幾種特殊函數的圖象及應用

1、幾種特殊函數的圖象及應用函數學習中，除了二次函數、指數函數、對數函數、三角函數等常見函數外，還有一類分式函數、絕對值函數也常常出現.這類函數問題，雖說借助于導數等工具也能解決，但如果能夠掌握這 類函數的基本圖象特征，便能起到事半功倍的效果.本文介紹四個最常見的函數模型及其圖象特征, 并在實際問題中借助于換元、分離變量等手段將函數表達式轉化為這幾個函數模型之一，根據函數 圖象，迅速找到解決問題的切入點和解題思路.先了解這四個基本函數:一皿 1 一 一，1 一函數y=（圖1）;函數y=x十一（圖2）；一一1函數y = x （圖3）；函數y = x （圖4）.從函數的圖象很容易看出函數的對稱性、單調

2、性、值域等性質，下面看它們各自的應用.c，一，一 e-一11一、形如y=a+（c*0 ）的函數可利用函數 y =（或y = ）的性質.當c0時，函x -bxx.cc數y=a+的圖象可看成由函數 y=一的圖象左右、上下平移得到，在區(qū)間（-8,b）、（b,+g）上x -bxcc分別遞減；當c0)在10,收)上單調遞增，求實數 k的取值范圍.kx - 1 kx - 1解析：令f (x) = lg t,t =,由復合函數單調性及題意可得：t =需滿足兩個條件：x 1x 1t在xw 10,-he )上單調遞增；t a0在xw 10,依)上恒成立.上 k kx -1 k -1考慮 t 二二 k -x -1

3、(x = 1)k =1時，f (x) = 0不合題意，舍去;k 1時，t在g,1 )(1,-he比均遞減，不合題意，舍去;0 k 1 時,t在(叱1 )(1,+8 )上均遞增，二t也在10,收)上遞增，且當 x=10時,110 )綜上所述，實數k的取值范圍是,1 i.10例2已知awr,函數f (x) =2ax2+2x3a在區(qū)間-1,1上有零點，求實數a的取值范圍.解析：“函數f (x) =2ax2 +2x-3-a在區(qū)間-1,1上有零點”等價于“方程2ax2 +2x3 a = 0 12x2-1.一區(qū)間-1,1上有解 .顯然a =0 ,可得一=,令t=3 20 )的函數 x1 一，y = x 的

4、性質.類似地，如圖 6,函數y=ax 區(qū)間（*,0）、（0,+oc）上分別遞增.其中， 必和12由2*=9% a 1. a x時解得.例4函數f (x )=ax2 + (14a)x+4a(a21)在區(qū)間l 2,2】上的最大值、最小值分別為m、m ,記g(a) = m +m,求g(a)的最小值.,. .13解析：由題得f x的對稱軸x = 2- -= i-,2 i,2 a il2-1.1 8 8a 1m=f(-2)=16a-2, m=f 2 - - i = 0時，函數 y=axb|+c在區(qū)間（一0,b上遞減、在區(qū)間b,）上遞增；當a 0,b 0 .,. 2-,一例6 若關于x的不等式x m2 -

5、 x-1至少有一個負數解，求實數 t的取值范圍.2解析：考察函數 y=2-x與y=|x-11的圖象，如圖 7,當t在區(qū)間、 一，. 2 一.(ti12)內變化時，兩函數的圖象在 y軸左側有交點，x 2-x-1至少有y =| x 11經過點 p(0,2),解得 t2=2,所以 tw 9,2 i.,4時12 -個負數解.當t = t1時，兩圖象相切，由 =0,可求得t1 =精品資料五、綜合應用.求實數a的取1 2,例 7 已知函數 f (x) = x | xa |-2 ,當 xw (0,1時，f(x)-x -1 恒成立, 2值范圍.12.,.、 一 r解析：由題息得x | x - a | -2 -

6、 x -1在x= (0,1上恒成立，分離變量可得 211311 1.3 1-x- a-x + 一在x =(0,1上恒成立，令g(x) = x ,h(x)= x + ,由圖象特征可得,2x 2 x2 x2 x、6 ，、,6，一，一g(x)在(0,1上單調遞增，h(x)在(0,上遞減、在,1)上遞增，g(x)的最大值為33g(1) = 1, h(x)的最小值為h(，6)=j6,從而得a 232例8 求函數f (x )= 2x-在定義域(0,1】上的最大值及最小值，并求出函數取最值時相應 x的 x值.解析：實數a應分a 0三類情形來討論圖象的特征.當a至0時，f(x )在(0,1】上遞增,從而有fm

7、ax(x )= f=2a, fmin (x )不存在;當a 1可得a -2,所以，當a-2時，f(x )在(0,11上遞減，從而有f min (x )= f (1) = 2 - a, fmax(x )不存在;當一2 ma 0 時，f(x)在0j上遞減、在，j上遞增2 2fmin (x )= f( 萬)=27 -2a , fmax(x 及存在.從上述幾類問題的應用可以看出，如果能夠熟練掌握四類函數的基本圖象及性質，在解題中便能有效地避免復雜的運算過程，把思維集中在數形結合思想的運用上，深刻理解函數圖象與方程之cx d間的聯(lián)系.總結而言，一般地，形如y=(a=0)的函數均可向形式轉化；形如ax b2,cx dx eax by =c-一e(a c=0)或y =ta-一 (a c = 0