幾種特殊函數(shù)的圖象及應(yīng)用

1、幾種特殊函數(shù)的圖象及應(yīng)用函數(shù)學(xué)習(xí)中，除了二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等常見(jiàn)函數(shù)外，還有一類分式函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)也常常出現(xiàn).這類函數(shù)問(wèn)題，雖說(shuō)借助于導(dǎo)數(shù)等工具也能解決，但如果能夠掌握這 類函數(shù)的基本圖象特征，便能起到事半功倍的效果.本文介紹四個(gè)最常見(jiàn)的函數(shù)模型及其圖象特征, 并在實(shí)際問(wèn)題中借助于換元、分離變量等手段將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為這幾個(gè)函數(shù)模型之一，根據(jù)函數(shù) 圖象，迅速找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)和解題思路.先了解這四個(gè)基本函數(shù):一皿 1 一 一，1 一函數(shù)y=（圖1）;函數(shù)y=x十一（圖2）；一一1函數(shù)y = x （圖3）；函數(shù)y = x （圖4）.從函數(shù)的圖象很容易看出函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)

2、性、值域等性質(zhì)，下面看它們各自的應(yīng)用.c，一，一 e-一11一、形如y=a+（c*0 ）的函數(shù)可利用函數(shù) y =（或y = ）的性質(zhì).當(dāng)c0時(shí)，函x -bxx.cc數(shù)y=a+的圖象可看成由函數(shù) y=一的圖象左右、上下平移得到，在區(qū)間（-8,b）、（b,+g）上x(chóng) -bxcc分別遞減；當(dāng)c0)在10,收)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) k的取值范圍.kx - 1 kx - 1解析：令f (x) = lg t,t =,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及題意可得：t =需滿足兩個(gè)條件：x 1x 1t在xw 10,-he )上單調(diào)遞增；t a0在xw 10,依)上恒成立.上 k kx -1 k -1考慮 t 二二 k -x -1

3、(x = 1)k =1時(shí)，f (x) = 0不合題意，舍去;k 1時(shí)，t在g,1 )(1,-he比均遞減，不合題意，舍去;0 k 1 時(shí),t在(叱1 )(1,+8 )上均遞增，二t也在10,收)上遞增，且當(dāng) x=10時(shí),110 )綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是,1 i.10例2已知awr,函數(shù)f (x) =2ax2+2x3a在區(qū)間-1,1上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析：“函數(shù)f (x) =2ax2 +2x-3-a在區(qū)間-1,1上有零點(diǎn)”等價(jià)于“方程2ax2 +2x3 a = 0 12x2-1.一區(qū)間-1,1上有解 .顯然a =0 ,可得一=,令t=3 20 )的函數(shù) x1 一，y = x 的

4、性質(zhì).類似地，如圖 6,函數(shù)y=ax 區(qū)間（*,0）、（0,+oc）上分別遞增.其中， 必和12由2*=9% a 1. a x時(shí)解得.例4函數(shù)f (x )=ax2 + (14a)x+4a(a21)在區(qū)間l 2,2】上的最大值、最小值分別為m、m ,記g(a) = m +m,求g(a)的最小值.,. .13解析：由題得f x的對(duì)稱軸x = 2- -= i-,2 i,2 a il2-1.1 8 8a 1m=f(-2)=16a-2, m=f 2 - - i = 0時(shí)，函數(shù) y=axb|+c在區(qū)間（一0,b上遞減、在區(qū)間b,）上遞增；當(dāng)a 0,b 0 .,. 2-,一例6 若關(guān)于x的不等式x m2 -

5、 x-1至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，求實(shí)數(shù) t的取值范圍.2解析：考察函數(shù) y=2-x與y=|x-11的圖象，如圖 7,當(dāng)t在區(qū)間、 一，. 2 一.(ti12)內(nèi)變化時(shí)，兩函數(shù)的圖象在 y軸左側(cè)有交點(diǎn)，x 2-x-1至少有y =| x 11經(jīng)過(guò)點(diǎn) p(0,2),解得 t2=2,所以 tw 9,2 i.,4時(shí)12 -個(gè)負(fù)數(shù)解.當(dāng)t = t1時(shí)，兩圖象相切，由 =0,可求得t1 =精品資料五、綜合應(yīng)用.求實(shí)數(shù)a的取1 2,例 7 已知函數(shù) f (x) = x | xa |-2 ,當(dāng) xw (0,1時(shí)，f(x)-x -1 恒成立, 2值范圍.12.,.、 一 r解析：由題息得x | x - a | -2 -

6、 x -1在x= (0,1上恒成立，分離變量可得 211311 1.3 1-x- a-x + 一在x =(0,1上恒成立，令g(x) = x ,h(x)= x + ,由圖象特征可得,2x 2 x2 x2 x、6 ，、,6，一，一g(x)在(0,1上單調(diào)遞增，h(x)在(0,上遞減、在,1)上遞增，g(x)的最大值為33g(1) = 1, h(x)的最小值為h(，6)=j6,從而得a 232例8 求函數(shù)f (x )= 2x-在定義域(0,1】上的最大值及最小值，并求出函數(shù)取最值時(shí)相應(yīng) x的 x值.解析：實(shí)數(shù)a應(yīng)分a 0三類情形來(lái)討論圖象的特征.當(dāng)a至0時(shí)，f(x )在(0,1】上遞增,從而有fm

7、ax(x )= f=2a, fmin (x )不存在;當(dāng)a 1可得a -2,所以，當(dāng)a-2時(shí)，f(x )在(0,11上遞減，從而有f min (x )= f (1) = 2 - a, fmax(x )不存在;當(dāng)一2 ma 0 時(shí)，f(x)在0j上遞減、在，j上遞增2 2fmin (x )= f( 萬(wàn))=27 -2a , fmax(x 及存在.從上述幾類問(wèn)題的應(yīng)用可以看出，如果能夠熟練掌握四類函數(shù)的基本圖象及性質(zhì)，在解題中便能有效地避免復(fù)雜的運(yùn)算過(guò)程，把思維集中在數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用上，深刻理解函數(shù)圖象與方程之cx d間的聯(lián)系.總結(jié)而言，一般地，形如y=(a=0)的函數(shù)均可向形式轉(zhuǎn)化；形如ax b2,cx dx eax by =c-一e(a c=0)或y =ta-一 (a c = 0