應用二元一次方程組(基礎(chǔ))知識講解

1、樂博思應用二元一次方程組（基礎(chǔ)）知識講解【學習目標】1以含有多個未知數(shù)的實際問題為背景，經(jīng)歷“分析數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列方程組，解方程組和檢驗結(jié)果”的過程，體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界中含有多個未知數(shù)問題的數(shù)學模型；2熟練掌握用方程組解決雞兔同籠，增收節(jié)支，里程碑上的數(shù)等實際問題.【要點梳理】要點一、常見的一些等量關(guān)系1.和差倍分問題：增長量原有量增長率 較大量較小量多余量，總量倍數(shù)倍量.2.增收節(jié)支問題：（1）增長（遞減）率公式：原來的量（1+增長率）=后來的量； 原來的量（1-遞減率）=后來的量； （2）利潤公式：利潤=總收入-總支出 ；利潤售價成本(或進價)成本利潤率；標價成本(或進價)(1

2、利潤率)（3）銀行利率公式：利息=本金利率期數(shù).本息和（本利和）本金利息本金本金利率期數(shù)本金(1利率期數(shù)) .年利率月利率12.月利率年利率.要點詮釋： 增收節(jié)支問題常常借助列表分析問題中所蘊涵的數(shù)量關(guān)系，這種方法清晰明了，能夠充分突出解題過程3.行程問題： 速度時間=路程.順水速度=靜水速度+水流速度.逆水速度=靜水速度-水流速度.4.數(shù)字問題：已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a要點二、實際問題與二元一次方程組1.列方程組解應用題的基本思想 列方程組解應用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已

3、知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的等量關(guān)系一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：方程兩邊表示的是同類量：同類量的單位要統(tǒng)一；方程兩邊的數(shù)要相等.2.列二元一次方程組解應用題的一般步驟：設(shè)：用兩個字母表示問題中的兩個未知數(shù)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值；驗：檢驗求得的值是否正確和符合實際情形；答：寫出答案要點詮釋：（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；

4、（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應該列出幾個方程并組成方程組.【典型例題】類型一、雞兔同籠問題1. （2016茂名）我國古代數(shù)學名著孫子算經(jīng)中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知1匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，問有多少匹大馬、多少匹小馬？若設(shè)大馬有x匹，小馬有y匹，那么可列方程組為（）abcd【思路點撥】設(shè)有x匹大馬，y匹小馬，根據(jù)100匹馬恰好拉了100片瓦，已知一匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，列方程組即可【答案與解析】解：設(shè)有x匹大馬，y匹小馬，根據(jù)題意得，故選c【總結(jié)升華】本題考查了二元一次方程的應用，利用二元一次方程組求解的應用題一般情況下題中要給出2

5、個等量關(guān)系，準確的找到等量關(guān)系并用方程組表示出來是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】根據(jù)圖中所給出的信息，求出每個籃球和每個羽毛球的價格. 【答案】解：設(shè)每個籃球元，每個羽毛球元.根據(jù)題意列方程組： 解得 答：每個籃球20元，每個羽毛球2元.類型二、增收節(jié)支問題2.（2015北京）九章算術(shù)是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架它的代數(shù)成就主要包括開方術(shù)、正負術(shù)和方程術(shù)其中，方程術(shù)是九章算術(shù)最高的數(shù)學成就九章算術(shù)中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩問：牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩問：每頭牛、每只羊各值金多少

6、兩？”設(shè)每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，可列方程組為 【思路點撥】由實際問題抽象出二元一次方程組菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有根據(jù)“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩”，得到等量關(guān)系，即可列出方程組【答案與解析】解：根據(jù)題意得：.【總結(jié)升華】考查了由實際問題抽象出二元一次方程組的能力，解決本題的關(guān)鍵是找到題目中所存在的等量關(guān)系舉一反三【變式】小明想開一家時尚點專賣店，開店前他到其它專賣店調(diào)查價格他看中了一套新款春裝，成本共500元，專賣店店員告訴他在上市時通常將上衣按50的利潤定價，褲子按40的利潤定價.由于新年將至，節(jié)日優(yōu)惠，在實際出售時，為吸引顧客，兩件服裝均按9折出售，這樣專賣店

7、共獲利157元，小明覺得上衣款式好，銷路會好些，想問問上衣的成本價，但店員有事走開了，你能幫助他嗎？【答案】上衣成本褲子成本500元上衣利潤褲子利潤157元分析：設(shè)上衣的成本價為元，褲子的成本價為元：成本（元）實際售價（元）利潤（元）上衣x褲子y解：設(shè)上衣的成本價為x元，褲子的成本價為y元，則上衣利潤為 元，褲子利潤為0.9(1+40%)y-y元，依題意得整理得: 26,得9x=2700, x =300.把其代入，得y=500300=200答：上衣成本300元，褲子成本200元.3. 蔬菜種植專業(yè)戶徐先生要辦一個小型蔬菜加工廠，分別向銀行申請了甲，乙兩種貸款，共13萬元，徐先生每年須付利息60

8、75元，已知甲種貸款的年利率為6%，乙種貸款的年利率為3.5%，則甲，乙兩種貸款分別是多少元？【思路點撥】本題的等量關(guān)系：甲種貸款+乙種貸款13萬元；甲種貸款的年利息+乙種貸款的年利息6075元.【答案與解析】解：設(shè)甲，乙兩種貸款分別是x，y元，根據(jù)題意得：解得：答：甲，乙兩種貸款分別是61000元和69000元【總結(jié)升華】利息貸款金額利息率.類型三、里程碑上的數(shù)（數(shù)字問題）4.有一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)比十位上的數(shù)大5，如果把這兩個數(shù)的位置對換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，求這個兩位數(shù)【思路點撥】本題中的等量關(guān)系：個位上的數(shù)十位上的數(shù)5；原數(shù)+新數(shù)143【答案與解析】解：設(shè)原來的兩位數(shù)中

9、，個位上的數(shù)字為x，十位上的數(shù)字為y則原數(shù)為10y+x，把這兩個數(shù)的位置對換后，所得的新數(shù)為10x+y，根據(jù)題意，得：，解方程組，得故這個兩位數(shù)為10y+x104+949答：這個兩位數(shù)為49【總結(jié)升華】對于兩位數(shù)、三位數(shù)的數(shù)字問題，關(guān)鍵是明確它們與各數(shù)位上的數(shù)字之間的關(guān)系：兩位數(shù)十位數(shù)字10+個位數(shù)字；三位數(shù)百位數(shù)字100+十位數(shù)字10+個位數(shù)字【變式】（2015黑龍江）為推進課改，王老師把班級里40名學生分成若干小組，每小組只能是5人或6人，則有幾種分組方案（）a4b3c2d1【答案】解：設(shè)5人一組的有x個，6人一組的有y個，根據(jù)題意可得：5x+6y=40，當x=1，則y=（不合題意）；當x

10、=2，則y=5；當x=3，則y=（不合題意）；當x=4，則y=（不合題意）；當x=5，則y=（不合題意）；當x=6，則y=（不合題意）；當x=7，則y=（不合題意）；當x=8，則y=0；所以有2種分組方案故選：c類型四、行程問題5. a、b兩地相距480千米，一列慢車從a地開出，一列快車從b地開出 (1)如果兩車同時開出相向而行，那么3小時后相遇；如果兩車同時開出同向(沿ba方向)而行，那么快車12小時可追上慢車，求快車與慢車的速度各是多少？ (2)如果慢車先開出l小時，兩車相向而行，那么快車開出幾小時可與慢車相遇?【思路點撥】這兩個問題均可以利用路程、速度和時間之間的關(guān)系列方程(組)求解(1)“同時開出相向而行”可用下圖表示“同時開出同向而行”可用下圖表示(2)慢車先開出1小時，兩車相向而行，仿照（1）用示意圖表示出來，并用等式表示出來【答案與解析】解：(1)設(shè)快車和慢車的速度分別為x千米/時