圓的面積公式探索

1、數(shù)學(xué)有形 思想無(wú)痕圓的面積公式的探索董文華、 在折剪中悟“極限”師：在前幾節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們知道了圓是最美麗的平面圖形?，F(xiàn)在我們舉行一個(gè)“小巧手”比賽，每小組都備有 紙和剪刀，想辦法剪一個(gè)圓，比一比誰(shuí)剪的最漂亮（小組活動(dòng)后交流）小組 1：（舉起兩個(gè)紙片）我們小組先是隨意剪，怎么也剪不圓。對(duì)折一次再剪，剪了半圈，這次剪得好多了，但是 仍不太圓。小組 2：我們小組把紙對(duì)折了兩次， 剪了圓弧的四分之一， 剪起來(lái)比較接近圓。小組 3：（舉著剪好的像花瓣一樣的紙片）我們小組遇到了麻煩，把紙對(duì)折三次，剪了一刀展開(kāi)后像一朵花一樣。師：其他小組有沒(méi)有這種情況小組 4：我們小組剛開(kāi)始也出現(xiàn)了這些問(wèn)題， 試了幾次

2、后 發(fā)現(xiàn)了竅門，紙片折好后應(yīng)該盡量剪直線，這樣才能避免剪 出花瓣形狀。師：這個(gè)發(fā)現(xiàn)很重要，大家可以再嘗試著剪一剪。學(xué)生再次嘗試，不斷發(fā)出驚喜的聲音。每個(gè)小組紛紛把最得意的作品展示在黑板上。 ）師：想一想，圓是個(gè)曲線圖形，為什么要“直著剪”展 開(kāi)后才會(huì)更圓學(xué)生1:受劉徽的“割圓術(shù)”的啟示，正多邊形最接近圓，“直著剪”其實(shí)就是剪了一個(gè)圓內(nèi)的正多邊形。學(xué)生2：剪的時(shí)候，要盡量的多對(duì)折，剪出的邊越多越接 近圓。師：認(rèn)真觀察黑板上我們的作品，你有什么發(fā)現(xiàn)學(xué)生1:我們剛才剪“圓”時(shí)，對(duì)折時(shí)留下了許多折痕， 其實(shí)就是圓的半徑，和圓弧圍成了許多近似的小三角形，折 的次數(shù)越多的作品越接近三角形。學(xué)生2:圓其實(shí)可

3、以看成是由一些近似的等腰三角形組成 的。、在探究中巧“轉(zhuǎn)化”師：如何求圓的面積能不能像推導(dǎo)三角形、平行四邊形 的面積公式那樣推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式（小組活動(dòng)后交流）小組1:我們把圓對(duì)折三次平均分成 8個(gè)小三角形，三角1形的底是圓周長(zhǎng)的8,三角形的高也就是圓的半徑r，推出1圓的面積公式：7 X 2nrX r + 2X 8 = n r2;8小組2：折的次數(shù)越多分的份數(shù)就越多， 我們可以這樣想1像分成了 x個(gè)小三角形，就可以推出圓的面積公式: nr X r + 2XX=n r2;小組3:我們小組想到了三角形的面積公式推導(dǎo)過(guò)程，把 圓剪成8個(gè)小三角形一正一倒反插在一起，拼成了一個(gè)近似 平行四邊形。拼成

4、的平行四邊形的面積和原來(lái)的圓的面積是 相等的，平行四邊形的底等于圓周長(zhǎng)的一半，平行四邊形的 高等于圓的半徑，平行四邊形的面積等于底乘高，圓面積公1式等于 2 X 2n r X r = n r2。小組4:如果分的份數(shù)越多比如 16份、32份，拼成的圖形越接近于長(zhǎng)方形，根據(jù)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬與圓的關(guān)系，也能1得出圓的面積公式2 X 2nr X r=n r2。師生共同完成板書：S=n r2【我的思考】圓的面積公式推導(dǎo)與以前學(xué)過(guò)的平面圖形的面積公式推導(dǎo)有質(zhì)的區(qū)別，學(xué)生在已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上 建構(gòu)這一知識(shí)是有難度的，如何建立圓這個(gè)曲邊圖形和直線圖形之間的轉(zhuǎn)化是教學(xué)的突破口。本環(huán)節(jié)中借助“剪紙”這學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)

5、的活動(dòng)，在剪圓的過(guò)程中思考“如何剪得更圓”、“為什么我剪出的圓象花瓣”為什么要直著剪”學(xué)生帶著問(wèn)題嘗試和探索，聯(lián)想到劉徽的“割圓術(shù)”思維步步逼近，逐步達(dá)成共識(shí)：對(duì)折的次數(shù)越多，剪的越直，越 接近圓。此時(shí)，在學(xué)生的頭腦中圓已經(jīng)化身為一個(gè)正多邊形。圓與直線型圖形之間的轉(zhuǎn)化、極限的思想是在學(xué)生看得見(jiàn)， 摸得著的學(xué)習(xí)過(guò)程中感悟出來(lái)的，分散了教學(xué)難點(diǎn)，面積公 式的推導(dǎo)也就順理成章了。特級(jí)教師錢陽(yáng)輝說(shuō)過(guò)：如果知識(shí)后面沒(méi)有方法，知識(shí)只能成為一種負(fù)擔(dān)，如果方法背后沒(méi)有思想，方法只不過(guò)是 種笨拙的工具。在上面的教學(xué)過(guò)程中，比得到一個(gè)公式更為 重要的東西，那就是數(shù)學(xué)思想的熏陶，這才是數(shù)學(xué)的精髓， 花再多的時(shí)間也是

6、值得的。（作者單位：鶴壁市山城區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）“接受”與“探究”同樣精彩三門峽市實(shí)驗(yàn)小學(xué)周國(guó)案例: 師：圓的面積公式怎樣推導(dǎo)是不是也可以像平行四邊形、三角形、梯形一樣可以轉(zhuǎn)化成其它已學(xué)過(guò)的平面圖形呢生：可以把圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來(lái)推導(dǎo)面積公式。師：好，請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手試一試。（幾分鐘過(guò)去了，無(wú)人轉(zhuǎn)化成功，學(xué)生很茫然）生：圓是曲線圍成的，圓不可能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。（一語(yǔ)激起千層浪，大多數(shù)同學(xué)贊同這一說(shuō)法，部分學(xué)生否認(rèn)）師：從表面上看，曲線的圓是無(wú)法轉(zhuǎn)化成有線段圍成的長(zhǎng)方形的。但是，我們古代的科學(xué)家經(jīng)過(guò)不懈的努力，卻轉(zhuǎn) 化成功了。同學(xué)們想知道古人是怎樣轉(zhuǎn)化的嗎生（迫不及待）：想。師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察多媒體課件演示，

7、看看圓是如何轉(zhuǎn)化成直線圖形的。（電腦直觀演示：先把圓等分成12份，然后剪開(kāi)，接著拼接成近似的平行四邊形）生：不是長(zhǎng)方形，是不標(biāo)準(zhǔn)的平行四邊形。（電腦演示：把圓等分成 16份后拼接， 接著是等分成32份、64份、師：如果一直這樣無(wú)限地等分下去，結(jié)果將會(huì)怎樣 生：圓平均分的份數(shù)越多，每一份就越小，拼成的圖形就越接近長(zhǎng)方形。師：同學(xué)們，剛才電腦演示的圓的轉(zhuǎn)化方式叫 “割圓術(shù)”，公元3世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽采用“割圓術(shù)”推算出了圓周 率。這種以直代曲，用有限逼近無(wú)限的數(shù)學(xué)思想為我國(guó)古代 數(shù)學(xué)家首創(chuàng)（師生共同總結(jié)：圓面積 =轉(zhuǎn)化后長(zhǎng)方形面積=yx寬=1 cx r=2 X 2n r X r =n r2)師：

8、同學(xué)們猜想一下，我們還能把圓轉(zhuǎn)化成哪些平面圖生：轉(zhuǎn)化成近似的等腰三角形。生：轉(zhuǎn)化成近似的等腰梯形。師：請(qǐng)同學(xué)們4人一組合作探究，把圓轉(zhuǎn)化成其中的任意一種圖形，推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算公式?？凑l(shuí)能探究出與眾 不同的圓面積推導(dǎo)過(guò)程。結(jié)果: 學(xué)生4人一組進(jìn)行探究，探究結(jié)果如下:小組1:把圓16等分后拼接成近似的等腰三角形，得出1三角形的底相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的 4，高相當(dāng)于圓半徑的 4倍，所1 1 1以圓面積=三角形面積 =2 X底X高=2 X 4 X 2 n r X 4r= nr2小組2 :把圓等分后，拼成近似的等腰梯形，得出梯形上底與下底的和就是圓周長(zhǎng)的一半，高等于圓半徑的2倍，1 1所以圓面積=梯形面積=2

9、 X（上底+下底）X高=2 Xn r X 2r = n r2。小組3:把圓平均分成16份，得出一份即一個(gè)小三角形所占的面積就是整個(gè)圓面積的116，小三角形的底相當(dāng)于圓1的周長(zhǎng)的 亦，高相當(dāng)于圓的半徑，所以圓面積個(gè)小1 1 1角形的面積X 16 =2 (底X高)X 16=2 X( 2n rx X r)X 16= n r2。最后師生歸納總結(jié)：S=n r2。反思:本片段教學(xué)中，我根據(jù)學(xué)生的年齡特征，組織了有意義的接受學(xué)習(xí)和探究活動(dòng)。我首先讓學(xué)生動(dòng)手操作，當(dāng)學(xué)生積 極探究后仍無(wú)法轉(zhuǎn)化成功時(shí)，再運(yùn)用多媒體課件邊演示邊講 授。此時(shí)，學(xué)生的注意力高度集中，思維也極其活躍，這時(shí) 的接受學(xué)習(xí)就顯得非常必要和有效

10、。接著，在接受學(xué)習(xí)的基 礎(chǔ)上，學(xué)生通過(guò)猜想、小組合作探究，把圓轉(zhuǎn)化成近似的梯 形或三角形，進(jìn)一步驗(yàn)證了圓的面積公式。圓的面積公式是刻板的，而公式推導(dǎo)的再創(chuàng)造過(guò)程卻是鮮活、生動(dòng)而有趣的。在推導(dǎo)過(guò)程中，學(xué)生最大限度地投入到觀察、思考、操作、探究活動(dòng)中，親歷“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，體驗(yàn)到成功喜悅。學(xué)習(xí)如同“探路”，在達(dá)到目標(biāo)的過(guò)程中，數(shù)學(xué)上的規(guī)定性、陳述性、事實(shí)性知識(shí)等如同“路標(biāo)”需要學(xué)生接受，數(shù)學(xué)上的實(shí)驗(yàn)、嘗試、推測(cè)、思考、發(fā)現(xiàn)等如同“行走方式”需要學(xué)生探究，但有時(shí)也需要接受與探究交叉進(jìn)行。不管采用什么方法，只要能根據(jù)教學(xué)特點(diǎn)和實(shí)際需要合理運(yùn)用，教 學(xué)效果一樣精彩!2009年4月29日發(fā)表于教育時(shí)報(bào)國(guó)內(nèi)

11、統(tǒng)一刊號(hào)：CN41-0026曲直”轉(zhuǎn)化顯奇葩圓的面積公式探索劉榮霞、開(kāi)門見(jiàn)山提問(wèn)題師：同學(xué)們，前幾節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓的有關(guān)知識(shí)，這節(jié)課我們來(lái)探索圓的面積。請(qǐng)大家思考一下，我們可以用哪些 方法求解圓的面積呢（學(xué)生思考交流）生 1 ：可以在圓的邊外面畫一個(gè)正方形。先求出正方形的面積，然后再把多出來(lái)的部分減去就得到了圓形的面積。生 2 ：有問(wèn)題。多出來(lái)的部分面積怎么算是不是可以把正方形畫在里面呢（生撓撓頭說(shuō)： “好像也不太行”。）師：你們想通過(guò)正方形解決圓的面積，非常了不起。你們可以再找找有沒(méi)有比正方形更接近圓面積的圖形。生 3 ：在圓上畫方格，數(shù)數(shù)有多少個(gè)方格，就可能會(huì)知道圓的面積有多大了。師：想法

12、很獨(dú)特，想到了求圖形面積要用到面積單位。會(huì)可以嘗試一下。生 4 ：（手中拿著一個(gè)圓邊折疊邊講解） 把圓形多折疊幾次，變成一個(gè)一個(gè)的小三角形， 先求出每個(gè)小三角形的面積， 再乘三角形的個(gè)數(shù)，也可以得到圓形的面積。師：為什么要多折幾次呢 生 4 ：折的次數(shù)越多，折出來(lái)的形狀越像三角形。師：這是數(shù)學(xué)上的逼近思想！生 5 ：我們學(xué)過(guò)長(zhǎng)方形、正方形、三角形、梯形和平行四邊行面積的求解方法，要是把圓形變成這幾種圖形就好 了。師：（鼓掌）大家大發(fā)言太精彩了，每個(gè)人的眼界頓時(shí)開(kāi)闊了起來(lái)。知道嗎，在你們提出策略中，就有數(shù)學(xué)家用到 同想法的同學(xué)相互合作，探索圓的面積。如有什么困難，可 以和我交流，咱們共同解決。的

13、“轉(zhuǎn)化”和“極限”的思想方法。板書）下面，請(qǐng)有共二、動(dòng)手操作探真知師：哪個(gè)小組愿意把你們探索結(jié)果與大家共享。生 1 ：我們組用了數(shù)格子的方法。只能得出圓的大概面積，不能得到準(zhǔn)確的結(jié)果，因?yàn)閳A上的格子不一定都是正方 形的，有些地方?jīng)]有辦法知道準(zhǔn)確的面積。生 2:我們借鑒了轉(zhuǎn)化的方法。把圓平均分成 8 份，拼成了一個(gè)近似的平行四邊形。平行四邊形的底是圓周長(zhǎng)的一半，平行四邊形的高是圓的半 徑，因此，S平=2nr/2 X r =n r2 （生板書）圓的面積公式:2n r/2 X r =n r2生 3：把圓對(duì)折 4 次平均分成 16 份，每一份看成是一個(gè)三角形。三角形的底是圓周長(zhǎng)的1/16，就是2n r

14、 /16，三角形的高也就是圓的半徑 r，一個(gè)三角形的面積是：2n r /16 Xr + 2;三角形的總面積等于圓形的面積。由此推出圓的面積公式：2nr/16 X r + 2X 16 = n r2;生 4：我們組把圓變化成了一個(gè)三角形。 （指著拼好的角形圖）這個(gè)三角形的底是圓周長(zhǎng)的1/4,高是4r，三角形的面積：2n r/4 X 4r+ 2 那么圓形的面積=2口 r/4X 4r+ 2=nr2生 5：圓形也可以剪拼成梯形。 （指梯形圖講解）先把圓平均分成 32 份，剪開(kāi)后拼成梯形。梯形的面積=（上底 +下底）X高+ 2=2nr/4X 4r + 2, 上下底合起來(lái)是2n r/4。那么，圓的面積=2n r/4X 4r+ 2=n r2師生看課件演示把圓平均分成32、64、128 等份， 拼成近似的平行四邊形、長(zhǎng)方形，推導(dǎo)出圓形面積公式?？偨Y(jié)歸納, 圓的面積和轉(zhuǎn)化后圖形的面積的大小相等, 因此圓面積公式：S=n r2【課后反思】本課轉(zhuǎn)化不是難點(diǎn)，關(guān)鍵是學(xué)生不知如 何把圓轉(zhuǎn)化成直線的圖形。因此教師在開(kāi)課初，沒(méi)有過(guò)多的 鋪墊與情景設(shè)置，直接提出核心問(wèn)題：請(qǐng)大家思考一下，我 們可以用哪些方法求解圓的面積呢這樣做的目的是給學(xué)生 較多的思考、探究的空間與時(shí)間，讓學(xué)生獨(dú)立思考，通過(guò)交 流使大部分學(xué)生開(kāi)拓思路，讓學(xué)生都能有探究的方向，