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文檔簡介
1、幾種特殊函數的圖象及應用函數學習中,除了二次函數、指數函數、對數函數、三角函數等常見函數外,還有一類分式函數、絕對值函數也常常出現.這類函數問題,雖說借助于導數等工具也能解決,但如果能夠掌握這 類函數的基本圖象特征,便能起到事半功倍的效果.本文介紹四個最常見的函數模型及其圖象特征, 并在實際問題中借助于換元、分離變量等手段將函數表達式轉化為這幾個函數模型之一,根據函數 圖象,迅速找到解決問題的切入點和解題思路.先了解這四個基本函數:一皿 1 一 一,1 一函數y=(圖1);函數y=x十一(圖2);一一1函數y = x (圖3);函數y = x (圖4).從函數的圖象很容易看出函數的對稱性、單調
2、性、值域等性質,下面看它們各自的應用.c,一,一 e-一11一、形如y=a+(c*0 )的函數可利用函數 y =(或y = )的性質.當c0時,函x -bxx.cc數y=a+的圖象可看成由函數 y=一的圖象左右、上下平移得到,在區(qū)間(-8,b)、(b,+g)上x -bxcc分別遞減;當c0)在10,收)上單調遞增,求實數 k的取值范圍.kx - 1 kx - 1解析:令f (x) = lg t,t =,由復合函數單調性及題意可得:t =需滿足兩個條件:x 1x 1t在xw 10,-he )上單調遞增;t a0在xw 10,依)上恒成立.上 k kx -1 k -1考慮 t 二二 k -x -1
3、(x = 1)k =1時,f (x) = 0不合題意,舍去;k 1時,t在g,1 )(1,-he比均遞減,不合題意,舍去;0 k 1 時,t在(叱1 )(1,+8 )上均遞增,二t也在10,收)上遞增,且當 x=10時,110 )綜上所述,實數k的取值范圍是,1 i.10例2已知awr,函數f (x) =2ax2+2x3a在區(qū)間-1,1上有零點,求實數a的取值范圍.解析:“函數f (x) =2ax2 +2x-3-a在區(qū)間-1,1上有零點”等價于“方程2ax2 +2x3 a = 0 12x2-1.一區(qū)間-1,1上有解 .顯然a =0 ,可得一=,令t=3 20 )的函數 x1 一,y = x 的
4、性質.類似地,如圖 6,函數y=ax 區(qū)間(*,0)、(0,+oc)上分別遞增.其中, 必和12由2*=9% a 1. a x時解得.例4函數f (x )=ax2 + (14a)x+4a(a21)在區(qū)間l 2,2】上的最大值、最小值分別為m、m ,記g(a) = m +m,求g(a)的最小值.,. .13解析:由題得f x的對稱軸x = 2- -= i-,2 i,2 a il2-1.1 8 8a 1m=f(-2)=16a-2, m=f 2 - - i = 0時,函數 y=axb|+c在區(qū)間(一0,b上遞減、在區(qū)間b,)上遞增;當a 0,b 0 .,. 2-,一例6 若關于x的不等式x m2 -
5、 x-1至少有一個負數解,求實數 t的取值范圍.2解析:考察函數 y=2-x與y=|x-11的圖象,如圖 7,當t在區(qū)間、 一,. 2 一.(ti12)內變化時,兩函數的圖象在 y軸左側有交點,x 2-x-1至少有y =| x 11經過點 p(0,2),解得 t2=2,所以 tw 9,2 i.,4時12 -個負數解.當t = t1時,兩圖象相切,由 =0,可求得t1 =精品資料五、綜合應用.求實數a的取1 2,例 7 已知函數 f (x) = x | xa |-2 ,當 xw (0,1時,f(x)-x -1 恒成立, 2值范圍.12.,.、 一 r解析:由題息得x | x - a | -2 -
6、 x -1在x= (0,1上恒成立,分離變量可得 211311 1.3 1-x- a-x + 一在x =(0,1上恒成立,令g(x) = x ,h(x)= x + ,由圖象特征可得,2x 2 x2 x2 x、6 ,、,6,一,一g(x)在(0,1上單調遞增,h(x)在(0,上遞減、在,1)上遞增,g(x)的最大值為33g(1) = 1, h(x)的最小值為h(,6)=j6,從而得a 232例8 求函數f (x )= 2x-在定義域(0,1】上的最大值及最小值,并求出函數取最值時相應 x的 x值.解析:實數a應分a 0三類情形來討論圖象的特征.當a至0時,f(x )在(0,1】上遞增,從而有fm
7、ax(x )= f=2a, fmin (x )不存在;當a 1可得a -2,所以,當a-2時,f(x )在(0,11上遞減,從而有f min (x )= f (1) = 2 - a, fmax(x )不存在;當一2 ma 0 時,f(x)在0j上遞減、在,j上遞增2 2fmin (x )= f( 萬)=27 -2a , fmax(x 及存在.從上述幾類問題的應用可以看出,如果能夠熟練掌握四類函數的基本圖象及性質,在解題中便能有效地避免復雜的運算過程,把思維集中在數形結合思想的運用上,深刻理解函數圖象與方程之cx d間的聯(lián)系.總結而言,一般地,形如y=(a=0)的函數均可向形式轉化;形如ax b2,cx dx eax by =c-一e(a c=0)或y =ta-一 (a c = 0
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