個(gè)數(shù)乘個(gè)數(shù),結(jié)果怎么會(huì)等于種數(shù)？

1、個(gè)數(shù)乘個(gè)數(shù)，結(jié)果怎么會(huì)等于種數(shù)? 【望”病例觀察】 事物搭配的規(guī)律”是蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容。教材例1的 情境圖是木偶搭配帽子一一 師：小明就要過(guò)生日了，媽媽要送他一件禮物，小明來(lái)到玩具柜 臺(tái)旁，（出示掛圖）小明要買(mǎi)一個(gè)木偶，再配一個(gè)帽子。像這樣一個(gè) 木偶配一個(gè)帽子，我們就叫搭配。柜臺(tái)上有三種不同顏色的木偶和兩 種不同顏色的帽子，小明在思考買(mǎi)什么顏色的木偶配什么顏色的帽子 好看，請(qǐng)同學(xué)們給他提些建議好嗎？ 師：剛才幾個(gè)同學(xué)的主意都不錯(cuò)，那同學(xué)們能不能有序而又不重 復(fù)地把所有的搭配方法都找出來(lái)，讓小明自己去選擇呢？請(qǐng)同學(xué)們拿 出老師事先發(fā)給你們的木偶和帽子的圖片，動(dòng)手搭配一下。 反饋匯報(bào)時(shí)有

2、兩種搭配思路： A.先選帽子再配木偶；B先選木偶 再配帽子。 師：把木偶增加到4個(gè)，一共有多少種不同的搭配方法呢？ 8個(gè)、 50個(gè)呢？ 師：如果帽子增加到3個(gè)，又有多少種搭配方法呢？ 5個(gè)、100 個(gè)呢？ 教師根據(jù)學(xué)生的回答完成表格： 木偶個(gè)數(shù)帽子個(gè)數(shù)搭配種數(shù) 326 428 8216 502100 3515 3100300 師：觀察表格中數(shù)據(jù)，木偶的個(gè)數(shù)和帽子的個(gè)數(shù)與有多少種搭配 方法之間有什么關(guān)系呢？ 生：木偶個(gè)數(shù)浦冒子個(gè)數(shù)二搭配種數(shù)。 師：這就是搭配的規(guī)律。 在練習(xí)環(huán)節(jié)，教師出示題目 如果木偶和帽子一共有12種搭配方 法，那么你知道可能有多少個(gè)木偶和帽子嗎？”一位學(xué)生答道： “ 6+6=

3、12”教師未等她說(shuō)完，便指著板書(shū)提醒這位學(xué)生： 木偶 個(gè)數(shù)刈冒子個(gè)數(shù)二搭配種數(shù)，應(yīng)該從乘法上想。”誰(shuí)知這位學(xué)生甚是困 惑地問(wèn)道：個(gè)數(shù)乘個(gè)數(shù)，結(jié)果怎么會(huì)等于種數(shù)?。?” 【”問(wèn)”：病歷記錄】 我們暫且不論學(xué)生個(gè)數(shù)乘個(gè)數(shù)，結(jié)果怎么會(huì)等于種數(shù)？ ”這一困 惑，它涉及的是教師的教法問(wèn)題。筆者更多地是對(duì)這位學(xué)生“ 6+6=12 的回答產(chǎn)生好奇，隱約感覺(jué)到它的背后可能有著沒(méi)有說(shuō)出來(lái)的故 事”，很想知道她的答案到底是怎么來(lái)的，真的是教師所認(rèn)為的對(duì)該 問(wèn)題尚未理解嗎？ 課后一問(wèn)才知道，這位學(xué)生的 “ 6+6=12如果說(shuō)完整應(yīng)該是“6種 +6種=12種”于是，筆者接著追問(wèn)： 如果是這樣，那有多少個(gè)木偶 和帽子呢

4、？ ”她說(shuō)出了課上沒(méi)來(lái)得及說(shuō)出的最終答案：可以是2個(gè)木 偶、6個(gè)帽子，也可以是6個(gè)木偶、2個(gè)帽子”原來(lái)她是會(huì)做題的， 只是不理解 個(gè)數(shù)乘個(gè)數(shù)，結(jié)果怎么會(huì)等于種數(shù)？ ”這一知識(shí)在形式上 的矛盾，這一問(wèn)題其實(shí)也就是知識(shí)的本質(zhì)問(wèn)題，她隱約感覺(jué)到了，只 是教師沒(méi)感覺(jué)到而已。 【切”病理診治】 我們常說(shuō) 有理走遍天下”知識(shí)學(xué)習(xí)同樣如此。學(xué)生懂 道理” 知識(shí)才會(huì)學(xué)得深刻，學(xué)得牢固，而要讓學(xué)生成為得道之人，教師就必 須懂得講道理”上述課例中，學(xué)生的質(zhì)疑 個(gè)數(shù)乘個(gè)數(shù)，結(jié)果怎么 會(huì)等于種數(shù)?。?”道出了學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的不深刻，分析教學(xué)過(guò)程， 我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的一知半解是因?yàn)榻處熃虒W(xué)的淺嘗輒止，沒(méi)有挖 到知識(shí)的

5、本質(zhì)。 從教學(xué)結(jié)果上看，學(xué)生似乎根據(jù)相關(guān)條件的數(shù)據(jù)特點(diǎn)順利地找到 了搭配的規(guī)律一一木偶個(gè)數(shù)刈冒子個(gè)數(shù)二搭配種數(shù)”教師也似乎圓滿 地完成了教學(xué)任務(wù)。然而，整個(gè)教學(xué)過(guò)程，規(guī)律的得出，學(xué)生更多的 是從數(shù)據(jù)的特點(diǎn)上找出來(lái)的，或者說(shuō)是把數(shù)據(jù) 搭配”出來(lái)的，從中發(fā) 現(xiàn)搭配的種數(shù)恰好等于木偶個(gè)數(shù)與帽子個(gè)數(shù)的乘積，并在眾多例子中 得到了證實(shí)。 在此值得一提的是，課中這些例子都處于同一情境中，缺乏普遍 性。規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與概括需要 大數(shù)據(jù)” 一是指觀察素材數(shù)量足夠多， 二是指觀察素材范圍足夠廣，能夠體現(xiàn)事物的多樣性，所以，理想的 教學(xué)是，增加其他情景，例如配衣、配餐、配人等。如教材中的想 想做做”（如下圖）中線路搭

6、配問(wèn)題所呈現(xiàn)的就是一種很好的素材， 我們可以從多方面、多角度地歸納出一種事物個(gè)數(shù)令一種事物個(gè)數(shù) 二搭配種數(shù)”這一更抽象的規(guī)律，這樣規(guī)律的得出更完整，也更可信。 不過(guò)，這些素材雖然更多地會(huì)從生活情景引入， 一旦成為數(shù)學(xué)研 究材料，就應(yīng)該區(qū)別于生活，避免受到非數(shù)學(xué)本質(zhì)因素的干擾。例如 上述課例中，教師說(shuō)了這么一句話 一一小明在思考買(mǎi)什么顏色的木 偶配什么顏色的帽子好看，請(qǐng)同學(xué)們給他提些建議好嗎？”其中 好 看”問(wèn)題就很容易讓學(xué)生陷于生活的泥潭中，對(duì)此糾纏不清。此處， 教師應(yīng)把問(wèn)題直接指向 有多少種搭配方法”這一數(shù)學(xué)問(wèn)題比較妥當(dāng)。 固然，本課的教學(xué)是要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)背后隱藏的規(guī)律，從而找 到一種容易

7、操作的數(shù)學(xué)公式，便于學(xué)生運(yùn)用規(guī)律去解決問(wèn)題。但在得 出這一算法之前，我們是否要讓學(xué)生知道其中真正的算理呢？答案是 肯定的，因?yàn)樗惴ㄒ⒃谒憷碇稀Ｒ?個(gè)木偶與3個(gè)帽子搭配為 例，如果從木偶出發(fā)，1個(gè)木偶與帽子就有3種搭配方法，那么2個(gè) 木偶就有“3中+3種=6種”搭配方法，如果從帽子出發(fā)，1個(gè)帽子與木 偶就有2種搭配方法，那么3個(gè)帽子就有“2中+2種+2種=6種”搭配 方法，它們都可以統(tǒng)一用 “3X2=6種）”這一乘法算式表示。換一句 話說(shuō)，搭配規(guī)律的得出需要建立在 搭”與 配”的基礎(chǔ)動(dòng)作上（配合搭 配動(dòng)作，我們的語(yǔ)言可以采用 誰(shuí)搭誰(shuí)配成一種”這樣的表述 方式）,也就是不僅要讓學(xué)生從數(shù)據(jù)上找

8、規(guī)律，還要讓學(xué)生從活動(dòng)中 找規(guī)律。 教師在教學(xué)過(guò)程中如果能夠從知識(shí)的本質(zhì)出發(fā)，講清上述規(guī)律中 蘊(yùn)含的道理，這樣的教學(xué)才是建立在知識(shí)意義上的教學(xué)。 在教學(xué)過(guò)程 中，教師應(yīng)該把算理清楚地反映出來(lái)，不能輕描淡寫(xiě)，我們可以把表 示思路的算式補(bǔ)在搭配種數(shù)之前（如下表），這樣就把算理固定下來(lái)， 然后指導(dǎo)學(xué)生去尋找數(shù)據(jù)中的規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)一種簡(jiǎn)捷的解決問(wèn)題的 數(shù)學(xué)模型。此時(shí)，學(xué)生對(duì) 木偶個(gè)數(shù)卻冒子個(gè)數(shù)二搭配種數(shù)”的理解就不 會(huì)產(chǎn)生異議。由此可見(jiàn)，本課 找規(guī)律”的教學(xué)，不僅要指導(dǎo)學(xué)生找到 知識(shí)形式上的規(guī)律，還要指導(dǎo)學(xué)生找到知識(shí)本質(zhì)上的規(guī)律，不僅讓學(xué) 生找到了知識(shí)的精髓，而且事先找到了知識(shí)的精神。 木偶個(gè)數(shù)帽子個(gè)

9、數(shù)搭配種數(shù) 323+3 2+2+23X26 424+4 2+2+2+24X28 上述課例中，那位學(xué)生“6+6=12的回答，雖然沒(méi)有一下子點(diǎn)到答 案，但恰恰點(diǎn)到了知識(shí)的精神所在，也就是算理，教師不應(yīng)該被表象 所迷惑，誤認(rèn)為錯(cuò)。此時(shí)，教師應(yīng)該耐心聽(tīng)學(xué)生把話說(shuō)完，這樣才能 知道事情的真相，之后再去引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所表達(dá)的意思，把“ 6+6=12 轉(zhuǎn)化成“2X6=12” 上述課中，之所以學(xué)生會(huì)有此一問(wèn) 個(gè)數(shù)乘個(gè)數(shù)，結(jié)果怎么 會(huì)等于種數(shù)？ ”還得感謝這一教材的特殊性 算法與算理不 搭 配”搭配規(guī)律的算法可以 跳過(guò)”算理，直接看事物個(gè)數(shù)就可以算出 結(jié)果，正是最終在形式上算法與算理的 脫離”狀態(tài)讓學(xué)生在不知情的

10、 情況下觸景生情，產(chǎn)生困惑并反映了出來(lái)，促使教師反思教學(xué)中存在 的問(wèn)題。 在教學(xué)中，教師把操作的目的大多定位在為了找出結(jié)果 一 共有多少種搭配方法？ ”至于指導(dǎo)學(xué)生有序搭配，也只是為了讓學(xué)生 能夠更正確、更快速地得到搭配的結(jié)果，也就是說(shuō)操作方法的有序性 只是為了操作行為的有效性而為之。 雖然操作的有序性也是教師需要教會(huì)學(xué)生的一種思考方法，但在 講道理”的知識(shí)教學(xué)中，操作的如此定位還沒(méi)有實(shí)現(xiàn)價(jià)值的最大化。 我們應(yīng)該看到，有序搭配還可以讓學(xué)生更容易得出反映算理“2個(gè)3 種”或“3個(gè)2種”的算式“3X2”如果教師能夠看到這一操作活動(dòng)所蘊(yùn) 藏的深意，那么學(xué)生對(duì)規(guī)律意義的深刻理解就容易水到渠成。 換一句

11、 話說(shuō)，教師不應(yīng)該只追求 配”的結(jié)果，也應(yīng)該注重 搭”的過(guò)程，從而 使算法與算理能夠無(wú)縫搭配”此時(shí)的操作就不再是為操作而操作， 而是為意義而操作。 總之，學(xué)生的學(xué)習(xí)要深刻，教師的教學(xué)就要深入。教學(xué)之道不僅 僅只是讓學(xué)生知道走向知識(shí)的道路，還要讓學(xué)生知道知識(shí)中蘊(yùn)藏著的 道理。學(xué)生得道了，對(duì)知識(shí)的掌握也就能夠得心應(yīng)手。 另外，教學(xué)之道還要讓學(xué)生知道知識(shí)學(xué)習(xí)的道路， 還要掌握對(duì)知 識(shí)的學(xué)法。本課屬于找規(guī)律的教學(xué)，那么學(xué)生就應(yīng)該知道找規(guī)律的一 般方法，其中以少見(jiàn)多、以小見(jiàn)大是研究問(wèn)題的常規(guī)思路。由此，教 師一開(kāi)始就可以拋出大數(shù)據(jù)”一-百上千個(gè)木偶搭配成百上千個(gè) 帽子這樣的 大問(wèn)題”，讓學(xué)生無(wú)從下手，自覺(jué)想到從簡(jiǎn)單問(wèn)題開(kāi)始研 究，看一看有沒(méi)有規(guī)律可循，如果有規(guī)律，是怎樣的規(guī)律，從而解決 問(wèn)題。如果基于這樣真實(shí)的科學(xué)研究設(shè)計(jì)本課， 那么就能夠更好地實(shí) 現(xiàn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，教學(xué)起點(diǎn)和教學(xué)行程都可以讓學(xué)生自己確定，例 如學(xué)生會(huì)從最簡(jiǎn)單的一一搭配