數(shù)學(xué)模型經(jīng)典例題

1、 把椅子往地面一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需稍挪動(dòng)幾次，就一、 分）就四腳連線成長方形的情形建模并加以說明。（15可以使四只腳同時(shí)著地放穩(wěn)了， 解：一、模型假設(shè)： 椅子四只腳一樣長，椅腳與地面的接觸可以看作一個(gè)點(diǎn)，四腳連線呈長方形。1. 地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷，地面可以看成一張光滑曲2. 面。 分） （33. 地面是相對(duì)平坦的，使椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地。 二、建立模型：?旋轉(zhuǎn)的角度，以初始位置的中位線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，用O表示椅子繞中心? 椅子的位置可以用確定：?f 兩點(diǎn)與地面的距離之和A、B記為?g 兩點(diǎn)與地面的距離之和、D記為C?gf

2、由假設(shè)3可得，。、中至少有一個(gè)為0 ?gf 3分）、的連續(xù)函數(shù)。 （是由假設(shè)2知 問題歸結(jié)為：?gf 已知和是，的連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意?00g?f00g?0,f? ，且設(shè)。證明存在，0?0?fg 分）使得 （35 圖00 三、模型求解：?g?fh 令?000?gf ，結(jié)論成立若?或00?0,0gff00、g1800?不同時(shí)為與，不妨設(shè)若，椅子旋轉(zhuǎn)后，AB ?00,?0hg(0)?h?0,f? 分）CD互換，即（，則3 。 gf和在存基本性質(zhì)，必根也知是連續(xù)函數(shù)。據(jù)連續(xù)函數(shù)由的連的續(xù)性h?0?)()?gh()?0,即f( 。使00000?0?g()f()?0)(fg)(? 最后，因?yàn)榉郑?（ ，所以

3、 。0000 支隊(duì)參加比賽的循環(huán)比賽賽程安排，要求各參賽隊(duì)的每?jī)蓤?chǎng)比賽之間的二、給出7 休息場(chǎng)次盡可能均衡，并列出表格說明。 7支參賽隊(duì)。表示解：設(shè)7)1,2,(i?Ai6?72（場(chǎng)），總輪次為根據(jù)單循環(huán)賽的要求，得到7支隊(duì)的比賽總場(chǎng)次為：21?C 71?2 2 （分）7輪，且每一輪都有一支隊(duì)輪空。具體如下：AAAAAA 513121AAAAAA 354732AAAAAA 276465AAAAAA （ 4 分） 111674AAAAAA 755323AAAAAA 637542AAAAAA 426674 隊(duì) 場(chǎng) 隊(duì)次 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 休息場(chǎng)次 休息總場(chǎng)次 A1 1 8

4、18 15 11 4 2+3+2+3+2 12 A2 1 5 21 9 17 13 3+3+3+3+3 15 A3 8 5 2 12 20 16 2+2+3+3+3 13 A4 18 21 2 6 14 10 3+3+3+3+2 14 A5 15 9 12 6 3 19 2+2+2+2+3 11 A6 11 17 20 14 3 7 3+3+2+2+2 12 A7 4 13 16 10 19 7 2+2+2+2+2 10 （4分）從以上的表格可以看出各參賽隊(duì)的每?jī)蓤?chǎng)比賽之間的休息場(chǎng)次是比較均勻的。（2分） tt時(shí)刻的單位時(shí)間的增量時(shí)刻的人口為假設(shè)人口的增長服從這樣的規(guī)律:,三、)x(tx)t?

5、x(x為最大人口容量),其中的試建立模型求解并作出解的圖形. 與成正比(mmtx?r(x?x)x?x(t 解：由時(shí)刻的單位時(shí)間的增量與成正比，即有mm (其中比例系數(shù)r為固有增長率, x為最大人口容量)。（3分） mx(0)?x 令0得到 dx（2分） x),x(?xx(0)?r?x? 0mdt 解得 1 圖 ?rt （3分） e?x)x?x?(x0mm其圖象為圖1 （2分） 四、學(xué)校共500名學(xué)生，其中118人住在A宿舍，167人住在B宿舍，215人住在C宿舍，學(xué)生們要組織一個(gè)由20人組成的委員會(huì)，使用下述方法分配各宿舍的委員數(shù) （1）按比例分配方法； （2）Q值法。 如果委員人數(shù)由20人增

6、至21人，各宿舍的委員人數(shù)將如何變化？ 解：比例加慣例法列表格如下： 宿舍 人數(shù) 比例 按比例分配 最終名額 按比例分配 最終名額 A B C 118 167 215 工廠 23.6 33.4 43.0 調(diào)撥站 4.72 6.68 8.60 1 2 5 7 8 3 4.956 7.014 9.03 4 5 7 9 總計(jì) 500 100 1 20.00 500元 750 20 300元元 21.00 450元 21 由上表可知，依慣例法，20人時(shí)，三個(gè)宿舍分別為5人，7人，8人；21人時(shí)為5人，7人，9人。 （5分） Q值法分配：20人時(shí)先A宿舍4人，B宿舍6人，C宿舍8人，剩下2個(gè)名額根據(jù)Q值

7、法： 第19個(gè)名額 222215167118Q?696,Q?664,Q?642 CAB4?56?78?9Q?Q?Q 有CAB則應(yīng)當(dāng)把第19個(gè)名額分給A宿舍。 （4分） 第20個(gè)名額 2118?Q?464Q?Q?QQ值不變。有，其他，則應(yīng)當(dāng)把第20個(gè)名額分給B AABC5?6宿舍。即三個(gè)宿舍分別為5人，7人，8人。 （2分） Q值法： 1個(gè)名額根據(jù)人，7C宿舍9人，剩下人，人時(shí)先21A宿舍4B宿舍222215118167Q?696,Q?498,Q?513 CBA10?98?75?4 Q?Q?Q 有BAC則應(yīng)當(dāng)把最后1個(gè)名額分給A宿舍。即三個(gè)宿舍分別為5人，7人，9人。（4分） 五、長、吃水深度的

8、船以速度航行，若不考慮風(fēng)的影響，那么航船受的阻力除vfhl?，以及重力加以外，還與水的參數(shù)密度、粘性系數(shù)依賴于船的諸變量v,hl速度有關(guān)，其中粘性系數(shù)的定義是：運(yùn)動(dòng)物體在流體中受的摩擦力與速度梯度（即g?v）和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘性系數(shù)。用量剛分析方法給出阻?v? ?x力與這些物理量之間的關(guān)系。 f解：一、有關(guān)的物理量為船長?，阻力，水的密度，吃水深度，船速vfhl ?。和重力加速度粘性系數(shù)g二、各物理量的量綱（2分） ?1?2?3?2?,LTgL?M,f?LMT,?l?L,hL,v?LT （2分） ?v?1?1?MTS?Lf? ?x三、關(guān)系式 ?0v,gf,l,h, 由此得到量

9、綱矩陣 A1111?3?11L?A?1000110M? ?T2?1?200?10?glhvf （4分）3?R(A) 的4個(gè)基本解A 得到T?0001?1y?001?T?1020?y10?0?2 （4分） ?T?01?y0101?1?3?T?0y01?2?02?1?4 1?lh1?2?lvg?2?1?lv） （* ?3?1?2?2?flv?4?為未定函數(shù),?0,?,?,4123 *）式可得由（?2222?) 分3為未定函數(shù)?,?,?l,v?,其中f?l,v?。32213414元，每天建立不允許缺貨的存儲(chǔ)模型：設(shè)生產(chǎn)能力無限，一次性的訂貨費(fèi)為六、c1*c和每次訂元，每天貨物的需要量為r，確定最佳訂

10、貨周期每噸貨物的儲(chǔ)存費(fèi)為T2* 貨量。Q 解：由已知可得： 為不允許缺貨的存儲(chǔ)模型，一個(gè)周期內(nèi)的總費(fèi)用)(TC) 分訂貨費(fèi)儲(chǔ)存費(fèi) (3)C(Tt 為時(shí)刻的儲(chǔ)存量)tq( rTQ?rt,其中Q為總的儲(chǔ)存量,且q(t)?Q 從而一個(gè)周期內(nèi)總的儲(chǔ)存量為1T? 分） （3QT?)q(tdt 20 則總費(fèi)用為2 圖112 3分） （rTcQT?c?C(T)?cc 212122)C(T 于是每天的平均費(fèi)用是 rTcc)C(T 21rC(T)?cc?2分）（3 212TT ccrT2cr2c1211?時(shí)Q即?,T?)C(T 才能取到最小值，此時(shí)當(dāng)且僅當(dāng) ， T2crc22 2c*1?T所以，最佳訂貨周期 分

11、）（ 3rc2 ，建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售模型。設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)，銷售速率為常數(shù)七、kr）一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來一。在每一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，開始的一段（T?0?trk?0?的圖形。設(shè)每次生產(chǎn)的開工費(fèi)為段時(shí)間只銷售不生產(chǎn)，畫出貯存量T?tTc)q(t10元，試以每天費(fèi)用最小為原則確定最佳周期。元，單位時(shí)間每件產(chǎn)品的儲(chǔ)存費(fèi)為c2 的情況。討論和rkrk? ) 分圖: (4 解：由右圖可知：Tt0?(k?r)t;?0?(t)q ?k-r Tt?b?r(t?T);T?r 00Tkb?(?r) 其中0 總的貯存量為Q4 圖11T? （3分）TTQ?q(t)dt?bT?(kr) 0220 則每一個(gè)周期內(nèi)每天平

12、均費(fèi)用c 為 )?rccc(k1)c(T?212TT(k?r)T?c?c? 3分）（ ? 00122TTT ?r而T?kTrT?T 00k )?r2)ccr(kccr(k?r2211?Tc? k2kT k2c(k-r)ccr112?T?T時(shí)，即時(shí)，每天費(fèi)用最省，即最佳周期為當(dāng)且僅當(dāng) )rcr(k-T2k2 kc2*1?T分）（3 )-rcr(k2 ck2c2*11?,r?k則T?k （1分） 時(shí)，得 當(dāng) rkrrkcc 22 k2c*1?T則?k?r0,時(shí)，得 當(dāng)分）（ 1 rk?)r(cr?k2 、某公司有三個(gè)工廠生產(chǎn)某種商品并運(yùn)往四個(gè)調(diào)撥站。工廠1，2，3每月分別生八產(chǎn)12、17、11批商

13、品，而每一個(gè)調(diào)撥站每月均需接受10批商品。各廠至各調(diào)撥站的運(yùn)輸距離（公里）如下表所示。已知每批商品的運(yùn)費(fèi)為100元加上每公里0.50元。問應(yīng)如何調(diào)運(yùn)使總運(yùn)費(fèi)最少？ 調(diào)撥站 1 2 3 4 工廠700 1 1300 800 400 1000 2 1400 600 1100 900 3 1200 600 800 ijx個(gè)調(diào)撥站的批量，目標(biāo)是獲得總運(yùn)費(fèi)最小表示從第解：設(shè)個(gè)工廠每月運(yùn)往第ij的調(diào)運(yùn)方案。根據(jù)假設(shè)條件，各工廠到各調(diào)撥站每批商品的運(yùn)費(fèi)可總結(jié)為下表： 2 600元 650元 400元 800元3 550元 500元 700 400元元（4分） 根據(jù)單位運(yùn)費(fèi)可得目標(biāo)函數(shù)的解析表達(dá)式為 z?500 x?750 x?300 x?450 x?650 x?800 x221421111213（3分） x?500 x?550 x?400 x?600 x?400?700 x343323243132 綜合可得其規(guī)劃模型為Minz?500 x?75