FFT-與小波變換的區(qū)別-FFT的缺陷13頁

1、 分段平穩(wěn)信號(hào)這兩種波形的FFT完全一樣！完全分不出信號(hào)出現(xiàn)的位置，說明傅里葉變換缺乏時(shí)間對頻率的定位功能。小波則可以還原。經(jīng)過傅里葉變換之后得到的是頻域的信息，時(shí)間信息完全丟失，很多人會(huì)問那為什么逆變換可以完全恢復(fù)原始信號(hào)？其實(shí)，這個(gè)可以理解為三維空間離得變換，這里涉及到泛函的一些知識(shí)，其通俗理解方法也將在下邊進(jìn)行解釋。傅里葉逆變換同樣可以理解為相關(guān)，只是此時(shí)需保證變換時(shí)t不變，也就是計(jì)算某時(shí)刻不同頻率波形與傅里葉變換之后的頻域信號(hào)之間的相關(guān)，積分后得到該時(shí)刻各頻率分量在該時(shí)刻的總貢獻(xiàn)?？梢灾浪杏嘘P(guān)時(shí)間的信息都是由e(ift)導(dǎo)出的。傅里葉變換：1）首先傅里葉變換是傅里葉級(jí)數(shù)（有限周期

2、函數(shù)） 向（無限周期 函數(shù)）的擴(kuò)展，將該函數(shù)展開成無限多個(gè)任意周期的正弦或余弦函數(shù)的和（或積分）。2）傅里葉級(jí)數(shù)中各項(xiàng)系數(shù)例如cosx項(xiàng)系數(shù)是原函數(shù)與其在某一定義域內(nèi)的積分，顯然我們可以將該過程理解為對這兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行相關(guān)，將相關(guān)系數(shù)作為該頻率處的強(qiáng)度。3）經(jīng)過傅里葉變換之后得到的是頻域的信息，時(shí)間信息完全丟失，很多人會(huì)問那為什么逆變換可以完全恢復(fù)原始信號(hào)？其實(shí)，這個(gè)可以理解為三維空間離得變換，這里涉及到泛函的一些知識(shí)，其通俗理解方法也將在下邊進(jìn)行解釋。傅里葉逆變換同樣可以理解為相關(guān)，只是此時(shí)需保證變換時(shí)t不變，也就是計(jì)算某時(shí)刻不同頻率波形與傅里葉變換之后的頻域信號(hào)之間的相關(guān)，積分后得到該時(shí)刻各

3、頻率分量在該時(shí)刻的總貢獻(xiàn)?？梢灾浪杏嘘P(guān)時(shí)間的信息都是由e(ift)導(dǎo)出的。4） 從泛函的角度，我們可以把傅里葉級(jí)數(shù)中的三角函數(shù)1/sqrt(2),sin(t)/sqrt(),cos(t)/sqrt(),.看做一個(gè)線性函數(shù)空間的一個(gè)基，這里與線性代數(shù)里的線性空間有兩點(diǎn)不同，第一該處是函數(shù)空間，每個(gè)元素都是一個(gè)函數(shù)而不是一個(gè)數(shù)，第二這里是無限維空間，基有無限多個(gè)元素。但是這并不影響我們的理解。我們可以像在有限維線性空間中那樣將傅里葉變換理解為這個(gè)函數(shù)在以三角函數(shù)為基的空間的展開，而將傅里葉逆變換理解為一個(gè)旋轉(zhuǎn)（或其他變換），舉個(gè)例子：一個(gè)立方體，正著放的時(shí)候我們看到的是正面（頻域），當(dāng)我們旋轉(zhuǎn)

4、一下，我們可能看到其他面比如反面（時(shí)域）。短時(shí)傅里葉變換：由上敘述可知傅里葉變換之后的圖像僅包含頻域信息，丟失了時(shí)域信息，在那些同時(shí)需要頻域和時(shí)域信息的時(shí)候（在什么時(shí)候存在哪些頻率）就顯得無能為力，因此出現(xiàn)了短時(shí)傅里葉變換，短時(shí)傅里葉變換認(rèn)為在一個(gè)小的時(shí)間段deltat內(nèi)信號(hào)是穩(wěn)定的，信號(hào)包含的頻率是不變的，利用一個(gè)窗口函數(shù)與原始函數(shù)卷積，在特定的時(shí)間僅計(jì)算該時(shí)間前后共deltat時(shí)間內(nèi)的信號(hào)的傅里葉變換作為該時(shí)間點(diǎn)的傅里葉變換，即該時(shí)刻的頻譜。小波變換：雖然短時(shí)傅里葉變換可以解釋一些問題，但是由于窄的窗口函數(shù)時(shí)間分辨率高但是頻率分辨率低，而寬的窗口函數(shù)頻率分辨率高但時(shí)間分辨率低，低頻信號(hào)時(shí)間

5、分辨率較低而頻率分辨率較高，此處時(shí)間分辨率低很容易理解，因?yàn)椴ㄩL越長，他在不同的時(shí)段的貢獻(xiàn)就越多，前幾個(gè)時(shí)段或后幾個(gè)時(shí)段都可能也包含了部分信號(hào)導(dǎo)致針對某一頻率在時(shí)間變化時(shí)得到的相關(guān)系數(shù)變化緩慢，尖峰較寬，分辨率低，對于頻率分辨率不是很好理解，我是這樣理解的，低頻信號(hào)波長較長，在于原始信號(hào)相關(guān)時(shí)微小變化對相關(guān)系數(shù)影響大，而高頻信號(hào)波長短，頻率的微小變換對相關(guān)系數(shù)的影響不是很明顯。而短時(shí)傅里葉變換窗口大小固定，不能同時(shí)得到較好的時(shí)間和頻率分辨率。這樣便產(chǎn)生了小波，小波可以理解為是在短時(shí)傅里葉變換的基礎(chǔ)上對窗口函數(shù)增加了一個(gè)尺度因子，該尺度因子隨著頻度變化而變化，使得在低頻時(shí)降低窗口寬度增加時(shí)間分辨

6、率而在高頻時(shí)增加窗口寬度增加頻率分辨率。暫時(shí)寫到這里，各位有什么精彩的理解或指教盡管發(fā)言，謝謝。來源：李端順|分享(35)|瀏覽(113)源地址:/GetEntry.do?id=495880219&owner=229912909傅立葉變換的缺點(diǎn)傅里葉變換具有良好的性質(zhì)，能夠?qū)崿F(xiàn)時(shí)域到頻域相互轉(zhuǎn)換，它實(shí)質(zhì)是將f(t)這個(gè)波形分解成許多不同頻率的正弦波的疊加。這樣我們就可以把對原函數(shù)f(t)的研究轉(zhuǎn)化為不同頻率分量的幅值和相位的研究。從傅里葉變換公式可以看出，它是以正弦波及其高次諧波為標(biāo)準(zhǔn)基的，因此它是對信號(hào)的一種總體上的分析，具有單一的局部定位能力，也就是在時(shí)域的良好定位是以頻域的全部信號(hào)分析為代價(jià)的，對頻域的良好定位是以時(shí)域的全部信號(hào)分析為代價(jià)的，時(shí)域和頻域分析具有分析上的矛盾，傅立葉變換的頻率譜中要么頻率是準(zhǔn)確的而時(shí)間是模糊的，要么時(shí)間是準(zhǔn)確的而頻率是模糊的，它不可能同時(shí)在時(shí)域和頻域都具有良好的定位的能力。傅立葉變換是建立在平穩(wěn)信號(hào)的基礎(chǔ)上的，在非平穩(wěn)時(shí)變信號(hào)的分析上，它卻無能為力。傅立葉變換把信號(hào)的時(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系在一起，使我們可以從信號(hào)的時(shí)域和頻域兩個(gè)角度觀察和分析信號(hào)，但是二者卻是絕對分離