概率論基本公式

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本公式第一部分概率論基本公式1、A B AB A AB; AB A (B A)2、對偶率:A B;A BA B.3、概率性率：P(A B)P(A B)P(A) P(AB),特別，B A時有:P(A) P(B); P(A) P(B)有限可加：A2為不相容事件，則P(A A2) P(AJ P(A2)P(AB)對任意兩個事件有：P(A B) P(A) P(B)4、古典概型例：n雙鞋總共2n只，分為n堆，每堆為2只,(2n)!，自成一雙為：n！，則P(A)解：分堆法：C；n(2n -2)! 2事件A每堆自成一雙鞋的概率n!C2C2n5、條件概率P(B|A)器,稱為在事件A條件下，事件

2、B的條件概率,P(B)稱為無條件概率。乘法公式：P(AB)P(A)P(B | A) P(AB) P(B)P(A | B)全概率公式：P(B)P(A)P(B|A)貝葉斯公式：P(Ai | B)P(A B)P(B)P(A)P(B|A)P(Aj)P(B|Aj)j3個球，2號裝有3紅1黑4個球，3號裝有2紅21)求取得紅球的概率；(2)如例：有三個罐子，1號裝有 黑4個球，某人隨機(jī)從其中一罐，再從該罐中任取一個球， 果取得是紅球，那么是從第一個罐中取出的概率為多少？解：1)設(shè)Bi 球取自i號罐，i 1,2,3。A 取得是紅球，由題知B1 B2、B3是一個完備事件2 31P(A)P(B|Ai )，依題意

3、，有： P(A| B1); P(A| B2); P(A| B3)-3 42由全概率公式P(B)里共八、/、P(BJ P(B2) P(B3)P(A) 0.639.(2)由貝葉斯公式:P(B! | A)P(A|B!)P(B!)P(A)0.348.6、獨(dú)立事件(1)P(AB)=P(A)P(B),則稱 A、B 獨(dú)立。(2)伯努利概型如果隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果：事件A發(fā)生或事件A不發(fā)生，則稱為伯努利試驗(yàn)，即:P(A)=p, P(A) 1 p q (0p1,p+q=1)相同條件獨(dú)立重復(fù) n次，稱之為n重伯努利試驗(yàn)，簡稱伯努利概型。伯努利定理：b(k;n, p) C：pk(1 p)n k (k=o,i,2

4、事件A首次發(fā)生概率為：P(1 P)k1例：設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號: (1)進(jìn)行5次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號的概率；(2)進(jìn)行了 7次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號的概率。解：(1)設(shè)B “5次獨(dú)立試驗(yàn)發(fā)出指示信 號”，則由題意有：5P(B)C5 pk(1 p)5 k，代入數(shù)據(jù)得：P(B) 0.163i 3(2)設(shè)C “7次獨(dú)立試驗(yàn)發(fā)出指示信 號”，則由題意有：72P(C)Ck pk(1 p)7 k 1 c；pk(1 p)n k，代入數(shù)據(jù)，得：P(C) 0.353i 3i 0第二章7、常用離散型分布(1)兩點(diǎn)分布：若一個隨機(jī)變量 X

5、只有兩個可能的取值，且其分布為：PXx1p; PXx21 p ( 0p 20，p0 )都是常數(shù)。分布1 xe(t )222dt,。當(dāng)0,1時，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，概率密度函數(shù)為:(X)定理：設(shè)X N( ,2),則Yx217e,分布函數(shù)為:XXN (0,1)(X)1- Jdt.其期望 E(X)=卩,D(X)=2 。9、隨機(jī)變量函數(shù)的分布(1 )離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布一般方法：先根據(jù)自變量 X的所有可 能取值確定因變量 Y的所有可能值，然后通過 Y的每一個可能的取值 yj(i=1,2, )來確 定Y的概率分布。(2)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布方法：設(shè)已知X的分布函數(shù)FX(x)或者概率密度fX(x)，則P

6、g(X) y PX Cy,其中Cyx| g(x) y，F(xiàn)Y(y)P XCyC fx(x)dxCy，進(jìn)而可通過Y的分布函數(shù)FY(y)，求出Y的密度函數(shù)。例：設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 fx(X)1 |x|, 1 x0,其他1，求隨機(jī)變量YX21的分布函數(shù)和密度函數(shù) 。解:設(shè)FY(y)和fY(y)分別是隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，則由1 x 1 得:1y 2,那么當(dāng) y 1 時FY(y) PYy px21 y P()0, 當(dāng)1y 2時，得：隨機(jī)變量Y=g(X)的分布函數(shù)FY(y) PY y2, : 滬0(1 x)dxY(y) PY y PX 1 y P y 1 x ；y 1 y1(1 |x|

7、)dx y /)y 1 21(1 x)dx 2.y 1 (y 1),當(dāng) y 2時，F(xiàn)y(y) PY y PX 1 y 0dx0,y111(1|x|)dx 10dx1,所以,FY(y)2 - y1 (y1),1 y 2,1,y211,1y 2fx (x)FyW).y10,其他10、設(shè)隨機(jī)變量XN(,2) ,Y= aXb也服從正態(tài)分布即2Y aX b N(a b,(a )。11、聯(lián)合概率分布(1)離散型聯(lián)合分布：P 1i jy1yjPX=XiX1p 11p1jPjjXiP1PjRjPY=yjPi1Pjii1(2)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布:1例：設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)的密度函數(shù)f(x,y)(x y)

8、,0 x 2,0 y 2 80,其他求 f(x), f(y),E(X),E(Y),cov(X,Y)， xy，D(X+Y).解：當(dāng)0w xw 2時由fX (x)x01/8(xy) dy ,得：fx(x)21/8x1/4X，當(dāng) x2 時，由 fX (x) Ody 2 0dy 0,所以,fx (x)1/8x 2 1/4x,0 x 20,其他同理可求得： fY(y)21/8y1/ 4 y ,0 y 20,其他2E(Y)=7/6。E(X)= 0 xfX (x) dx 7/6 ,由對稱性同理可求得,2 2 2 2因?yàn)?E(XY)= xyf (x, y)dxdy1/8xy(x y)dxdy 4/3.0 0

9、丿 丿 0 0所以，cov (X,Y) = E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6)2 =-1/36。2 2 D(X) E(X )E(X)2 2 x2f (x,0 07 2y)dxdy (7)1136同理得D(Y)=,所以,36cov(X,Y)D(X)D(Y)丄11 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=5912條件分布 若F(x|A) PX x|AP： X，A,稱F(x|A)為在A發(fā)生條件下，12、 條件分布：右P AX的條件分布函數(shù)13、 隨機(jī)變量的獨(dú)立性：由條件分布設(shè)A=YW y,且PYW y0,貝U：F(x|Y y 旦 空 血 F(x, y)，設(shè)隨機(jī)變量(X

10、,Y)的聯(lián)合分布概率為F(x,y ),PY yFY(y)邊緣分布概率為FX (x)、Fy( y)，若對于任意x、y有：PX x,Y y PX xPY y，即：F(x, y) Fx(x)Fy(y)，則稱 X和 Y獨(dú)立。邊緣概率密度函數(shù)為14、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (X,Y)的概率密度為f (x, y),fX(x)、fY(y)，則對于一切使 fX(X)0的x,定義在X=x的條件下Y(5)條件概率密度函數(shù)f x iy (x | y );(6) PX2|Y1的條件密度函數(shù)為：fY|X (y| x) 竺刃，同理得到定義在 Y=y條件下X的條件概率密度fx(X)函數(shù)為：1xY

11、(x|y) f (X, y)，若f(x, y)= fX(x) fY(y)幾乎處處成立，則稱 X,Y相互獨(dú) fY(y)立。例：設(shè)二維隨機(jī)變量 (X , Y ) 的概率密度函數(shù)為f(x, y)ce (2X y), x 0, y 00 其它，求(1 )確定常數(shù)c； (2) X,Y的邊緣概率密度函數(shù)；(3)聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);(4)PY0，D(Y)0，則當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù) a，b( a 0)，使：PY aX b 1 時，| xy | 1,而且 a 0時，xy 1;當(dāng) a 0時，xy 1.附注:XY0時，只能說明Y與X之間不是線性關(guān)系，但可能有其他函數(shù)關(guān)系從而不能推注Y與 X獨(dú)立2設(shè)e=EY-( a

12、X b),稱為用aX b來近似Y的均方差，則：設(shè) D(X)0，D(Y)0, 有:a0 coD,b0 E(Y) a0E(X),使均方誤差達(dá)到最小。則對于給定任意正數(shù)有：P| X2I ，或者為：P| X18、切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)=卩,方差D(X)=19、大數(shù)定理：設(shè)隨機(jī)變量X1 ,X 2 ,Xn相互獨(dú)立，且具有相同的期望和方差:E(Xi) ,D(Xi)2，i=1,2,3記Yn1 Xi，則對于任意 0,有：n i 1|jmP|Yn| 1,推論 |向卩1nnA發(fā)生的次數(shù)，p為概率。nAPl1(其中nA為n重伯努利中20、中心極限定理;(1)設(shè)隨機(jī)變量XxXn 相互獨(dú)立，服從同一分

13、布，且E(Xi) ,D(Xi)2，i=1,2,3，則:nXi n ljmPM-n-Xt2/2dt.(2)棣莫佛一拉普拉斯定理：設(shè)隨機(jī)變量X1 ,X 2,Xn相互獨(dú)立，并且都服從參數(shù)為nXi npX 12 / oP的兩點(diǎn)分布，則對任意實(shí)數(shù)X,有：P1X e t /2dtlnm、.；np(1 p)v2第二部分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計(jì)(2)2分布：設(shè)X 1,X 2, Xn是取自總體N(0,1)的樣本，稱統(tǒng)計(jì)量2 X12 X；X2服從自由度為n的2分布。E( 2) n,D( 2) 2n,24、點(diǎn)估計(jì)常用方法(1)矩估計(jì)法：先求E( X),得到一個E(X)與未知參數(shù)的式子，用E(X)表示未知參數(shù)，再把 E(X)用X代替即可。例：已知總體X的概率分布為PX kC2k(1)k 2 k,k 0,1,2,求參數(shù)的矩估計(jì)。1-竺2n解：E(X)xiPX k 0x 2 1x2(1-)2(1-) 2-2，i 1用樣本均值X代替E (X )得到 的矩估計(jì)為：1- (2 )最大似然估計(jì)：一般方法：a、 寫出最大似然函數(shù)L(X1,X2,Xn ； ); b令dL (_L0或d 1 n L()0,求出駐點(diǎn)；c、判斷并求出最dd大值點(diǎn)，在最大值點(diǎn)得表達(dá)式中，用樣本均值代入即得到參數(shù)的最大釋然估計(jì)值。例：設(shè)總體X的概率密度為f(x)1)x ,0 x0,其它1)是未知參數(shù),設(shè)X1，X,2,Xn為一個樣本，試求參數(shù)的矩估計(jì)量