人教版數(shù)學(xué)選修2-1圓錐曲線知識總結(jié)

1、精品文檔數(shù)學(xué)選修 2-1 圓錐曲線知識歸納一、復(fù)習(xí)總結(jié)：名稱橢圓雙曲線yy圖 象OxOx平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1 , F2 的距離的和為常數(shù)（大于 F1F2 ）的動點(diǎn)的軌跡叫橢圓 即 MF1MF22a定 義當(dāng) 2 a 2 c 時，軌跡是橢圓當(dāng) 2 a =2 c 時 ，軌跡是 一條線 段F1 F2當(dāng) 2 a 2 c 時，軌跡不存在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1 , F2 的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于F1F2 ）的動點(diǎn)的軌跡叫雙曲線即MF1MF22a當(dāng) 2 a 2 c 時，軌跡是雙曲線當(dāng) 2 a =2 c 時，軌跡是兩條射線當(dāng) 2 a 2 c 時，軌跡不存在x 2y 2焦 點(diǎn) 在x軸 上時 ：焦點(diǎn)在 x 軸上時：

2、12y 2a 2b 2x1a 2b2y2x2標(biāo) 準(zhǔn)1y焦點(diǎn)在 y 軸上時：焦 點(diǎn) 在軸上時：方 程a2b2y2x 2注：是根據(jù)分母的大小來判斷焦點(diǎn)1a2b2在哪一坐標(biāo)軸上常數(shù)a, b, c 的a 2c2b2c2a 2b2 ，關(guān) 系焦點(diǎn)在 x 軸上時：xy0ab漸 近 線焦點(diǎn)在 y 軸上時：yx0ab.精品文檔拋物線：yyyylO圖形OFxFOxlllxFFOx方22 px( p 0)y22 px( p 0)x 22 py ( p 0)x22 py( p 0)y程焦( p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p)點(diǎn)2222準(zhǔn)pppypxxy2線222二、知識點(diǎn)：橢圓、雙曲線、 拋物線分別是滿足

3、某些條件的點(diǎn)的軌跡，由這些條件可以求出它們的標(biāo)準(zhǔn)方程，并通過分析標(biāo)準(zhǔn)方程研究這三種曲線的幾何性質(zhì)1橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)距離之和等于定長（定長大于兩定點(diǎn)間的距離）的動點(diǎn)的軌跡2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2y 21， y 2x 21（ a b0 ）a2b2a 2b 23橢圓的性質(zhì)： 由橢圓方程 x 2y 21( ab0 )a 2b 2(1)范圍 :a xa ,b yb ，橢圓落在 xa, yb 組成的矩形中(2)對稱性 : 圖象關(guān)于y 軸對稱圖象關(guān)于x 軸對稱圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱原點(diǎn)叫橢圓的對稱中心，簡稱中心x 軸、 y 軸叫橢圓的對稱軸從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍，對稱的截距（ 3）頂點(diǎn)：橢圓

4、和對稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)橢圓共有四個頂點(diǎn)：A(,0),A2( ,0)，B (0, b), B2 (0,b)加兩焦 F1 (c,0), F2 (c,0) 共aa有六個特殊點(diǎn)A1 A2 叫橢圓的長軸， B1 B2 叫橢圓的短軸 長分別為 2a,2b . a,b 分別為橢圓的長半軸長和短半軸長，橢圓的頂點(diǎn)即為橢圓與對稱軸的交點(diǎn).精品文檔(4) 離心率 :橢圓焦距與長軸長之比ece1 (b ) 20 e 1aa橢圓形狀與 e 的關(guān)系： e0, c0 ，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認(rèn)為圓為橢圓在 e0 時的特例e1, ca, 橢圓變扁，直至成為極限位置線段F1 F2 ，此時也可認(rèn)為圓為橢圓

5、在e 1時的特例（識記方法）以下 4-7 點(diǎn)要求不高，或者不要求 .4. 橢圓的第二定義: 一動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(0,1) 內(nèi)常數(shù)e ，那么這個點(diǎn)的軌跡叫做橢圓其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)e 就是離心率5橢圓的準(zhǔn)線方程對于 x 2y21，左準(zhǔn)線 l1: xa 2；右準(zhǔn)線 l 2 : xa 2a 2b2cc對于 y 2x21，下準(zhǔn)線 l1: ya 2；上準(zhǔn)線 l 2 : ya2a 2b2cc6. 橢圓的焦半徑公式： 橢圓 x2y21(ab0) 焦半徑公式 :a2b2PF1e(xa2 ) a ex ， PF2e( a2x) a excc其中 e 是離心率其中

6、 F1, F2 分別是橢圓左右焦點(diǎn)焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓的焦半徑公式：PF1aey0PF2aey0其中 e 是離心率其中 F1 , F2 分別是橢圓的下上焦點(diǎn)焦半徑公式的兩種形式的區(qū)別只和焦點(diǎn)的左右有關(guān)，而與點(diǎn)在左在右無關(guān)可以記為：左加右減，上減下加xa cos7 橢圓的參數(shù)方程( 為參數(shù) )yb sin.精品文檔以下為橢圓重要結(jié)論：（要求記憶 1、2、 3 條，了解 4、 5）1. 準(zhǔn)線到中心的距離為a2，焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離( 焦準(zhǔn)距 ) pa2ca 2c2b2cccc2過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通經(jīng)，其長度為：2gb.a2. 橢圓 x2y21(a b 0) 兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積

7、:a2b2S FPFc | yP | b2 tanF1PF1223 橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線必經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn) .例：今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點(diǎn)A、B 是它的兩個焦點(diǎn)，長軸長為2a，焦距為2c，當(dāng)靜放在點(diǎn)A 的小球 (小球的半徑不計(jì))，從點(diǎn) A 沿直線 l 擊出，經(jīng)橢圓壁反彈后再回到A ，若 l 與橢圓長軸的夾角為銳角，則小球經(jīng)過的路程是(D )A.4bB.2(a-c)C.2(a+c)D.4a4. 橢圓的的內(nèi)外部:x2y21(ab0)（1）點(diǎn) P( x0 , y0 ) 在橢圓b2a2x2y2b0)（ 2）點(diǎn) P( x0 , y0 ) 在橢圓

8、 2b2 1(aa5. 橢圓的切線方程:的內(nèi)部x02y021 .a2b2的外部x02y021 .a2b2(1) 橢圓 x2y21(ab0)上一點(diǎn) P( x0 , y0 ) 處的切線方程是x0 xy0 y1.a2b2a2b2（ 2）過橢圓x2y21外一點(diǎn) P( x0 , y0 ) 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是x0 xy0 y1.a2b2a2b2（ 3）橢圓 x2y21(ab0)與直線 Ax By C 0 相切的條件是a2b2A2a2B2b2c2 .8雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1, F2 的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于F1 F2 ）的動點(diǎn).精品文檔的軌跡叫雙曲線即 MF1 MF22a 這兩個定點(diǎn)

9、叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距在同樣的差下， 兩定點(diǎn)間距離較長，則所畫出的雙曲線的開口較開闊（兩條平行線）兩定點(diǎn)間距離較短（大于定差），則所畫出的雙曲線的開口較狹窄（兩條射線） 雙曲線的形狀與兩定點(diǎn)間距離、定差有關(guān)9雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及特點(diǎn)：（ 1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有焦點(diǎn)在x 軸上和焦點(diǎn)y 軸上兩種：焦點(diǎn)在 x 軸上時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x 2y20 , b0 ) ；a 2b1 ( a2焦點(diǎn)在 y 軸上時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y 2x2( a0 , b0 )ab122(2) a, b,c 有關(guān)系式 c 2a2b2 成立，且 a0,b0, c0其中 a 與 b 的大小關(guān)系 : 可以為 a

10、b, ab, ab10焦點(diǎn)的位置 : 從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程不難看出橢圓的焦點(diǎn)位置可由方程中含字母x 2 、 y 2 項(xiàng)的分母的大小來確定， 分母大的項(xiàng)對應(yīng)的字母所在的軸就是焦點(diǎn)所在的軸而雙曲線是根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來判斷焦點(diǎn)所在的位置，即x 2 項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x 軸上； y 2 項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y 軸上11雙曲線的幾何性質(zhì)：（ 1）范圍、對稱性由標(biāo)準(zhǔn)方程 x2y 21 ，從橫的方向來看，直線x=-a ，x=a 之間沒有圖象，從縱的方向來a2b 2看，隨著x 的增大， y 的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中

11、心.（ 2）頂點(diǎn)頂點(diǎn)： A1(a,0), A2a,0 ，特殊點(diǎn)：B1( 0, b), B2 0, b實(shí)軸： A1 A2 長為 2a ,a 叫做半實(shí)軸長 虛軸： B1B2 長為 2b ， b 叫做虛半軸長雙曲線只有兩個頂點(diǎn)，而橢圓則有四個頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異.精品文檔（ 3）漸近線過雙曲線 x2y 2 1的漸近線 yb x （ xy0 ）a2b2aab（ 4）離心率雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比e2cc ，叫做雙曲線的離心率范圍： e 12aa雙曲線形狀與 e 的關(guān)系： kbc 2a2c 21e21 ，e 越大，即漸近線的斜aaa 2率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊由此可知，雙

12、曲線的離心率越大，它的開口就越闊12等軸雙曲線定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線等軸雙曲線的性質(zhì)： （ 1）漸近線方程為： yx ；（ 2）漸近線互相垂直； （ 3）離心率 e213共漸近線的雙曲線系如果雙曲線與 x2y21有公共漸近線，可設(shè)為x 2y 2a2b2a 2b2以下 14-17 點(diǎn)要求不高，或者不要求 .14雙曲線的第二定義：到定點(diǎn)F 的距離與到定直線l 的距離之比為常數(shù) ec (c a 0)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線a其中，定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線常數(shù) e 是雙曲線的離心率15雙曲線的準(zhǔn)線方程：222對于 x 2y21來說， 相對于

13、左焦點(diǎn)F1 ( c,0) 對應(yīng)著左準(zhǔn)線 l1 : xa，相對于右焦點(diǎn)abcF2 (c,0)對應(yīng)著右準(zhǔn)線 l2 : xa2；c對于 y 2x 21 來說，相對于上焦點(diǎn)F1 (0, c) 對應(yīng)著上準(zhǔn)線 l1 : ya 2；相對于下焦點(diǎn)a2b 2c.精品文檔a 2F2 (0,c) 對應(yīng)著下準(zhǔn)線l 2 : y16. 雙曲線的焦半徑（了解）c定義：雙曲線上任意一點(diǎn)M與雙曲線焦點(diǎn)F1 , F2 的連線段，叫做雙曲線的焦半徑焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線的焦半徑公式：MF1aex0（ F1, F2 分別是左、 右焦點(diǎn)）MF 2aex0焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線的焦半徑公式：MF1aey0（ F1, F2 分別是下、

14、 上焦點(diǎn)）MF2aey017雙曲線的焦點(diǎn)弦：定義：過焦點(diǎn)的直線割雙曲線所成的相交弦焦點(diǎn)弦公式：當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在 x 軸上時，過左焦點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn)時：AB2(x2)ae x1過右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)時：AB2(x2)ae x1當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y 軸上時，過左焦點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn)時：過右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)時：AB2ae( y1y2 )AB2ae( y1y2 )18雙曲線的重要結(jié)論：( 識記（ 1） - （4）點(diǎn)，了解（5）點(diǎn) )b2（ 1）雙曲線焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離( 焦準(zhǔn)距 ) pc（ 2）過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦叫通經(jīng)，其長度為：2gb2.a（ 3）兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積S F1PF2b2 c

15、otF1PF2 .（ 4）焦點(diǎn)到漸近線的距離總是 b .（ 5）雙曲線的切線方程 :.精品文檔(1)x2y21(a0,b 0) 上一點(diǎn) P( x0 , y0 ) 處的切線方程是x0 xy0 y1 .雙曲線b2a2b2a2(2)過 雙 曲 線 x2y21 外 一 點(diǎn) P(x0 , y0 )所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是a2b2x0 xy0 y1.a2b2（ 3）雙曲線 x2y2與直線 Ax By C2a22b2c20 相切的條件是 AB.a2b2119 拋物線定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F 和一條定直線 l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線定點(diǎn) F 叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線20拋物線的準(zhǔn)線

16、方程：(1)y 22px( p0) ,焦點(diǎn) : ( p ,0) ，準(zhǔn)線 l ： xp22(2)x22py( p0) ,焦點(diǎn) : (0, p ) ，準(zhǔn)線 l ： yp22(3)y 22 px( p0) ,焦點(diǎn): (p ,0) ，準(zhǔn)線 l ： xp22(4)x22 py( p0) ,焦點(diǎn) : (0,p ) ，準(zhǔn)線 l ： yp22相同點(diǎn)： (1)拋物線都過原點(diǎn)；(2) 對稱軸為坐標(biāo)軸； (3) 準(zhǔn)線都與對稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)在對稱軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱它們到原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)絕對值的1 ，即42pp42不同點(diǎn)： (1)圖形關(guān)于 X 軸對稱時， X 為一次項(xiàng)， Y為二次項(xiàng)，方程右端為2 px 、左

17、端為 y2；圖形關(guān)于Y 軸對稱時， X 為二次項(xiàng)， Y 為一次項(xiàng)， 方程右端為2 py ，左端為 x2（ 2）開口方向在 X 軸（或 Y 軸）正向時，焦點(diǎn)在 X 軸（或 Y 軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口在 X 軸（或 Y 軸）負(fù)向時，焦點(diǎn)在 X 軸（或 Y 軸）負(fù)半軸時，方程右端取負(fù)號21拋物線的幾何性質(zhì)（ 1）范圍因?yàn)?p0，由方程y 22 px p0 可知，這條拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo) (x，y)滿足不等.精品文檔式 x0，所以這條拋物線在y 軸的右側(cè)；當(dāng)x 的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸（ 2）對稱性以 y 代 y，方程 y22 px p0 不變，所以

18、這條拋物線關(guān)于x 軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸（ 3）頂點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)在方程 y 22 px p0 中，當(dāng) y=0 時，x=0 ，因此拋物線y 22 px p0 的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)（ 4）離心率拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率， 用 e 表示由拋物線的定義可知，e=1 22 拋物線的焦半徑公式：（畫圖即可）拋物線 y 22px( p0)，PFx0ppx022拋物線 y 22 px ( p0)， PFx0ppx022拋物線 x 22py ( p0)， PFy0ppy022拋物線 x 22 py ( p0)，PFy0ppy02223直線與拋物線：（ 1）位置關(guān)系：相交（兩個公共點(diǎn)或一個公共點(diǎn)）；相離（無公共點(diǎn)） ；相切（一個公共點(diǎn)）將 l : ykx b 代入 C : Ax2Cy 2Dx Ey F 0 ，消去 y，得到關(guān)于 x的二次方程 ax 2bx c0（ * ）若0 ，相交；0 ，相切；0 ，相離綜上，得：.精品文檔聯(lián)立ykx b ，得關(guān)于 x 的方程 ax 2bx c 0y22 px當(dāng) a 0 （二次項(xiàng)系數(shù)為零） ，唯一一個公共點(diǎn)（交點(diǎn)）當(dāng) a 0 ，則若0 ，兩個公共點(diǎn)（交點(diǎn)）0 ，一個公共點(diǎn)（切點(diǎn)）0 ，無公共點(diǎn)（相離）（ 2）相交弦長：弦長公式： d1 k 2 ，a（