概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案詳解版

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案詳解版(廖茂新復(fù)旦版)1. 設(shè)A B, C為三個(gè)事件，用A B, C的運(yùn)算式表示下列事件:(1) A發(fā)生而B與C都不發(fā)生；(2) A, B, C至少有一個(gè)事件發(fā)生；(3) A, B, C至少有兩個(gè)事件發(fā)生；(4) A, B, C恰好有兩個(gè)事件發(fā)生；(5) A, B至少有一個(gè)發(fā)生而C不發(fā)生；(6) A, B, C都不發(fā)生.解：(1) ABC 或 A B C或 A (BU C).(2) AU BU C.(3) (AB U( AC U( BC .(4 ) (AEC ) U( ACB ) U( BCA).(5) (AU B) C.(6 ) ABC 或 Abc .2. 對(duì)于任意事

2、件A, B, C,證明下列關(guān)系式：(1) (A+B) ( A+B)( A+ B)( a + b)=；(2) A申AB + Ab + A b ab = AB；(3) A-( B+C)= (A-B) -C.證明：略.3. 設(shè) A B為兩事件，P (A) =0.5, RB=0.3, P(AB=0.1 ,求：(1) A發(fā)生但B不發(fā)生的概率；(2) A, B都不發(fā)生的概率；(3) 至少有一個(gè)事件不發(fā)生的概率.解(1) P (AB)=P(AB) =P(A-AB =P(A)- P(AB =0.4 ;(2) P( AB)=P(-B)=1- P(AU B)=1-0.7=0.3 ;(3) P( A U B ) =

3、P； AB ) =l-P(AB=1-0.1= 0.9.4. 調(diào)查某單位得知。購(gòu)買空調(diào)的占15%,購(gòu)買電腦占12%,購(gòu)買DVD 的占20%其中購(gòu)買空調(diào)與電腦占6%購(gòu)買空調(diào)與DVD占 10%購(gòu)買 電腦和DVD占 5%,三種電器都購(gòu)買占2%。求下列事件的概率。(1) 至少購(gòu)買一種電器的；(2) 至多購(gòu)買一種電器的；(3) 三種電器都沒購(gòu)買的.解：(1) 0.28,(2) 0.83,(3) 0.725.10把鑰匙中有3把能打開門，今任意取兩把，求能打開門的概率。解：8/156. 任意將10本書放在書架上。其中有兩套書，一套 3本，另一套4 本。求下列事件的概率。(1) 3本一套放在一起；(2) 兩套各

4、自放在一起；(3) 兩套中至少有一套放在一起.解： (1) 1/15 ,(2) 1/210 ,(3) 2/217. 12名新生中有3名優(yōu)秀生，將他們隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班中去, 試求：(1) 每班各分配到一名優(yōu)秀生的概率；(2) 3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班的概率.解12名新生平均分配到三個(gè)班的可能分法總數(shù)為444C12C8C412!(4?(1)設(shè)A表示“每班各分配到一名優(yōu)秀生”3名優(yōu)秀生每一個(gè)班分配一名共有 3!種分法，而其他9名學(xué)生平均分配到3個(gè)班共有滸種分法由乘法原理，A包含基本事件數(shù)為3！9!9!3 =2(3!)(3!)故有P(A 盞/附16/55(2)設(shè)B表示“ 3名優(yōu)秀生分到同一班”，

5、故3名優(yōu)秀生分到同一班共有3種分法，其他9名學(xué)生分法總數(shù)為c9c8c4 乘法原理，B包含樣本總數(shù)為3侖.9!1!4!4!,故由故有P (B)書/汁3/558. 箱中裝有a只白球，b只黑球，現(xiàn)作不放回抽取，每次一只.(1) 任取n+n只，恰有m只白球，n只黑球的概率(mK a, nw b)；(2) 第k次才取到白球的概率(k b+1);(3) 第k次恰取到白球的概率.解 (1)可看作一次取出n+n只球，與次序無關(guān)，是組合問題. 從a+b只球中任取m+n只，所有可能的取法共有c；種，每一種取法 為一基本事件且由于對(duì)稱性知每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同 .從a 只白球中取m只，共有c；種不同的取法，從

6、b只黑球中取n只，共 有cb種不同的取法.由乘法原理知，取到 m只白球，n只黑球的取法 共有c； cn種，于是所求概率為pi=ca cbm n ca b(2)抽取與次序有關(guān).每次取一只，取后不放回，一共取 k次， 每種取法即是從a+b個(gè)不同元素中任取k個(gè)不同元素的一個(gè)排列，每 種取法是一個(gè)基本事件，共有p：b個(gè)基本事件，且由于對(duì)稱性知每個(gè) 基本事件發(fā)生的可能性相同.前k-1次都取到黑球，從b只黑球中任 取k-1只的排法種數(shù)，有Pbk1種，第k次抽取的白球可為a只白球中 任一只，有P；種不同的取法.由乘法原理，前k-1次都取到黑球，第 k次取到白球的取法共有Pbk ipa種，于是所求概率為(3)

7、 基本事件總數(shù)仍為Pakb.第k次必取到白球，可為a只白球中 任一只，有pa種不同的取法，其余被取的k-1只球可以是其余a+b-1只球中的任意k-1只，共有pkj種不同的取法，由乘法原理，第k次恰取到白球的取法有pphl種，故所求概率為Fa ba b9. 在區(qū)間（0, 1）內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)的乘積小于1/4的概率.解設(shè)在（0，1）內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)為x, y，則Ovxv 1,0 vyv 1圖1-7即樣本空間是由點(diǎn)（x，y）構(gòu)成的邊長(zhǎng)為1的正方形Q，其面積為1.令A(yù)表示“兩個(gè)數(shù)乘積小于1/4 ”，則A= （x, y）| Ov xyv 1/4,0 v xv 1,0 vy v 1事件A所圍成的區(qū)域見

8、圖1-7，則所求概率P(A)=111 dx dy1/41/4x J111/4131丄dx1/4 4x1 】ln2.10. 兩人相約在某天下午5 : 006 : 00在預(yù)定地方見面，先到者要等 候20分鐘，過時(shí)則離去.如果每人在這指定的一小時(shí)內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá) 是等可能的，求約會(huì)的兩人能會(huì)到面的概率.解 設(shè)x,y為兩人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的時(shí)刻，那么，兩人到達(dá)時(shí)間的一切 可能結(jié)果落在邊長(zhǎng)為60的正方形內(nèi)，這個(gè)正方形就是樣本空間Q 而兩人能會(huì)面的充要條件是丨x-y | 20,即x-y 20 且 y-x 2=ck(0.4)k(0.6)3 k 0.352 ;k 20.317 ;5PX 3=Ck(0.4)k(0.6

9、)5kk 37 FX4=ck(0.4)k (0.6)7 k 0.290.k 4因此第一種方案對(duì)系隊(duì)最為有利.這在直覺上是容易理解的，因 為參賽人數(shù)越少，系隊(duì)僥幸獲勝的可能性也就越大4. 一籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命準(zhǔn)率為 45%以X表示他首次投中時(shí)累計(jì)已 投籃的次數(shù)，寫出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率.解：隨機(jī)變量X所有可能的取值為：1,2丄，n,L , 分布律為:P(X k) (1 0.45)k 10.45 k 1,2,L ,n,L ,X取偶數(shù) UX 2k: 一列互不相容的事件的和,k 1所以PX取偶數(shù) PUX 2kk 12 k 1PX 2k0.550.45 11/31 .i 1i 15.某十字路

10、口有大量汽車通過,假設(shè)每輛汽車在這里發(fā)生交通事故的概率為0.001，如果每天有5000輛汽車通過這個(gè)十字路口，求發(fā)生 交通事故的汽車數(shù)不少于2的概率.解 設(shè)X表示發(fā)生交通事故的汽車數(shù)，則Xb(n,p)，此處n=5000,p=0.001，令入=np=5,1PX 2=1- PX 2=1-0.00674-0.03369=0.95957.6.設(shè)在獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，每次實(shí)驗(yàn)成功概率為0.5，問需要進(jìn)行多少次實(shí)驗(yàn)，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。解 n 47.設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為(1)(2)(3)【解】F( x)=A求常數(shù)A, B;求 PX 3;求分布密度f (x).(1)由Jim F(x) 鳳 F

11、(x)xlinmBeF(x)P(X 2)F(2)P(X 3)1F(3)(1x 0,x 0.0),ef(x) F(x) 0,8.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為x,0x1,f (x) = 2 x,1 x 2,0,其他.求X的分布函數(shù)F (x),并畫出f (x)及 F (x).【解】當(dāng)x0時(shí)F (x) =0當(dāng) 0WX1 時(shí) F(x) X f (t)dt0tdtx當(dāng) 1x2 時(shí) F(x)0f(t)dt10f(t)dt1xtdt01(2t)dt1c2 x3-2x2222 x2x 12f(t)dt1x1 f (t)dtF(x)0,2x2，2x21,x 00 x 12x 1, 1 x 2x 29. 設(shè)隨機(jī)變量X的

12、密度函數(shù)為(1)f(x)=ae- |x|,入 0;bx, 0x1, f(x)= 4，1 x 2,x0, 其他.試確定常數(shù)a, b,并求其分布函數(shù)F (x).【解】(1)由 f (x)dx 1 知 1 ae |x|dx 2a e xdx即密度函數(shù)為f(x)當(dāng) x0 時(shí) F (x)f(x)dx1e2故其分布函數(shù)F(x)1e2x1f (x)dx o bxdx即X的密度函數(shù)為f (x)當(dāng) x 0 時(shí) F (x)=0當(dāng) 0x1 時(shí) F(x)xf (x)dx當(dāng) 1 x2 時(shí) F (x) =1故其分布函數(shù)為0,x02xJ0x1F(x)23 111x22 x1,x210. 設(shè)隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為：F(x)

13、二A+Barctanx,(-x ).求：(1)系數(shù)A與B;(2) X落在(-1 , 1)內(nèi)的概率；(3) X的分布密度。解 0)A=1/2, B=i ; 1/2 ; f (x)=1/(1+x2)11. 某公共汽車站從上午7時(shí)開始，每15分鐘來一輛車，如某乘客到 達(dá)此站的時(shí)間是7時(shí)到7時(shí)30分之間的均勻分布的隨機(jī)變量，試求 他等車少于5分鐘的概率.解 設(shè)乘客于7時(shí)過X分鐘到達(dá)車站，由于X在0, 30上服 從均勻分布，即有0 x 30,1f(x)= 30 0,顯然，只有乘客在7 : 10到7 : 15之間或7 : 25到7 : 30之間到達(dá)車站時(shí)，他(或她)等車的時(shí)間才少于5分鐘，因此所求概率為1

14、5 130 1P10 V X 15+ P25 V X 30= 丄 dx dx = 1/3.10 3025 3012. 設(shè) XN (3, 22),(1) 求 P2 V X 2, PX 3;(2) 確定 c 使 PX c= P Xh 0.99，因?yàn)?*N (170, 62),故PXv h=P 4 口 0.99 ,6 6 6查表得(2.33 ) =0.9901 0.99.故取=2.33，即h=184.設(shè)計(jì)車門高度為184 （cm）時(shí)，可6使成年男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)不超過 1%.14. 某型號(hào)電子管壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從 （160, 202）分布，隨機(jī) 的選取四只，求其中沒有一只壽命小于180小時(shí)

15、的概率（答案用標(biāo)準(zhǔn) 正態(tài)分布函數(shù)表示）.解：記取出的四只電子管壽命分別為 X1,X2,X3,X4，所求概率為P，則P Pmin( X1,X2,X3,X4)1804PXi 1801 PXi4180i 1,2,3, 41(1)40.00063習(xí)題三1. 設(shè)隨機(jī)變量X在1，2，3，4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值，另一個(gè)隨 機(jī)變量Y在1X中等可能地取一整數(shù)值，試求（X, Y的分布律.解 由乘法公式容易求得（X，Y的分布律，易知X=i，Yj 的取值情況是：i=1，2, 3, 4, j取不大于i的正整數(shù)，且PX=i，Y=j=FY=j | X二iPX=i=】 1，i=1，2，3, 4, j i .i 4于是（X,

16、 Y）的分布律為表33Y123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/162.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量f(x,y)=Ae(3x 4y),x 0,y 00, 其他求（1）系數(shù)A; （2）落在區(qū)域D,Y ）的密度函數(shù)為0 x 1,0 y 2的概率。解：(1) 12;(2) (1-e-3)(1-e -8)3. 設(shè)隨機(jī)變量（X, Y）的概率密度為y), 0 x 2,2 y 4,42 k(6 x y)dydx 8k 1,其他.（1）確疋常數(shù)k；（2）求 PXv 1, Yv 3;（3）求 PXv 1.5;（4）求 P X+Y 4.【解】（1）由性質(zhì)有f (x,

17、y)dxdy13 10 2 8k(63x y)dydx -8PX1.5f (x, y)dxdy如圖 af (x, y)dxdyx1.5D11.54 127dx (6 xy)dy.0 2 832PXY 4f(x,y)dxdy如圖 b f(x, y)dxdyX Y 4D2(2)PX 1,Y 3f (x, y)dydx2 4x120dx2 8(6 x y)dy 3.01.5 2n0 時(shí)，F(xiàn)Y(y) P(Y y) P(ex y) P(XIn y)In yfx(x)dx(2) P(Y0) 1當(dāng) yW 0 時(shí) FY(y)當(dāng) y0 時(shí) FY(y)fY(y)警dyP(Y y) 0P(|X | y) P( y1

18、fx(ln y) y1yK1ln2y/2,yy)yy fx(x)dx故 fY(y)辭(y)fx(y) fx(y)22 ney2/2,y4.設(shè)隨機(jī)變量*U (0,1 )，試求:Z=2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】由P( 0X0時(shí)，F(xiàn)z(z) P(Z z)P( 2ln X z)P(l nX自P(X ez/2)1z/2ez/2dX1 e即分布函數(shù)0,z0Fz(z)1-ez/2,z0故Z的密度函數(shù)為fz(Z)1 z/2 e20,(1) 求V=max( X Y)的分布律;(2) 求U=min (X Y)的分布律;【解】(1) PV i Pmax(X,Y) iPXi,Y i PX i,Y ii 1PX

19、 i,Y kk 0iPX k,Y i, i 0,123,4,5k 0所以V的分布律為V=max(X Y)0.040.160.280.240.28(2) PU i Pmi n(X,Y) iPX i,Y i3PX i,Yk iPX i,Y i5i 0,1,2,3,k PX k,Y ik i 1于是U=min(X Y)0.280.300.250.176.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為fx (x)=0“ 0 其他；fY（y）= 0/ 其他.求隨機(jī)變量Z=X+丫的分布密度.解 X, Y相互獨(dú)立，所以由卷積公式知f Z ( Z) =fx(x) fY(z x)dx.由題設(shè)可知fx (x)

20、 fY (y)只有當(dāng)Owx0,即當(dāng)Owx0時(shí)才不等于零現(xiàn)在所求的積分變量為x, z當(dāng)作參數(shù)， 當(dāng)積分變量滿足x的不等式組Ow xw 1XV z時(shí)，被積函數(shù)fx ( x ) f y (z-x)工0.下面針對(duì)參數(shù)z的不同取值 范圍來計(jì)算積分.當(dāng)zv 0時(shí)，上述不等式組無解，故fx(x) fY(z-x) =0.當(dāng)owz w 1時(shí)，不等式組的解為0wxwz.當(dāng)z 1時(shí)，不等式組的解為0wx w 1.所以(z x) 1 edx01 ez,0 z1,fz (z)=-1(z x)- edx0e z(e1), z1,0,其他.7.設(shè)二維隨機(jī)變量(X ,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f (x, y)212y ,0 y x

21、 10,其它(x, y)求：(1)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)fx(x) ; (2)隨機(jī)變量丫的密度函數(shù)fY(y) ； (3)隨機(jī)變量Z x Y的密度函數(shù)fz (z).解:由題書，丫的概率密度函數(shù)分別為fx(x)X 2012y dy4x3,0 x 10, x 1, x 0fy(y)1 212y2dxy12y2(1y),0 y 1下載可編輯.00, y 1, y 0fz(z) f (x, z x)dx被積函數(shù)非0,必須滿足x,要使的密度函數(shù)應(yīng)為fz(z)0Z2z12(z x) dx21z12(z x) dx20,z0,z23,0 z 123三 4( z 1)3,1z 228.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且

22、都服從參數(shù)為 (Poisson)分布，證明X Y仍服從泊松分布，參數(shù)為2 證明：記Z X 丫，則Z所有可能的取值為：0,1,2丄,n,L 由離散卷積公式有0的泊松kP(Z k) P(X i)P(Y k i)i 0k ie (k i)!ke 2 kk!k! i o i !(ki)!k 2k 2e2k(2 ) ek!k!k 0,1 丄，n,L即Z X 丫服從參數(shù)為2的泊松分布.9.設(shè)X和丫分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命（以小時(shí)計(jì)），并設(shè)X和丫相互獨(dú)立，且服從同一分布，其概率密度為f（ X）=10002XQ1000,其他.求乙=為丫的概率密度.【解】如圖,Z的分布函數(shù)Fz（z）PZz(1)當(dāng) ZW0

23、 時(shí)，F(xiàn)z(z) 0y zy 2題15圖103 106103y2zy3 dy 1丄2z(2)當(dāng)0Z1時(shí)，(這時(shí)當(dāng)y=103時(shí)，x=103z)(如圖b)106zy 106Fz (z)2 2 dxdy dy 2 2 dxxx y1010 x yZ2zz 1,fzz20,0 z 1,其他.fz(Z)1玨2，0,z 1,0 z 1,其他.習(xí)題五1.公共汽車起點(diǎn)站于每小時(shí)的10分，30分，55分發(fā)車，該顧客不 知發(fā)車時(shí)間，在每小時(shí)內(nèi)的任一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)車站， 求乘客候車時(shí)間 的數(shù)學(xué)期望（準(zhǔn)確到秒）。解10分25秒2. 對(duì)球的直徑作近似測(cè)量，設(shè)其值均勻分布在區(qū)間a, b內(nèi)，求球 體積的數(shù)學(xué)期望.解 設(shè)隨機(jī)變

24、量X表示球的直徑，Y表示球的體積，依題意，X的概 率密度為f( x) = b0,x b,其他.球體積Y=n3，由（4.6）式得6E (Y)=e(1 n ，并驗(yàn)證契比雪夫不等式成立.解 因?yàn)閄的概率函數(shù)是RX二k=1/6 (k=1, 2,，6),所以E (X)=7/2,D(X) =35/12,R| X-7/2| 仁RX=1+RX=2+PX=5+PX=6=2/3;R| X-7/2| 2=PX=1+PX=6=1/3. =1：!=35/122/3, =2： D(X2=1/4 x35/12=35/481/3.可見契比雪夫不等式成立.2假設(shè)一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是 08要使一批產(chǎn)品的合格率達(dá)到在76%

25、與 84%之間的概率不小于90%問這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件?【解】令Xi 1若他個(gè)產(chǎn)品是合格品,0,其他情形而至少要生產(chǎn)n件，則i=1,2,，n,且X, X,Xn獨(dú)立同分布，p=FX=1=0.8.現(xiàn)要求n,使得nXiP0.760.840.9.nP 0.76 n 0.8ni 1Jn 0.8 0.2&Xi 0.8n0.8 4n 0.8 n0 90.8 0.2, n 0.80.2由中心極限定理得0.8 4n 0.8n0.76 n 0.8 n0 9.0.16n.0.16n整理得轉(zhuǎn)0.95,查表轉(zhuǎn)1.64,n268.96, 故取 n=269.3. 某車間有同型號(hào)機(jī)床200部，每部機(jī)床開動(dòng)的概率為 0.7，假定 各機(jī)床開動(dòng)與否互不影響，開動(dòng)時(shí)每部機(jī)床消耗電能15個(gè)單位.問至 少供應(yīng)多少單位電能才可以95%勺概率保證不致因供電不足而影響生 產(chǎn).【解】要確定最低的供應(yīng)的電能量，應(yīng)先確定此車間同時(shí)開動(dòng)的機(jī)床 數(shù)目最大值m而m要滿足200部機(jī)床中同時(shí)開動(dòng)的機(jī)床數(shù)目 不超過m的概率為95%于是我