解直角三角形及其應(yīng)用(教師版)知識(shí)點(diǎn) 詳細(xì)答案資料

1、-精品文檔- 讓更多的孩子得到更好的教育 解直角三角形及其應(yīng)用 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1了解解直角三角形的含義，會(huì)綜合運(yùn)用平面幾何中有關(guān)直角三角形的知識(shí)和銳角三角函數(shù)的定義解直角三角形； 2會(huì)運(yùn)用有關(guān)解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際生活中存在的解直角三角形問(wèn)題 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角. 設(shè)在RtABC中，C=90，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有： 222(勾股定理三邊之間的關(guān)系：a=c+b). 銳角之間的關(guān)系：A+B=90. 邊角之間的關(guān)系： ， ，

2、 . ， ，h 為斜邊上的高. 要點(diǎn)詮釋： (1)直角三角形中有一個(gè)元素為定值(直角為90)，是已知值. (2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒(méi)有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系). (3)對(duì)這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解. 要點(diǎn)二、解直角三角形的常見(jiàn)類型及解法 已知條件 解法步驟 由求A， b) 兩直角邊(a，B=90A， RtABC 兩 邊 由求A， a) c斜邊，一直角邊(如，B=90A， B=90A， 一一直角邊 銳角、鄰邊 邊(如A 和一銳角，b) ， 一 讓更多的孩子得到更好的教育 ，B=90A角 銳角、對(duì)邊 a)如， B=90A，A) ，斜邊、銳角(如

3、c ， 要點(diǎn)詮釋：在遇到解直角三角形的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，最好是先畫(huà)出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元1 . 素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對(duì)邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算若題中無(wú)特殊說(shuō)明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個(gè)條件 2 為邊. 要點(diǎn)三、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù). 量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵 解這類問(wèn)題的一般過(guò)程是： 弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫(huà)出(1) . 幾何圖形，建立數(shù)學(xué)

4、模型將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的(2) . 問(wèn)題. )元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形或通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形 (3)根據(jù)直角三角形(. (4)得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問(wèn)題的解 拓展： 在用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下概念： . 表示 (1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母 如圖，則)坡比：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示， 坡度( . 的形式坡度通常寫(xiě)成= 仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做(2) . 俯角，

5、如圖 讓更多的孩子得到更好的教育 (3)方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40，135，245. (4)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角，叫做方向角，如圖中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30，南偏東45，南偏西80，北偏西60.特別如：東南方向指的是南偏東45，東北方向指的是北偏東45，西南方向指的是南偏西45，西北方向指的是北偏西45. 要點(diǎn)詮釋： 1解直角三角形實(shí)際是用三角知識(shí)，通過(guò)數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長(zhǎng)或角的大小，最好畫(huà)出它的示意圖. 2非直接解

6、直角三角形的問(wèn)題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來(lái)解. 3解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語(yǔ)的意義)，然后正確畫(huà)出示意 .圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解【典型例題】 類型一、解直角三角形 1在RtABC中，C90，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，根據(jù)下列條件，解這個(gè)直角三角形 b?3， a，4； (2)a1 (1)B=60【答案】 (1)A90B906030 b ?tanBb?a?tanB?4?tan60?43知，由 a 讓更多的孩子得到更好的教育 aa4?8c?cosB?由知， 60cosccosBb3?tanB? A(2)90由-60

7、306得B， a 222222?c?a?b4c?ba? ， 20，解這個(gè)直角三角形，bC90，B302如圖所示，在RtABC中， 【答案】 ，B3090知，A+B，而由C90 -3060 A90 201b?sin30 又 ， c2c c40222bc?a? 由勾股定理知 222320a?2040?a? ， 舉一反三：2 3 sinA=；a和b, c=6 ，求2和（1）已知a=2，求，b=2 A、Bc；（）已知 3 52 ）a=4；b=2c=4（1）；A=60、B=30； （【答案】 類型二、解直角三角形在解決幾何圖形計(jì)算問(wèn)題中的應(yīng)用 ?AC ，BD交于點(diǎn)是E的對(duì)角線的中點(diǎn)，四邊形ABCDAC、

8、O3如圖所示，BC是半圓的直徑，D ；DBC(1)求證：ABE 55 AEBBC的值；，CD，求sin已知(2) 22 AB的長(zhǎng)的條件下，求弦在(3)(2) 讓更多的孩子得到更好的教育 【答案】 ?CD?AD， 1(1) 2， 又BC是O的直徑， BACBDC90 ABEDBC (2)由ABEDBC， AEBDCB 55，CD 在RtBDC中，BC 22 22?CDBC5?， BD BD525?sinDCB sinAEB 55BC 2 5，又123，ADEBDABDC中，BD， BADAED(3)在RtDEAD2?DBDEAD? ， ADDB 5?ADCD?2 ， CD，又(BD BE)BD2

9、2 ?553 ?BE5BE)(?5? 即? ，?42?332 ?5?5 sinAEB在RtABE中，ABBE 245 舉一反三：1 ABC中，AC=12cmsinA=，AB=16cm如圖，在 3 tanB3的面積（AB（1）求邊上的高CD；2）求ABCS；（）求 22+2. ；）（【答案】1CD=4cm（tanB=）3；S=32 cm2）（ 4 讓更多的孩子得到更好的教育 類型三、解直角三角形在解決實(shí)際生活、生產(chǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用 13i是指4某過(guò)街天橋的截面圖為梯形，如圖所示，其中天橋斜面C1:的坡度（i鉛直高度DE與水平寬度CE的比)，CD的長(zhǎng)為10 m，天橋另一斜面AB的坡角ABC45 (1)

10、寫(xiě)出過(guò)街天橋斜面AB的坡度； (2)求DE的長(zhǎng)； (3)若決定對(duì)該過(guò)街天橋進(jìn)行改建，使AB斜面的坡度變緩，將其45坡角改為30，方便過(guò)路群眾，改建后斜面為AF，試計(jì)算此改建需占路面的寬度FB的長(zhǎng)(結(jié)果精確到.0.01 m) 【答案】 (1)作AGBC于G，DEBC于E， AGBG中，ABG45，在RtAGBAG?1?i? 的坡度 AB BG 3DE?tan?CC ，RtDEC中， (2)在 3EC 3015mCD?DE 又 CD10 m 2 ，AFG305 m，在RtAFG中，(3)由(1)知AGBG AG53 ?tanAFG?3.66(m)553?FB? ，即，解得 FG5?3FB 3.66

11、 m答：改建后需占路面的寬度FB的長(zhǎng)約為 ，C5騰飛中學(xué)在教學(xué)樓前新建了一座“騰飛”雕塑為了測(cè)量雕塑的高度，小明在二樓找到一點(diǎn)，利用三D45，小華在五樓找到一點(diǎn)點(diǎn)的仰角為30，底部B點(diǎn)的俯角為A利用三角板測(cè)得雕塑頂端0.1(結(jié)果精確到的高度為)若已知CD10米，請(qǐng)求出雕塑AB如圖所示點(diǎn)的俯角為角板測(cè)得A60( 3 1.73)米，參考數(shù)據(jù) 【答案】 讓更多的孩子得到更好的教育 過(guò)點(diǎn)C作CEAB于E D906030，ACD903060， CAD180306090 1 CD10， AC5 CD 2 ACE中， 在Rt5sin 305sinACE， AEAC 25 35cos 30ACE， CEACc

12、os 2 ，45中， BCE在RtBCE555 1)3?3AB?AE?BE?( ) 6.8(米 222 6.8米 雕塑AB的高度約為 【鞏固練習(xí)】 一、選擇題4?Asin，90 1.在ABC中，C( )，則tan B 54433 A B C D 5453 BC的長(zhǎng)為( )，AB7，則2在RtABC中，C90，B357 7tan 35 C7cos 35 BA7sin 35 D cos35 3與水BC的坡比是(1:坡比是坡面的鉛直高度河堤、橫斷面如圖所示，堤高3BC5米，迎水坡AB ( )，則AC的長(zhǎng)是之比平寬度AC 31053 米10米 C A15米 D米 B 的中點(diǎn)，OB、OCO，點(diǎn)M、N分別

13、為中，對(duì)角線4如圖所示，正方形ABCDAC、BD交于點(diǎn) 的值為( )則cosOMN 1321 D A C B 222 題第5 3題 第4題第l ( ) 為，滑梯的坡角為如圖所示，某游樂(lè)場(chǎng)一山頂滑梯的高為h，那么滑梯長(zhǎng)5hhh?sinh? DA B C ?cossintan 讓更多的孩子得到更好的教育 6如圖所示，在ABC中，C90，AC16 cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，連接BD， 3?BDCcos?，則BD的長(zhǎng)是( )若 5 A4 cm B6 cm C8 cm D10 cm 7如圖所示，一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西40的方向行駛40海里到達(dá)B地，再由B地向北20的方向行駛40海

14、里到達(dá)C地，則A、偏西C兩地相距( ) A30海里 B40海里 C50海里 D60海里 第6題 第7題 第8題 8如圖所示，為了測(cè)量河的寬度，王芳同學(xué)在河岸邊相距200 m的M和N兩點(diǎn)分別測(cè)定對(duì)岸一棵樹(shù)P的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30的方向，則河的寬度是( ) 2003 10033200m Dm BAm C100m 3 二、填空題3，則tanBCAM的值為_(kāi) 如圖所示，9在RtABC中，C90，AM是BC邊上的中線，sin 510如圖所示，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的點(diǎn)，ADBE，AE與CD交于點(diǎn)F，AGCDAG的值為_(kāi) 于點(diǎn)G，則 AF 第9題 第10題 第1

15、1題 402海里的A的東北方向，距離燈塔處，它沿正南方向航行一段11如圖所示，一艘海輪位于燈塔P時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30方向上的B處，則海輪行駛的路程AB為_(kāi)海里(結(jié)果保留根號(hào)) 12如圖所示，直角梯形ABCD中，ABBC，ADBC，BCAD，AD2，AB4，點(diǎn)E在AB上，將CBE沿CE翻折，使B點(diǎn)與D點(diǎn)重合，則BCE的正切值是_ 13如圖所示線段AB、DC分別表示甲、乙兩座建筑物的高ABBC，DCBC，兩建筑物間距離 BC30米，若甲建筑物高AB28米，在A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的仰角45，則乙建筑物高DC_ _ 米 讓更多的孩子得到更好的教育 第14題題12題 第13 第 處，他先沿正東方C

16、地的北偏東60方向的14.在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明同學(xué)從營(yíng)地A出發(fā)，要到A、B如圖所示)，那么，由此可知，B地，再沿北偏東30方向走，恰能到達(dá)目的地C(向走了200m到達(dá) C兩地相距_m 三、解答題的高度，他們?cè)谶@棵樹(shù)正前方一DE15如圖所示，某校綜合實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)欲測(cè)量公園內(nèi)一棵樹(shù)測(cè)處，朝著這棵樹(shù)的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)C點(diǎn)處測(cè)得樹(shù)頂端D的仰角為30，座樓亭前的臺(tái)階上A 33，AB:BC臺(tái)階AC的坡度為)1:1:(即2的仰角為得樹(shù)頂端D60已知A點(diǎn)的高度AB為米， )的高度(測(cè)傾器的高度忽略不計(jì)B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上請(qǐng)根據(jù)以上條件求出樹(shù)DE且 處測(cè)得A如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)欲

17、測(cè)量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他們先在16. 求的仰角為30至C處，測(cè)得古塔頂端點(diǎn)D20m古塔頂端點(diǎn)D的仰角為45，再沿著B(niǎo)A的方向后退 3 )(1.732該古塔BD的高度，結(jié)果保留一位小數(shù) 所在直線與支架CD17如圖所示是某品牌太陽(yáng)能熱水器的實(shí)物圖和橫斷面示意圖，已知真空集熱管AB，另一根輔30BAC150與水平面AE垂直，AB厘米，O相交于水箱橫斷面的圓心，支架CD 6076厘米，CED助支架DE) 結(jié)果保留根號(hào)CD的長(zhǎng)度(1)求垂直支架 231.73) 1.41的長(zhǎng)度求水箱半徑(2)OD(結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：， 讓更多的孩子得到更好的教育 【答案與解析】 一、選擇題 1

18、.【答案】B； BC4?，設(shè)BC4x則AB【解析】如圖，sin A5x AB5 AC3x3 22?tanB?xAB?BC3AC? ，根據(jù)勾股定理可得AC BC4x4 2.【答案】C；BC?cosB【解析】在Rt BCABcosB7cos 35 ABC中， AB ；【答案】3.ABC ?i?tanA?31:AC?3?BC?53(【解析】由知，米) BC 4.【答案】B； 2?OMNcos? OBCBC【解析】由題意知MN，OMN45，2 A5.【答案】；hh?l?sin. 【解析】由定義， ?sinl ；D6.【答案】DC3?BDCcos?，, AB MN【解析】是的中垂線 又 BDAD BD5

19、設(shè)DC3k，則BD5k， AD5k，AC8k 8k16，k2，BD5210 7.【答案】B； 【解析】 連接AC， ABBC40海里，ABC40+2060， ABC為等邊三角形， ACAB40海里 8.【答案】A 200 ?PM?2003，【解析】依題意PMMNMPNN30tan30 ， PM 讓更多的孩子得到更好的教育 二、填空題 2； 9【答案】 33，設(shè)CM3k，則AM5k，ACACM中，sinCAM4k 【解析】在Rt 5AC4k2? 又 AM是BC邊上的中線， BM3k， tanB BC6k3 3； 【答案】102【解析】由已知條件可證ACECBD從而得出CAEBCD AG3?sin60? 60，在RtAFG中， AFGCAE+ACDBCD+ACD AF2 40?403； 【答案】11 2 ?40402sinAPC 【解析】在RtAPC中，PCACAP 2 403， PCBCtanBPC在RtBPC中，BPC90-3060， 40?403所以ABAC+BC 1； 12【答案】 2【解析】如圖，連接BD，作DFBC于點(diǎn)F，則CEBD，BCEBDF，BFAD2， BF21?tan?BCE?tan?BDF? ，所以DFAB4 DF42 13【答案】58； 【解析】45， DEA