湖南省常德市2020屆高考數(shù)學(xué)模擬考試試題一理（含答案）

1、湖南省常德市2020屆高考數(shù)學(xué)模擬考試試題（一） 理總分：150分 時量:120分鐘 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合P=，Q=，則PQ=_（桃源縣第四中學(xué)）A、 B、C、 D、答案：由已知得Q=-1，6 P=（-5，6）故PQ=-1，6故選C2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足 ，則下列說法正確的是 ( ) (桃源一中)A. 的虛部為 B.為純虛數(shù)C. D. 在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于第二象限答案：C 由得，3.設(shè)等差數(shù)列的前項的和為，若，則 ( ) (桃源一中)A. 37 B.16 C. 13 D. -9答案：B 設(shè)等差數(shù)列的公差為

2、d，由得：，將代入上式解得，故（法二：，又，所以，由得，故4.如圖是某市連續(xù)16日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢統(tǒng)計圖，空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染則下列說法不正確的是 ( ) (桃源一中)A這16日空氣重度污染的頻率為0.5B該市出現(xiàn)過連續(xù)4天空氣重度污染C這16日的空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為203D 這16日的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值大于200答案：D 這16日空氣重度污染的頻率為故A正確；12日，13日，14日，15日連續(xù)4天空氣重度污染，故B正確；中位數(shù)為，故C正確；，（也可根據(jù)圖形判斷，8個數(shù)據(jù)大于200，8個數(shù)據(jù)小于200，小于200的8個數(shù)

3、據(jù)整體與200相差較大），故D不正確.5.已知為拋物線：上一點，為的焦點，若，則的面積為 ( ) (桃源一中)A. B. C. D.答案：A 設(shè)，拋物線的焦點，準(zhǔn)線為，由拋物線的定義可知：代入的方程得，6.函數(shù)的圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖像，則下列說法不正確的是 ( ) (桃源一中)A函數(shù)的最大值為3 B函數(shù)關(guān)于點對稱 C函數(shù)在上單調(diào)遞增 D函數(shù)的最小正周期為答案：B 由圖可知，將點代入，得，故，右平移個單位長度得：，故A，C，D正確 ，選B7.已知向量a與a+b的夾角為，| a |=1，| b |=，則ab= ( ) (桃源一中)A. B.C. D.或答案：A 如

4、圖，由余弦定理：，已知，代入上式得，故，即，法二：設(shè)與的夾角為，由題設(shè) ，即，所以，即，所以或，經(jīng)檢驗，不符合(1)式，舍去，故8.隨機設(shè)置某交通路口亮紅綠燈的時間，通過對路口交通情況的調(diào)查，確定相鄰兩次亮紅燈與亮綠燈的時間之和為100秒，且一次亮紅燈的時間不超過70秒，一次亮綠燈的時間不超過60秒，則亮綠燈的時間不小于亮紅燈的時間的概率為 ( ) (桃源一中)A. B. C. D.答案：C 設(shè)亮綠燈的時間隨機設(shè)置為t秒，則，亮紅燈的時間，所以，亮綠燈的時間不小于亮紅燈的時間即為，由幾何概型的概率公式知：9.的展開式中的常數(shù)項為 ( ) (桃源一中)A. B. C. D.答案：B的通項為，所以

5、的展開式中的常數(shù)項為和，又，所以的展開式中的常數(shù)項為18010.設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為 ( ) (桃源一中)A. B. C. D.答案：D 的定義域為，考慮函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，g(x)的圖像向右平移1個單位得到的圖像，所以函數(shù)關(guān)于x=1對稱，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由，可得，解得：且甲的三視圖圖三乙的三視圖三甲的三視圖三乙的三視圖三11.幾何體甲與乙的三視圖如右圖，幾何體甲的正視圖和側(cè)視圖為兩個全等的等腰三角形，且等腰三角形的高與幾何體乙的三視圖中的圓的直徑相等，若幾何體甲與乙的體積相等，則幾何體甲的外接球的表面積與幾何體乙的表面積之比為 ( ) (桃源一中)A.

6、B. C. D.答案：B 由三視圖可知甲為圓錐，乙為球，設(shè)球的半徑為，設(shè)圓錐底面半徑為，則圓錐高，因為甲與乙的體積相等，所以，即，；設(shè)圓錐的外接球半徑為，則即，故幾何體甲的外接球與幾何體乙的表面積之比為.12.已知函數(shù)，（其中a為常數(shù)），則下列說法中正確的個數(shù)為 ( ) (桃源一中)函數(shù)恰有4個零點； 對任意實數(shù)a，函數(shù)至多有3個零點；若a0，則函數(shù)有且僅有3個零點；若函數(shù)有且僅有3個零點，則a的取值范圍為(桃源一中)A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：B 當(dāng)時，的圖像為拋物線的一部分當(dāng)時，當(dāng)時，所以時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，畫出的圖像如圖所示，由圖可知恰有3個零點，故不正確；P設(shè)

7、的過原點的切線的斜率為，切點為，由，解得在處的切線的斜率為，因為零點個數(shù)，即函數(shù)與的交點個數(shù)，由圖可知：時，有1個交點；時，有2個交點；時，有3個交點；時，有4個交點；時，有3個交點.所以 不正確；正確.（說明：顯然是的零點，x0時，也可轉(zhuǎn)化為零點的個數(shù)問題，也可以畫圖得出答案）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上）13.已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為_.(桃源一中)14已知實數(shù)滿足約束條件則的最小值為 -2 15.已知數(shù)列的各項為正，記為的前項和，若，則_121_.(桃源一中)16. 已知雙曲線C:，是坐標(biāo)原點，是的右焦點，過的直線與的兩條漸

8、近線的交點分別為且為直角，記和的面積分別為和，若，則雙曲線的離心率為 答案：.或 三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17（本小題12分）已知向量m，n，且函數(shù)mn.()若，且，求的值；()在銳角中，角的對邊分別為，若的面積為，且，求的周長. (桃源一中)解：()mn(2分），又， (4分）所以(6分）()因為，所以，即由正弦定理可知，又所以(8分）由已知的面積，可得，又(10分）由余弦定理得，故，從而所以的周長為(12分）18（本小題12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是直角梯形，是的中點()在線段上找一點，使得平面，并證明；()在(1)的條件下，若，求平面與平面所成的銳

9、二面角的余弦值(桃源一中)解：()是線段PA的中點，(1分）證明：連接BE，OE，OB，O是AD的中點，又平面，平面，平面，(3分）又底面是直角梯形，又平面，平面，平面，(4分）平面，平面，平面平面，又平面，平面(6分）（也可通過線線平行來證明線面平行）()平面平面，平面，且，以為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，(8分）得，得，設(shè)是平面的一個法向量，則，得，取，得，(10分）又易知是平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為(12分）19（本小題12分）隨著快遞行業(yè)的崛起，中國快遞業(yè)務(wù)量驚人，2018年中國快遞量世界第一，已連續(xù)五年突破五百億件，完全

10、超越美日歐的總和，穩(wěn)居世界第一名某快遞公司收取費的標(biāo)準(zhǔn)是：不超過1kg的包裹收費8元；超過1kg的包裹，在8元的基礎(chǔ)上，每超過1kg(不足1kg，按1kg計算)需再收4元該公司將最近承攬(接收并發(fā)送)的100件包裹的質(zhì)量及件數(shù)統(tǒng)計如下(表1)：包裹質(zhì)量（kg)（0，1（1，2（2，3（3，4（4，5包裹件數(shù)43301584表1：公司對近50天每天承攬包裹的件數(shù)(在表2中的“件數(shù)范圍”內(nèi)取的一個近似數(shù)據(jù))、件數(shù)范圍及天數(shù)，列表如下(表2)：件數(shù)范圍(0，100(100，200(200，300(300，400(400，500天數(shù)5102555每天承攬包裹的件數(shù)50150250350450表2：()

11、將頻率視為概率，計算該公司未來3天內(nèi)恰有1天攬件數(shù)在(100，300內(nèi)的概率；() 根據(jù)表1中最近100件包裹的質(zhì)量統(tǒng)計，估計該公司對承攬的每件包裹收取快遞費的平均值：根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)，公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，其余用作其他費用目前，前臺有工作人員5人，每人每天攬件數(shù)不超過100件，日工資80元公司正在考慮是否將前臺人員裁減1人，試計算裁員前、后公司每天攬件數(shù)的數(shù)學(xué)期望；若你是公司決策者，根據(jù)公司每天所獲利潤的期望值，決定是否裁減前臺工作人員1人? (桃源一中)解：()將頻率視為概率，樣本中包裹件數(shù)在(100，300內(nèi)的天數(shù)為，頻率為，故該公司1天攬件數(shù)在(100

12、，300內(nèi)的概率為(2分）未來3天包裹件數(shù)在(100，300內(nèi)的天數(shù)X服從二項分布，即所以未來3天內(nèi)恰有1天攬件數(shù)在100，299內(nèi)的概率為：(5分）() 由題 可知，樣本中包裹質(zhì)量（kg)、快遞費（元）、包裹件數(shù)如下表所示：包裹質(zhì)量（kg)（0，1（1，2（2，3（3，4（4，5快遞費（元）812162024包裹件數(shù)43301584所以每件包裹收取快遞費的平均值為(7分）根據(jù)題意及，攬件數(shù)每增加1，公司快遞收入增加12（元）若不裁員，則每天可攬件的上限為500件，公司每日攬件數(shù)情況如下：件數(shù)范圍(0，100(100,200(200,300(300，400(400，500天數(shù)5102555每天

13、承攬包裹的件數(shù)Y50150250350450概率P0.10.20.50.10.1每天承攬包裹的件數(shù)Y的期望E(Y)=500.1+1500.2+2500.5+3500.1+4500.1=240公司每日利潤的期望值為元(9分）若裁員1人，則每天可攬件的上限為400件，公司每日攬件數(shù)情況如下：件數(shù)范圍(0，100(100，200(200，300(300，400(400，500天數(shù)5102555每天承攬包裹的件數(shù)Y50150250350400概率P0.10.20.50.10.1每天承攬包裹的件數(shù)Y的期望E(Y)=500.1+1500.2+2500.5+3500.1+4000.1=235公司每日利潤的期

14、望值為元(11分）因為560620 ，所以公司應(yīng)將前臺工作人員裁員1人(12分）20.有一種曲線畫圖工具如圖1所示是滑槽的中點，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且，當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運動時，帶動N繞轉(zhuǎn)動，M處的筆尖畫出的曲線記為C以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系（）求曲線C的軌跡方程；（2)設(shè)為曲線C的右焦點，為曲線C上一動點，直線斜率為，且與曲線C的另一個交點為Q，是否存在點，使得,若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.（芷蘭實驗學(xué)校諶興明供題）解（1）設(shè)則，則及（2）設(shè)直線的方程為，將代入，得；設(shè)，線段

15、的中點為，即因為所以直線為線段的垂直平分線，所以，則，即 ，所以，當(dāng)時，因為，所以，當(dāng)時，因為，所以.綜上，存在點，使得，且的取值范圍為21（本小題12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若，求實數(shù)的值； （2）證明：.（常德市一中）解：（1）法一：當(dāng)時，與恒成立矛盾，不合題意；當(dāng)時，令，則，所以在上遞增，又，故存在，使，且，當(dāng)時，遞減，當(dāng)時，遞增所以故，即，令，則，知在上遞增，在上遞減，所以，要使，當(dāng)且僅當(dāng)綜上，實數(shù)的值為1法二：，令則等價于，對任意恒成立，令，當(dāng)時，與恒成立矛盾，不合題意；當(dāng)時，與恒成立矛盾，不合題意；當(dāng)時，在上遞減，在上遞增，所以的最小值為令，則，知在上遞增，在上遞減，所以，要使，當(dāng)且僅當(dāng)（2）由（1）知，當(dāng)時，即，所以，下面證明，即證：令，當(dāng)時，顯然單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，顯然，即故對一切，都有，即故原不等式成立22(本小題滿分10分)在平面直角坐標(biāo)系中，直線：，曲線 ：(為參數(shù),)，以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.()說明是哪一種曲線，并將的方程化為極坐標(biāo)方程.()曲線的極坐標(biāo)方程為()，其中，且曲線 分別交，于點，兩點，若，求的值. (桃源一中)解：() 由消去參數(shù)得