S相對于 S 以平行于x軸的速度v作勻速運動，顯然有 y=y,z=z o在S系中觀察S系的原點，x=0;在S系 中觀察該點，x=-vt，即x+vt=0。因此X=X+Vt。在任意的一個空間點上，可以設(shè)：x=k (x+vt) ， k是一比例常數(shù)。同樣地可得到：x=k( X-Vt) =k (X+ (-v)t)根據(jù)相對性原理，慣性系S系和S系等價，上面兩個等式的形式就應(yīng)該相同(除正、負號)， 所以k=k。2. 由光速不變原理可求出常數(shù)k精心整理?毀光信號在S系和S系的原點重合的瞬時從重合點沿 x軸前進，那么在

3、任一瞬時t (或t),光 信號到達點在S系和S系中的坐標分別是：x=ct,x=ct，貝k 二由此得到x =這樣，就得到x- vtJi -（v/c）2由上面二式，消去X得到t 二;若消去x得到，綜合以上結(jié)果,設(shè)物體在s、s系中的的速度分別為 Ux,Uy,Uz， dt 1 - vux c2-v，即：dy/dW-vux/c2)Ux,Uy,Uz，根據(jù)洛侖茲變換式可得:dxUx - v dt因此：dtvc2UxUx 一 V1 - VUx c2因 y=y,z=z，有 dy=dy,dz=dz 貝Udy dt-（v/c）2Uy，即Uy1 - VUx c2t - vx c2Ji -（VC）2就得到洛侖茲變換，或

4、洛侖茲反變換 可見洛侖茲變換是兩條基本原理的直接結(jié)果 3.討論(1) 可以證明，在洛侖茲變換下，麥克斯韋方程組是不變的，而牛頓力學(xué)定律則要改變。故麥克斯韋方程組能夠用來描述高速運動的電磁現(xiàn)象，而牛頓力學(xué)不適用描述高速現(xiàn)象，故它有一定的適用范圍。(2) 當|v/c|vv1時，洛侖茲變換就成為伽利略變換，亦即后者是前者在低速下的極限情形。故 牛頓力學(xué)僅是相對論力學(xué)的特殊情形一低速極限。四、相對論速度變換公式洛侖茲變換是事件的時空坐標在不同慣性系之間的關(guān)系，根據(jù)洛侖茲變換可以得到狹義相對論的速度變換公式。Uz1 - vux c2UxUx 一 v1 - VUx c2UyUzUz21 - vUx cUz

5、同理： 因此得相對論的速度變換公式:其逆變換為:精心整理UxUxvuxuy1 VUx c2 3Uz-(v/c)2Uz1 vux c2討論（1）當速度u、v遠小于光速c時，即在非相對論極限下，相對論的速度變換公式即轉(zhuǎn)化為伽利略速度變換式Ux 一 Ux 一 V。（2）利用速度變換公式，可證明光速在任何慣性系中都是c。證明：設(shè)S系中觀察者測得沿x方向傳播的一光信號的光速為c,在S系中的觀察者測得該光Ux信號的速度為：二 c，即光信號在S系和S系中都相同第四節(jié)狹義相對論的時空觀?同時的相對性1概念狹義相對論的時空觀認為：同時是相對的。即在一個慣性系中不同地點同時發(fā)生的兩個事件， 在另一個慣性系中不一定

6、是同時的。例如：在地球上不同地方同時出生的兩個嬰兒， 在一個相對地球高速飛行的飛船上來看， 他們 不一定是同時出生的。P。當燈發(fā)出閃光時:如圖設(shè)S系為一列長高速列車，速度向右，在車廂正中放置一燈S系的觀察者認為，閃光相對他以相同速率傳播，因此同時到達A、B兩端；S系（地面上）的觀察者認為，A與光相向運動（v、c反向），B與光同向運動，所以光 先到達A再到達B，不同時到達。結(jié)論：同時性與參考系有關(guān) 一這就是同時的相對性。假設(shè)兩個事件P1和P2,在S系和S系中測得其時空坐標為： 由洛倫茲變換得：在S系和S系中測得的時間間隔為 2匕 和（t2-t1），它們之間的關(guān)系為： 可見，兩個彼此間作勻速運動的

7、慣性系中測得的時間間隔，一般來說是不相等的。2.討論（1）在S系中同時發(fā)生：t2=t 1，但在不同地點發(fā)生，x2 - x1，則有： 這就是同時的相對性。精心整理（4）上述情況是相對的。同理在 S系中不同地點同時發(fā)生的兩個事件，在 S系看來同 樣也是不同時的。（5）當V C時，t，回到牛頓力學(xué)。二、長度收縮（洛倫茲收縮） 假設(shè)一剛性棒AB靜止于S系中I = 2 1，在S系中同時b = t2二t測量得I = X2 - Xi 由洛倫茲坐標變換式：得：即 I 訂（1 - vc21固有長度觀察者與被測物體相對靜止時，長度的測量值最大，稱為該物體的固有長度（或原長），用Io表示。即2洛倫茲收縮（長度縮短）觀察者與被測物體有相對運動時，長度的測量值等于其原長的1- Vc 倍，即物體沿運 動方向縮短了，這就是洛倫茲收縮（長度縮短）。