保三角形函數(shù)

1、精品文檔 12、(北京市東城區(qū)2008年高三綜合練習(xí)二)已知函數(shù)f(x)滿足下列條件： 函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?,1； 對于任意 x 0,1, f (x) _ 0,且 f(0)=0, f =1 ； 對于滿足條件x1_0,x2_0,x1x21的任意兩個(gè)數(shù)x1,x2,有f (咅 x2)_f (xjf (x2). (1) 證明：對于任意的 0乞x乞y乞1,有f(x)乞f (y)； (2) 證明：于任意的0乞x乞1,有f(x)冬2x ; (3) 不等式f(x)乞1.9x對于一切x 0 , 1都成立嗎？試說明理由. (1) 證明：對于任意的 0空x空y乞1, 貝U0乞y - X乞1,可得f (y -

2、x) _ 0 所以f (y) = f (y -x x) _ f (y -x) f (x) _ f (x), 即對于任意的0乞xy1,有f(x)f(y). 5分 (2 )證明：由已知條件可得f (2x) _ f (x) f (x) =2f(x). 當(dāng)x =0時(shí)，f (0)=0 空2 0, 即當(dāng)x =0時(shí),f (x)乞2x. 假設(shè)存在x0三0,11使得f(x0) 2x0, 則x0一定在某個(gè)區(qū)間 *,士(N*)上. 設(shè)X。* 土,土，則2x0,4x。，,2、均在區(qū)間 0,1 內(nèi). 則f(2x) 4x,f(4x) 8X0, , f(2kX0)2kx. 由X。1,2,可知 1 2kAx1,且2kx01,

3、 2 2 2 所以 f(2kx)乞 f (1) =1, 又 f(2kx)2kx1. 從而得到矛盾，因此不存在x0 0,1使得f (x0) 2x0. 所以對于任意的0豈x空1,有f(x)乞2x. 10分 1 (3)解：取函數(shù) 0,0蘭x蘭一, 2 1 1,一 CX 蘭1. L. 2 則f (X)顯然滿足題目中的(1),( 2)兩個(gè)條件, 任意取兩個(gè)數(shù)x1 ,x2,使得x- - 0,x 0, x1x2 - 1, 1 若XX2 0,則f (Xi X2) _0 = f (xj f(X2), 2 若XX2分別屬于區(qū)間0,1和中一個(gè), 則 f (Xi X2) =1 二 f(Xi )f(X2 ), 而Xi,

4、 X2不可能都屬于 丄,1 , 2 綜上可知，f (x)滿足題目中的三個(gè)條件 而 f(0.51)=11.9 0.51 =0.969. 即不等式f (x) 1.9x并不對所有x 0,1都成立. 13、(北京市海淀區(qū)2008年高三統(tǒng)一練習(xí)一)一個(gè)函數(shù)f X，如果對任意一個(gè)三角 形，只要它的三邊長 a,b, c都在f x的定義域內(nèi)，就有 f a , f b , f c也是某個(gè) 三角形的三邊長，則稱f x為“保三角形函數(shù)”. (I )判斷t X =X , f2 X = X , f3 X = x2中，哪些是“保三角形函數(shù)”，哪些 不是，并說明理由； (II )如果g x是定義在R上的周期函數(shù)，且值域?yàn)?

5、, 二，證明g X不是“保 三角形函數(shù)”； (III )若函數(shù)F x二sinx ,0,A是“保三角形函數(shù)”，求A的最大值. (可以利用公式 sin x siny=2sin _ cos- y ) 2 2 解：(I ) f X , f2 X是“保三角形函數(shù)”，f3 X不是“保三角形函數(shù)”.1 分 任給三角形，設(shè)它的三邊長分別為a,b,c，則a b c，不妨假設(shè)a剟c,b c , 由于a b.a b c 0 ,所以x , f? x是“保三角形函數(shù)”.3 分 對于f3 x , 3, 3, 5可作為一個(gè)三角形的三邊長，但32 32 52，所以不存在三角 形以32,32,52為三邊長，故f3 x不是“保三

6、角形函數(shù)”.4分 (II )設(shè)T 0為g x的一個(gè)周期，由于其值域?yàn)?, ：，所以，存在n m 0, 使得 g m i=1,g n i=2 , 取正整數(shù).罟巴，可知，t m, T m, n這三個(gè)數(shù)可作為一個(gè)三角形的三邊長, 但g T m =1 , g T m =1,g n =2不能作為任何一個(gè)三角形的三邊長.故g x 不是“保三角形函數(shù)” (III ) A的最大值為 方面，若A . 6 下證F x不是“保三角形函數(shù)” 取一，0,A，顯然這三個(gè)數(shù)可作為一個(gè)三角形的三邊長，但 2 6 6 兀5兀15兀1 sin1,si n,sin不能作為任何一個(gè)三角形的三邊長, 26262 “保三角形函數(shù)”. F

7、 x不是 另一方面，以下證明 A 時(shí)，F(xiàn) x是“保三角形函數(shù)” 對任意三角形的三邊 a,b,c，若 5兀 a, b,c(0,)，則分類討論如下: 6 (1) a b c 2-, a，b，c(3帀) 66 =3，同理， 5 : 兀 b,c 3， 8歡迎下載 -=1 si nc. 2 (2) a b c 2二 此時(shí)，3c 2 a b 一 2 ，可得如下兩種情況： 2 兀c 時(shí)，由于a b c，所以，0 ：- 22 c sin 2 2 由sinx在(0,上的單調(diào)性可得0 ： sin 2 a b _ 2 2 a b 1 ； 同樣, 總之, 兀c _ 時(shí)，0 ： - 22 由sinx在0,二上的單調(diào)性可

8、得 I 2丿 0 ： sinc : sin _b : 1 ； 2 2 0 ： sin c : sin -_b 1 2 2 5: 又由a-b c)，貝U f ()一二-0 , f( J -0不妨 設(shè)：，由題知存在實(shí)數(shù)G , )，使得f(j- f() = C成立。 f (：)=： , f (：)二：且-7- - l;, , f ( ) =1 與已知矛盾，所以方程 f (x) x = 0 只有一 個(gè)實(shí)數(shù)根 (川)不妨設(shè) X2 0 ;對任意X1, X2 (0 , 1),恒有+- J (Q / (1 - Q 0,且/(1-X)0,從而 寅牛名y+窗尋孑2, 4分 所以 Ax) +/0 -3?) -2 等

9、號(hào)成廿的條件臺(tái)-可 化簡得只町=Ai -* 6分 (fl)設(shè)衍円w(0 J),由(I )知找巧克誓片 和、/(衍).70 -斷2f(x,) 所吭了 +帀二ET二屆亍底藥即克呵)* 同理可得旅衍)汀旳)*所以人舸)打當(dāng) x 3 時(shí)，f (x)=3 x2 1 0, 33 故f (x)在x : 1,1 內(nèi)的極小值是 a 2衛(wèi). 9 2皐 同理，f(x)在x : 1,1 內(nèi)的極大值是 a+ 9 f(1)= f( 1)=a, 函數(shù)f(x)=x3 x+a(x : 1,1 : ,a R)的最大值是a+空衛(wèi)，最小值是a生衛(wèi)， 99 因?yàn)?| f (X1) f (X2)| v | f max f min|, 4

10、J3 故 | f (X1) f (X2)| v | f max f min |=V 1 . 9 所以函數(shù) f(x)=x x+a(x 1,1 ,a R)是 “Storm 函數(shù)”. 35、（山東省鄆城一中2007-2008學(xué)年第一學(xué)期期末考試）造船廠年造船量20艘，造船X艘 產(chǎn)值函數(shù)為r x =3700 x45x2 -10 x3 （單位：萬兀），成本函數(shù)c x =460 x5000 （單 位：萬元），又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)fx的邊際函數(shù)Mfx定義為 Mf x二 f x1 - f x MP x （利潤=產(chǎn)值一成本） （1）求利潤函數(shù) (2) 問年造船量安排多少艘時(shí)，公司造船利潤最大 (3) 邊際利潤函數(shù) MP x的單調(diào)遞減區(qū)間 解：(1) P x 二 R x -C x 二-10 x345x23240 x -5000, x N ,1 _x _20 ； MP x=Px1 -P x - -30 x260 x 3275, x N,仁 x 乞 19 (2) P x-30 x290 x 3240- -30 x -12 x9 x 0, px=0， x =12. 0 ：x：12時(shí)P x 0;x12時(shí)P x： 0 .x =12, P x有最大值；