高考數(shù)學必備—高數(shù)—10寒—01—不等式的恒成立及有解問題—教師版

1、 在不等式的知識中，有一類問題是求參數(shù)在什么范圍內(nèi)不等式恒成立、恰成立及有解。這類條件下不等式參數(shù)的取值范圍問題，涉及的知識面廣，綜合性強，同時數(shù)學語言抽象，如何從題目中提取可借用的知識模塊往往捉摸不定，難以尋覓。這類問題綜合考查函數(shù)、方程和不等式的主要內(nèi)容，并且與函數(shù)的最值、方程的解和參數(shù)的取值范圍緊密相連。在分析這類問題中要注意區(qū)分不等式恒成立、能成立、恰成立：恒成立問題（關(guān)鍵詞：對所有，任意、恒）；能成立問題（關(guān)鍵詞：有解，存在，解集非空，能）；恰成立問題（關(guān)鍵詞：定義域，值域，方程有解）。解決這類題型常用的方法有：分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、判別式法、更換主元法、構(gòu)造函數(shù)的方法等等。一.不

2、等式恒成立1.變量分離：若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。這類題型的基本解題思路如下：（1） 將參數(shù)與變量分離，即化為（或）恒成立的形式；（2） 求在上的最大（或最小）值；（3） 解不等式 (或) ，得的取值范圍.【例1】當時，不等式恒成立，求的取值范圍.【難度】【答案】.【解析】 當時，由得.令，則易知在上是增函數(shù)，所以時，則.【例2】已知函數(shù)時恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【難度】【答案】【解析】將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立.令，則由可知在上為減函數(shù)，故即的取

3、值范圍為.【例3】已知時，不等式恒成立，求的取值范圍.【難度】【答案】【解析】令， 所以原不等式可化為：，要使上式在上恒成立，只須求出在上的最小值即可. .【鞏固訓(xùn)練】1.不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【難度】【答案】或【解析】設(shè)，易知函數(shù)的最小值是，由恒成立，即，解得或.2.已知不等式對于）恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 【難度】【答案】【解析】由得：對于）恒成立，因，所以，當時等號成立.所以有.3.設(shè)其中，如果時，恒有意義，求的取值范圍.【難度】【答案】【解析】如果時，恒有意義，對恒成立.恒成立.令，又則對恒成立，又在上為減函數(shù)，.2.利用二次函數(shù)的性質(zhì)對形如或在其定義域上的不等式

4、恒成立問題，若滿足二次函數(shù)的一般結(jié)構(gòu)，那不妨將題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在其定義域上的圖像在坐標系中與軸的高低比較。一般來講，對（或）在上恒成立問題，可以利用二次項系數(shù)及判別式進行討論；對（或）在（）上恒成立問題，常用分離參數(shù)法，有時，也可以選用判別式法。【例4】若不等式的解集是，求的范圍.【難度】【答案】【解析】要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數(shù)含有參數(shù)，所以要討論是否是0.（1）當時，元不等式化為20恒成立，滿足題意；（2）當時，只需，所以，.【例5】 已知，若恒成立，求的取值范圍.【難度】【答案】【解析】本題可以考慮的零點分布情況進行分類討論，分無零點、零點在區(qū)間的左側(cè)

5、、零點在區(qū)間的右側(cè)三種情況，即0或或.，即在上成立.（1） （2）或 綜上所述，.【鞏固訓(xùn)練】1.已知不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【難度】【答案】【解析】化簡得在R上恒成立.2.設(shè),當時，都有恒成立，求的取值范圍.【難度】【答案】-3，1【解析】在不等式中，若把移到等號的左邊，則原問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間恒成立問題.設(shè)，（1）當時，即時，對一切，恒成立；（2）當時由圖可得以下充要條件：即得，綜上所述：的取值范圍為-3，1.3.變換主元：在不等式的恒成立問題中，有一類題型是題中的參數(shù)如、等的范圍是已知的，而題要求的反而是變量的范圍。這類題型中，由于已知范圍的變量是以前我們所接觸的參數(shù)

6、，因而題中的函數(shù)結(jié)構(gòu)也就發(fā)生了改變，此時函數(shù)是以參數(shù)為自變量的函數(shù)。一般來說，我們在觀察這類恒成立問題時，哪個變量的范圍是已知的，哪個就是該函數(shù)的自變量?！纠?】對于滿足的所有實數(shù),求使不等式恒成立的的取值范圍.【難度】【答案】或【解析】在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：及,關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù).顯然可將視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關(guān)于的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.原不等式轉(zhuǎn)化為在時恒成立,設(shè),則在-2,2上恒大于0，故有：即解得：或此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點均在x軸上方（或下方）即可.【例7】若不等式

7、對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【難度】【答案】【解析】注意到對于恒成立是關(guān)于的一次不等式.不妨設(shè)，則在上單調(diào)遞減，則問題等價于，所以或，則取值范圍為.【鞏固訓(xùn)練】1.若不等式對滿足的所有都成立，求的范圍.【難度】【答案】【解析】將不等式化為：，；令，則時,恒成立，所以只需即，所以的范圍是.2.設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，如果不等式對于任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【難度】【答案】二.不等式能成立和恰成立1.能成立問題若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立，則等價于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立，則等價于在區(qū)間上的.【例8】存在實數(shù)，使得不等式有解，求k的取值范圍【難度】【答案】【解析】存在性問

8、題，變量分離，只需在區(qū)間 .【例9】已知函數(shù)，若定義域不為空集,試求的取值范圍.【難度】【答案】 或.【解析】的定義域非空,相當于存在實數(shù),使成立,的最大值大于0成立,解得或.【鞏固訓(xùn)練】1.存在實數(shù)，使得不等式有解，則實數(shù)的取值范圍為_.【難度】【答案】【解析】設(shè)，由有解，又，解得.2.已知函數(shù)，設(shè)，若存在，使，求的取值范圍.【難度】【答案】【解析】若存在，使，而，即，分離變量得，即，可得，綜上.2.恰成立問題若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為；若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為.【例10】不等式的解集為則=_.【難度】【答案】.【解析】恰成立問題，的兩根分別為，

9、根據(jù)韋達定理可解. .【例11】已知函數(shù)，若的解集為,試求的值. 【難度】【答案】.【解析】恰成立問題，的解集為,等價于不等式的解集為;于是有,這等價于方程的兩個根為2和3,于是可解得.【鞏固訓(xùn)練】1.已知函數(shù)，值域恰為，求的值.【難度】【答案】.【解析】恰成立問題，在的值域恰為，在 ，解得三.方程有解 含參方程有解，將參數(shù)視為主變元的函數(shù)，若能通過適當?shù)暮愕茸冃危狗匠桃欢嘶芍缓瑓?shù)的解析式，而另一端為與參數(shù)無關(guān)的主變元的函數(shù).轉(zhuǎn)化成求求出主變元函數(shù)的值域問題，則參數(shù)的取值范圍便可以確定了【例12】關(guān)于的方程有解，求實數(shù)的取值范圍【難度】【答案】【解析】分離參數(shù)，得 當時方程恒有解（時取“

10、”）【例13】方程在內(nèi)有兩個不同的實數(shù)解，則的取值范圍是 【難度】【答案】【解析】令，因為二次函數(shù)的圖像恒過定點，所以，解得【例14】若關(guān)于的方程有實根，則實數(shù)的取值范圍是 【難度】【答案】【解析】設(shè)，則，解得【例15】已知是實數(shù)，函數(shù)如果函數(shù)在區(qū)間上有零點，求實數(shù)的取值范圍.【難度】【答案】或.【解析】時，故在區(qū)間上有解在區(qū)間上有解在區(qū)間上有解的值域為即 即 或.【例16】已知方程中，問取何值時方程至少有一整數(shù)根【難度】【答案】【解析】原方程化為 不是原方程的根， 解得取整數(shù)的值只有-3，-1，0，1四個，對應(yīng)的的值為1，5，和1.當時，原方程至少有一個整數(shù)根【鞏固訓(xùn)練】1.方程 在有解，求

11、的取值范圍.【難度】【答案】2.如果關(guān)于的方程有實數(shù)根，那么實數(shù)的取值范圍是 .【難度】【答案】【解析】原方程通過變量分離化為，通過左右值域相等，來滿足方程有實根，令，求出的在的值域.3.關(guān)于的方程在有解，求的取值范圍.【難度】【答案】4.若方程在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍.【難度】【答案】當時，方程在上無解；當時，在有解，可求得函數(shù)在上的值域為，即，解得或綜上，實數(shù)的取值范圍是或5.若關(guān)于的方程中的為負整數(shù)，則使方程至少有一個整數(shù)解時的值是_?！倦y度】【答案】。分離常數(shù)得 。由題意，為負整數(shù)，故 整理得 ，又 為整數(shù)且，故 經(jīng)驗證 當時符合題意，相應(yīng)的 或。四任意與存在在考題中我們經(jīng)常見到

12、這么一類動態(tài)的函數(shù)、方程或不等式問題：對區(qū)間內(nèi)任意自變量，若命題成立，求參數(shù)取值范圍；或在區(qū)間內(nèi)存在一個自變量或兩個自變量，使命題成立，求參數(shù)范圍等等。對這類涉及多變量的問題，由于其問題自身的抽象性和隱蔽性，我們將其分為以下幾個類型：（1）任意型：對任意的，都有，則； 對任意的，都有，則；（2）任意型：若存在，使得，則； 若存在，使得，則；（3）“任意=存在”型：對任意的，存在，使得，則的值域是值域的子集，即；（4）“存在=存在”型：若存在，存在，使得，則的值域是的值域有非空交集，即；（5）“任意任意”型：對任意的，任意的，使得，則；對任意的，任意的，使得，則；（6）“任意存在”型：對任意的，

13、存在，使得，則；對任意的，存在，使得，則；（7）“存在存在”型：存在，存在，使得，則；存在，存在，使得，則；【例17】若對任意，都有，則的取值范圍是 ?！倦y度】【答案】【解析】題意等價于，令，則為減函數(shù)，于是，故【例18】存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍【難度】【答案】【解析】存在，使不等式可轉(zhuǎn)化為有解，則只需要，由于，則，故實數(shù)的取值范圍是【例19】設(shè)，若對于任意的，都有滿足方程，這時的取值范圍為 【難度】【答案】【解析】因為，所以，又，則，由題意可知，即，解得，故【例20】已知函數(shù)，若有，則的取值范圍為 【難度】【答案】【解析】因為的值域為，又有，即，解得【鞏固訓(xùn)練】1.已知函數(shù)，若對

14、任意，都有，求實數(shù)的取值范圍【難度】【答案】【解析】對任意的，都有，轉(zhuǎn)化為，題意等價于，令，且在上為減函數(shù)，故，故2.已知，對任意的，存在，使得，則的取值范圍是 【難度】【答案】【解析】由，可得的值域為，的值域是，又對任意的，存在，使得，則的值域包含的值域，即，則，解得，故3.已知函數(shù)，存在，使得成立，求的取值范圍【難度】【答案】【解析】存在，使得成立，則，的值域相交非空，的值域為，的值域為，則或，解得4.設(shè)函數(shù)（，且），判斷是否存在大于1的實數(shù)，使得對任意，都有，滿足等式，且滿足該等式的常數(shù)的取值唯一？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由。【難度】【答案】2【解析】令，由題意，所以單調(diào)

15、遞增，故在上的值域為，且單調(diào)遞減，故在上的值域為，要使得對任意，都有，滿足等式，則，即，要使?jié)M足不等式的常數(shù)唯一，必須，解得五綜合應(yīng)用方程在區(qū)間的解通過等價變形轉(zhuǎn)化成的解，進而進一步看成函數(shù)的圖像在上的函數(shù)圖像交點，同時方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖像交點個數(shù).當牽涉到方程解的個數(shù)時，一般的轉(zhuǎn)化成圖像交點個數(shù)比較簡單.對形如的復(fù)合函數(shù)問題，一般轉(zhuǎn)化為和分別畫出函數(shù)圖像再根據(jù)滿足條件的范圍來求解?！纠?1】函數(shù)，對于任意的，均存在，使得成立，求的取值范圍.【難度】【答案】【解析】設(shè)在區(qū)間上的值域為，在區(qū)間上的值域為，本題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的值域之間的關(guān)系，即需滿足.即綜上.【例22】函數(shù)的定義域為,若滿足在

16、內(nèi)是單調(diào)函數(shù),存在,使在上的值域為,那么叫做對稱函數(shù),現(xiàn)有是對稱函數(shù),那么的取值范圍是_.【難度】【答案】 【解析】，即可以看做關(guān)于x的方程在有兩個不等的實數(shù)根.【例23】已知函數(shù)（1）若，求的值；（2）若對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍。【難度】【答案】【解析】（1）時，；當時，由條件可知，即則，因為，所以，。（2）當時，即，因，所以令.因，所以，故的取值范圍是?！纠?4】函數(shù), （1）求的單調(diào)區(qū)間和值域；（2）設(shè)，函數(shù)。若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；【難度】【答案】，令， 則， 所以，的值域為 當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增； 故在時為單調(diào)遞減，在時單調(diào)遞增；（2）對任意，不妨

17、假設(shè)，有 因為，故，函數(shù)在上單調(diào)遞減。則函數(shù)的值域為由題意，任給，存在，使得，則即 又，故的取值范圍為【鞏固訓(xùn)練】1.對于定義域為D的函數(shù)，若同時滿足：在D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；存在區(qū)間，使在上的值域為,那么把（）叫做閉函數(shù).（1）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由；（2）求閉函數(shù)符合條件的區(qū)間；（3）若是閉函數(shù),求實數(shù)的取值范圍；【難度】【答案】（1）函數(shù)在定義域內(nèi)不是閉函數(shù).（2）-1,1（3）【解析】（1）函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增也不單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù). （2）-1,1 （3）若是閉函數(shù)，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，a、b為方程的兩個實數(shù)根. 解法一：方程=有兩個不相等的實根.有，

18、解得，實數(shù)的取值范圍為.解法二：方程可化為.令，則，依題意，函數(shù)與的圖象有兩個交點，實數(shù)的取值范圍為.2.已知（1）求；（2）判斷的單調(diào)性；（3）若對恒成立，求的范圍.【難度】【答案】（1）,則得（2）任給所以在上單調(diào)增。（3），則設(shè)，則，設(shè).在恒大于0則必有 解得所以關(guān)于含參不等式恒成立問題，含參方程有解性問題，我們常用的方法是變量分離，講不等式方程轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖像之間的關(guān)系，得出相應(yīng)的結(jié)論，應(yīng)要注意區(qū)間的開閉問題；函數(shù)的零點，方程的根，函數(shù)圖像的交點注意三者之間的轉(zhuǎn)化，可通過數(shù)形結(jié)合來處理方程的根、函數(shù)圖像的零點問題. 對任意與存在的討論，關(guān)鍵是合并成一個函數(shù)去求解其最值或是看成兩個函數(shù)

19、的最值的比較。1.若，則方程有 個實數(shù)解【難度】【答案】22.不等式組有解，則實數(shù)的滿足的取值范圍集合是 .【難度】【答案】【解析】由不等式組 得 ，要有解，則 解得 。3.對任意，都有不等式恒成立，則的取值范圍是 .【難度】【答案】【解析】分離不等式中的參數(shù)，得，對任意，在上單調(diào)遞增，故所以，.4.設(shè)函數(shù)，若當時，都有意義，則的取值范圍是 【難度】【答案】【解析】，題意等價于在上恒成立，變形為，對任意成立，即，經(jīng)計算可得，故5.若函數(shù)在區(qū)間上的值域為,則實數(shù)的取值范圍為_.【難度】【答案】 【解析】，即可以看做關(guān)于x的方程在有兩個不等的實數(shù)根.6.已知函數(shù)的值域為,函數(shù),總,使得成立,則實數(shù)的取值范圍為_. 【難度】【答案】 7關(guān)于的方程，給出下列四個命題：存在實數(shù)，使得方程恰有2個不同的實根；存在實數(shù)，使得方程恰有4個不同的實根；存在實數(shù)，使得方程恰有5個不同的實根；存在實數(shù)，使得方程恰有8個不同的實根。其中假命題的個數(shù)是（ ）A0 B1 C2 D3【難度】【答案】A8.已知方程至少有一個整數(shù)根，則整數(shù)的值為_【難度】【答案】1或9【解析】易知。分離常數(shù)得 。由為整數(shù)且，。由題意，為整數(shù)， ，故 。從而 。9.已知，若對任意的，存在，則實數(shù)