求證全等三角形的幾種方法

1、求證全等三角形的幾種方法求證全等三角形的幾種方法課程解讀一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：歸納、掌握三角形中的常見輔助線二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：1、全等三角形的常見輔助線的添加方法。2、掌握全等三角形的輔助線的添加方法并提咼解決實(shí)際問題的能力。三、考點(diǎn)分析：全等三角形是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是今后學(xué)習(xí)其他知識(shí) 的基礎(chǔ)。判斷三角形全等的公理有 SAS ASA AAS SSS和HL,如果 所給條件充足，則可直接根據(jù)相應(yīng)的公理證明，但是如果給出的條件 不全，就需要根據(jù)已知的條件結(jié)合相應(yīng)的公理進(jìn)行分析，先推導(dǎo)出所缺的條件然后再證明。一些較難的證明題要構(gòu)造合適的全等三角形， 把條件相對集中起來，再進(jìn)行等量代換，就可以化難為易了

2、。典型例題人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理 和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。全等三角形輔助線找全等三角形的方法：(1) 可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段(或兩個(gè)角)分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；(2) 可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形全等；(3) 可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個(gè)三角形全等；(4) 若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法： 延長中線構(gòu)造全等三角形； 利用翻折，構(gòu)造全等三角形； 引平行線構(gòu)造全等三角形； 作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：(1) 遇到等腰

3、三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的 性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。例1:如圖， ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ ABC交AC于點(diǎn)D, CE垂直于BD交BD的xx于點(diǎn)E。求證：BD=2CE思路分析:1)題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用2)解題思路：要求證BD=2CE可用加倍法，延長短邊，又因?yàn)?有BD平分/ ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起 來。解答過程：證明：延長BA CE交于點(diǎn)F,在 BEF和 BECxxvZ 仁/ 2, BE二BE/ BEF玄 BEC=90 , BEF BEC 二 EF=EC 從而 CF=2CE

4、又 Z 1+Z F=Z 3+Z F=90,故Z 1=Z 3。在 ABD和 ACFxx vZ 1=Z 3, AB=ACZ BAD/ CAF=90 , ABD ACF BD=CF BD=2CE解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔 助線中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力，而且還加強(qiáng)了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和 不同知識(shí)領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開拓了一個(gè)廣闊的探索空間； 并且在 添加輔助線的過程中也蘊(yùn)含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的關(guān) 鍵。(2) 若遇到三角形的中線，可倍長中線，使xx段與原中線長相 等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。例2:如圖，已知 ABCxx AD是/BAC

5、的平分線，AD又是BC邊 上的xx線。求證： ABC是等腰三角形。思路分析:1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)。2）解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的 中點(diǎn)、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題 給出了 AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證 AB=AC可倍長 AD得全等三角形，從而問題得證。解答過程:證明：延長 AD到E,使DE=AD連接BEb又因?yàn)锳D是BC邊上的中線，二BD=DC又/ BDEM CDA BED CAD故 EB=ACM E=M2,v AD是/ BAC的平分線:丄仁/ 2,/ 1=M E,二AB=EB從而AB=AC 即卩A

6、ABC是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此 線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。(3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作 垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”， 所考知識(shí)點(diǎn) 常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。例3:已知，如圖，AC平分/ BAD CD=CB ABAD求證：M B+M ADC=180思路分析：1）題意分析：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。2）解題思路：因?yàn)锳C是/ BAD的平分線，所以可過點(diǎn)C作/ BAD的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。解答過程：證明：作 CELAB于E, CF1AD于F。v

7、 AC平分/ BAD CE=CF在 Rt CBE和 Rt CDFxx/ CE=CF CB=CD Rt CB聲 Rt CDF:丄 B二/ CDFv/ CDFy ADC=180 , / B+/ ADC=180。解題后的思考：見中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線(4) 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用 的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”例 4:如圖， ABCxx AB二AC E是 ABxx點(diǎn)，F(xiàn)是 ACxxxx點(diǎn),xxEF 交 BC于 D,若 EB=CF求證：DE=DF思路分析：1) 題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)： 作平行線。2) 解題思路：因?yàn)镈E DF所在的兩個(gè)三角

8、形 DEB與 DFC不 可能全等，又知EB=CF所以需通過添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量 代換：過E作EG/CF,構(gòu)造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三 角形的性質(zhì)，使問題得以解決。解答過程:證明：過E作EG/AC交BC于G則/ EGBh ACB又 AB=ACZ B=Z ACB:丄 B=Z EGB / EGDh DCF EB=EG=CFvZ EDBM CDF DGB A DCF/. DE=DF例 5:AABCxx Z BAC=60 , Z C=40 , AP平分Z BAC交 BC于 P,BQ平分Z ABC交 AC于 Q,求證：AB+BP二BQ+AQ思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔

9、助線的知識(shí)：作平行線。2）解題思路：本題要證明的是 AB+BP=BQ+AQ勢較為復(fù)雜,我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^ 0作BC的平行線。得AQO得到0D=0,AD=AQ只要再證出BD=O就可以了。解答過程：證明：如圖（1）,過0作ODI BC交AB于D,/ ADOhABC=180 60 40 =80,又 T/ AQOZ C+Z QBC=80 , / ADOZ AQO又 vZ DAOZ QAO OA=AO ADO AQO OD=OQ AD=AQ又 v ODI BP, Z PBOZ DOB又 vZ PBOZ DBO Z DBOZ DOB BD=OD又vZ

10、 BPAZ C+Z PAC=70 ,Z BOPZ OBAZ BAO=70 ,/ BOPh BPO BP=OB AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解題后的思考：(1)本題也可以在 ABxx截取AD=AQ xxOD構(gòu)造全等三角形，即“截長法”。(2)本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖(2),過O作OD/ BC交AC于。，則4 AD3A ABC從而得以解決。圖圖(2)如圖(3),過0作交AB于D,交直C于E, OJJAADOAAQO,AaboAae 0從而得UA解決口DpU圖(3)如圖，過P作PD#BQ交AB的延長線于D,則AAPDAAPCM而 得以解決.如圖(5

11、),過P作PD/ BQ交AC于。，則4 ABPA ADP從而得以解決小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法，體會(huì)添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。 從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實(shí)質(zhì)都是對三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。(5) 截長法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段 與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利 用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目例 6:如圖甲，AD/ BC 點(diǎn) E在線

12、段 ABxx, / ADE=/ CDE / DCEh ECB求證：CD=AD+BC圖甲思路分析:1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)： 截長法或補(bǔ)短法。2）解題思路：結(jié)論是CD二AD+BC可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的 “截長”，即在CDxx截取CF=CB只要再證DF二DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡化問題的目的。解答過程：6 = CB；ZFCE = BCECE=CE FCEA BCE( SAS ,/ 2=Z 1。又 T AD/ BC / ADC# BCD=180 , / DCE# CDE=90 ,/ 2+Z 3=90,/ 1+Z 4=90,3=/ 4。在厶 FDE

13、 ADExxDE = ZADE，DE 二 DEZ3 = Z4 FDEAADE（ASA ,/. DF=DAvCD=DF+CF.CD=AD+BC解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)， 一般 方法是截長法或補(bǔ)短法：截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條， 然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證 明新線段等于長線段。1）對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩 線xx和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個(gè)三角形中證明。2）在利用三角形xx關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證明不出 來，可連接兩點(diǎn)或延長某邊構(gòu)成三角形，

14、使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形 xx的不等關(guān)系證明。小結(jié)：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)下一講我們就要進(jìn)入八下的學(xué)習(xí)了，八下的第一章是分式。請同學(xué)們預(yù)習(xí)課本，并思考以下問題。1、分式的概念是什么？2、分式的乘除法的運(yùn)算法則是什么？同步練習(xí)（答題時(shí)間：90分鐘）這幾道題一定要認(rèn)真思考啊，都是要添加輔助線的，

15、開動(dòng)腦筋好好想一想吧！加油！你一定行！1、已知，如圖1,在四邊形 ABCDxxBdAB AD二DCBD平分/ ABC求證：/ BAD吃 BCD=180。2、已知，如圖2,2仁/2, P為BNxx點(diǎn)，且PDLBC于點(diǎn)D,AB+BC=2BD3、已知，如圖 3,在厶 ABCxx 2 C= 22 B, 2 1 = 2 2。求證：AB二AC+GD4已知，如圖4, D、E為ZiABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證；AB+ACBD+DE+CEb5、如圏5, AD為ABC的中線，求證：AB十AO2AD-仏 如圖6所示，AD是AABC的中綻，BE交AC于E，交AD于F，且AE=FK 求證；AC=BF.你熱愛生命嗎今那么別浪費(fèi)時(shí)間

16、，因?yàn)闀r(shí)間是組成生富命的材料-富蘭克棘試題答案1、分析：因?yàn)槠浇堑扔?80,因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的角通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長法或補(bǔ)短法”來實(shí)現(xiàn)。證明：過點(diǎn)D作DE垂直BA的xx于點(diǎn)E,作DF丄BC于點(diǎn)F,如圖1-2TFD平分酣在舟與曲 CDF,DE 二 DFAD=CDta Rt AD聲 Rt CDF(HL,/ DAEM DCF又/ BADM DAE=180 ,/ BADM DCF=180 ,即/ BADM BCD=1802、分析：與1相類似，證兩個(gè)角的和是180,可把它們移到一 起，讓它們成為鄰補(bǔ)角，即證明/ BCPM EA

17、P因而此題適用“補(bǔ)短” 進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造。證明：過點(diǎn)P作PE垂直BA的xx于點(diǎn)E，如圖2-2圖2*2/Z1=Z2,且卩刀丄乃。.PE=PD在用 FPE與曲 BPD中,PE=PDBP = BP.J?tA 遇昌用 BPD(iHL)fAB+BC=2BDt * AB+DOB DD8EE-AHAE. 在更AFE與沁GFD中，PE= PDMD+DE+NE在 BDMxx MB+MDBD在 CENxx CN+NECE由+得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC延長BD交AC于 F,延長CE交BF于G,在厶ABF GFCffiA GDE中有：ab+afb

18、d+dg+GfGF+FOGE+CE DG+GEDE由+得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+EC5、分析：要證 AB+AO2AD由圖想到：AB+BDADAC+CDAD所BD+CD故不能直以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2左邊比要證結(jié)論多 接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去圖5-2證明！延長AD至氐使連接BE, CE vadAabc的中線（已知）二BD=CD （中線定義）在厶ACDWAEBD中BD = CD C 已證）電Z1 =對頂角相等）AD = ED （輔助線作法） ACD2A EBD（ SAS二BE二CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）在厶ABE中有：AB+BEAE三角形兩邊之和大于第三邊）AB+AC2AD6、分析：欲證AC=BF只需證AC BF所在兩個(gè)三角形全等，顯然 圖中沒有含有AC BF的兩個(gè)全等三角形，而根據(jù)題目條件去構(gòu)造兩 個(gè)含有AC BF的全等三角形也并不容易。這時(shí)我們想到在同一個(gè)三 角形中等角對等邊，能夠把這兩條線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，只要說明轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形以后的這兩條線段，所對的