專題03根的檢測(cè)器

1、專題3根的檢測(cè)器閱讀與思考一元二次方程的根的判別式是揭示根的性質(zhì)與系數(shù)間聯(lián)系的一個(gè)重要定理，是解直接或間接與一 元二次方程相關(guān)問(wèn)題的有力工具，其主要應(yīng)用于以下幾個(gè)方面：1、判斷方程實(shí)根的情況；2求方程中字母系數(shù)的值與字母間的關(guān)系、字母的取值范圍；3證明等式或不等式；4 利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，證明幾何存在性問(wèn)題.許多表面與一元二次方程無(wú)關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以通過(guò)構(gòu)造一元二次方程，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論方程 的根的性質(zhì)，然后用判別式來(lái)解，這是運(yùn)用判別式解題的技巧策略.例題與求解【例1】如果方程x46x39x2-3px2 2p2 =0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根(相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根算作一個(gè))，則p的值為2

2、 2 2【例2】 已知三個(gè)關(guān)于x的方程：x -x m =0 , (m -1)x 2x 0和(m -2)x 2x -1 =0 ,若其中至少有兩個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是().1A. m_2B. m 或 1_m_2C. m_14k【例3】已知P(2,3)是反比例函數(shù)y圖象上的點(diǎn).xk(1) 求過(guò)點(diǎn)P且與雙曲線y只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線解析式；xkk(2) Q是雙曲線y在第三象限這一分支上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作直線，使其與雙曲線 y只有一個(gè)xx公共點(diǎn)，且與x軸，y軸分別交于C, D兩點(diǎn)，設(shè)(1)中求得的一直線與 x軸，y軸分別交與A, B兩 點(diǎn)，試判斷AD，BC的位置關(guān)系.【例4】已知a,b,c滿足a

3、 b c =0,abc =8,且c 0，求證c _33 4 .【例5】 已知關(guān)于x的方程x2 _(3k 1)x 2k2 2k = 0.(1) 求證：無(wú)論k取何實(shí)數(shù)值，該方程總有實(shí)數(shù)根；(2) 若等腰三角形 ABC的一邊長(zhǎng)a =6，另兩邊長(zhǎng)b,c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求ABC的周長(zhǎng).【例6】已知 XYZ是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形(/ Z = 90),它的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰直角三 角形ABC (/ C= 90 )的三邊上求 ABC直角邊長(zhǎng)的最大可能值.能力訓(xùn)練A級(jí)1 若關(guān)于x的一元二次方程 x2 -2x m = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 m的取值范圍是 22關(guān)于x的方程ax -(a 2)x 0

4、只有一解(相同的解算一解)，則a的值為3 .設(shè)a,b,c是 ABC三邊，且關(guān)于x的方程c(x2 n) b(x2 - n)-2； nax = 0( n 0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則 ABC是三角形.4 .方程 x2 xy y3x -3y 3 = 0的實(shí)數(shù)解為 25.關(guān)于x的一元二次方程 x (2k1)x k -0的根的情況是()A .有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B .有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)實(shí)數(shù)根D .沒有實(shí)數(shù)根26 .如果關(guān)于x的方程mx -2(m2)x m 0沒有實(shí)數(shù)根，那么關(guān)于x的方程2(m - 5 X - 2m * 2) m 的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為()A . 2個(gè)B . 1個(gè)C . 0個(gè)D .不確定

5、27.關(guān)于x的方程(a -6)x -8x 6 =0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù) a的最大值是(8.已知一直角三角形的三邊為a,b, c , / B= 90,那么關(guān)于x的方程a(x21)2(x b)(x2 1) = 0的根為()A .有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B .有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根D .無(wú)法確定9在等腰三角形 ABC中，/ A, / B,/ C的對(duì)邊分別是a,b,c 已知a =3, b和c是關(guān)于x的方程2 1x2 mx 2 m =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求ABC的周長(zhǎng).210 已知m,n為整數(shù)，關(guān)于x的三個(gè)方程：x2 (7 -m)x 3 n =0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;2 2x (4 m)x n 6 =0有

6、兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；x -(m-4)x，n 1 =0沒有實(shí)數(shù)根.求 m, n的值.1111 .若 a,b,c,d 0 ,證明：在方程 X2. 2a bx . cd = 0；一 x2 . 2b ex 一 ad = 0;22一 x22e dx ab二0；一 x2 2d a . be二0中，至少有兩個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)2 2數(shù)根.12.若實(shí)數(shù)x,y滿足x2 -2x -4y =5，求x -2y的最大值.1 當(dāng) a =, b 二時(shí)，方程 x2 2(1 a)x (3a2 4ab 4b2 2 0 有實(shí)數(shù)根.2 已知二次方程(a A 2 bf x，2 (b a) x 2t有b兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么1 1=a

7、b323 如果方程 x -5x (4k)x-k=0的三個(gè)根可以作為一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)k的值為4.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=O, abc = 2，那么a + b+|c的最小值是 5 已知實(shí)數(shù)a,b,c是不全為零的三個(gè)數(shù)，那么關(guān)于x的方程2 2 2 2x (a b c)x a b c =0的根的情況是()A .有兩個(gè)負(fù)根B.有兩個(gè)正根C有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根D無(wú)實(shí)根6 關(guān)于x的兩個(gè)方程2 2 2 2x 4mx 4m 2m 3 = 0, x (2m 1)x m = 0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根,則m的取值范圍是(B m -或m#：-124D m -或 m -丄2 27方程x(x-1)-k

8、=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(11A k : 0 B 0 ： k ： 一441D k :-48 關(guān)于x的方程| x |二a僅有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)|x-1|a的取值范圍是A a 0B a _ 4C 2 a 49 當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，方程x2 -5x =a有且只有相異二實(shí)根D 0 ： a ： 410. 求證：對(duì)于任意一個(gè)矩形A,總存在一個(gè)矩形 B,使矩形B與矩形A的周長(zhǎng)比和面積比等于k(k _1).211關(guān)于x的方程kx -(k -1)x1 = 0有有理根，求整數(shù) k的值.2 2 2 212.已知a,b為實(shí)數(shù)且a ab b =3，若a -ab b的最大值為 m，最小值為n

9、，求m n的值.專題03根的檢測(cè)器一922例1.提示：原方程化為(x3x_p)(x 3x_2p)=0,因?yàn)閮煞匠讨幸粋€(gè)有兩個(gè)相等實(shí)根 ,而4另一個(gè)無(wú)實(shí)根例2. B 提示：從反面考慮，即考慮三個(gè)方程都無(wú)實(shí)數(shù)根時(shí)m的取值范圍.例3. (1)直線x=2或y=3或y =_?x62(2) AD/BC88例4.提示：a,b是關(guān)于t2 ct 0兩實(shí)根，U二c2 -40cc例 5. (1) 提示:|_ =(k _1)2 _0(2) 若b=c,則U =(k -1) =0,k =1,b 3k 4 :a,不合題意，故這種情況不存在 若b,c中有一條邊與a相等，不妨設(shè)a二b=6,代入得k2-815=0,解得k3,k5

10、.當(dāng) k =3 時(shí),b c=3k 1=10,此時(shí) c =4 , b c a, . a b 亠c =16當(dāng) k =5 時(shí)，b c=3k1=16，此時(shí) c =10 , T a 亠b c, . a 亠b 亠c = 22例6. 如圖1,若頂點(diǎn)Z在斜邊AB 上,取XY的中點(diǎn)M旌結(jié)CM,ZM,C Z,并作邊AB上的高CN ,則CN 乞CZ 乞CM MZ XY XY=XY= .2,故 CA=$2CN_22 2如圖2,若頂點(diǎn)Z在直角邊CA (或 CB )上,由對(duì)稱性，不妨設(shè)Z在邊CA 上,過(guò)點(diǎn)Y作YH丄CA 于H，記 CX =x,CZ =y ,易證 ZYH XZC，得 HZ =CX =x,HY =CZ =y,

11、又顯然 |_AHY 為等腰直角三角形，得AH =y ,設(shè)AC =b _0,則2y b ,即x =b -2y.在 XZC中，由勾股定理有2 2 2y (b -2y) =15y2 -4by b2 -1=0，由 L =16b2 -20(b2 -1)_0，得 b _ 5 ,當(dāng) b = 5 時(shí)，y=U,x 5 ,55綜合，L|ABC直角邊長(zhǎng)的最大可能值為-53. 直角4. x =1,y =15. B6. B7. C 提示：分a_6=0和a_6=0兩種情況8. A9. 37 或 7510. m =2或m =3提示：參見例211. 提示：二丄2 0二3丄4.0,故二1,二2,二3,二4中至少有兩個(gè)大于 02

12、12. 設(shè)x-2y =m,則原方程可化為x -4x 2m-5=0 丁方程有實(shí)數(shù)根，9.=16 -8m 20 亠0 , m .29955當(dāng)m 時(shí)，丄=0,即方程的解為x =2,. 2_2y ,即y ,當(dāng)x=2, y時(shí)，x_2y有最2244大值且最大值為921.a =1,b = _2. 1293. 4提示：由題目知x =1是方程的根，則（x -1）（x -4x k） = 0 ,由條件知x=1是x -4x，k=0的根-4x，k=0有兩個(gè)相等的根，解得k=4或k=3（舍去）或x提示:當(dāng)a = 0時(shí)，方程有相異兩實(shí)根；當(dāng)a 0時(shí)，x -5x -* =25 4a,2 =254a10.提示：設(shè)矩形A的長(zhǎng)和寬

13、分別為a,b ,矩形B的長(zhǎng)和寬分別為 x, y,則x，y=k（a，b）,xy=kxy.2x,y可看作關(guān)于t的方程t -k（a b）t kab =0的兩根4. 45. D6. B7. A8. D提示：當(dāng)a ：0時(shí)，無(wú)解.;當(dāng)a =0時(shí),x =0,無(wú)意義；當(dāng)a 0時(shí)，原方程化為2a,x 1即 xax a=0& +ax -a =0259. a =0或 a 422a 0,.2 a 4a 故 1 =a -4a 0, 0 . a : 411. 當(dāng)k =0時(shí)，x = _1 ,方程有有理根當(dāng)k=0時(shí)，因?yàn)榉匠逃杏欣砀?，所以若k是整數(shù)，則判別式厶必為完全平方數(shù)即存在非負(fù)數(shù) m ,使-m2,即 k2 _6k 1 =m2,配方得(k _3)2 _m2 =8，即(k _3 m)(k _3_m) =8.k-3 亠 m=4 亠 k-3 亠 m-2由于k -3 m與k 一3 _m奇偶性相同，故或，解得k =6或k =0(舍去)k_3_m=2、k_3_